第一章 3 直角三角形 高效同步练习-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

高效同步练习 第1课时直角三 第 知识点①直角三角形的性质与判定 章 1.(3分)直角三角形的一锐角是30°，那么另一 锐角是() A.40° B.50° C.60° D.70° 2.(3分)下列条件中能判断△ABC为直角三角 形的是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A=∠B=∠C C.∠A=∠B=90°D.∠A=∠B=3∠C 3.(3分)如图，在△ABC中，D是BC上一点，已 知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则DC的 长为( A.13 B.12 C.9 D.8 B D 第3题图 第4题图 4.[教材随堂练习变式](3分)如图，等腰直角 △ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=2,则 AC= 0 知识点②命题（逆命题）与定理（逆定理） 5.(3分)下列说法正确的是( A.每个命题都有逆命题 B.每个定理都有逆定理 C.原命题与逆命题同为真命题或同为逆命题 D.定理的逆命题是真命题 6.(3分)请写出定理“等边对等角”的逆定 理： 、0 10 15分钟同步练习，精炼高效抓 直角三角形 角形的性质与判定 7.（3分)已知下列命题：①若a>0,b>0,则a+b> 0:②若a≠b,则a2≠b2:③两直线平行，同位 角相等；④对顶角相等。其中原命题与逆命 题均为真命题的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 8.(3分)题目：“如图，点A在∠MON 的边OM上，点B在边ON上，且OA =17,点A到0N的距离为8。若AB=10,求 OB的长度。”对于其答案，甲答：OB=9,乙答： OB=6,丙答：0B=21,则正确的是( A.只有甲答的对 M B.甲、丙答案合在一起才完整 0 N C.乙、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 9.（10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平 分∠CAB,CD⊥AB,AE,CD相交于点F。 (1)若∠DCB=50°，求∠CEF的度数； (2)求证：∠CEF=∠CFE。 考点ZBB八年级数学下册 第2课时 直角 知识点直角三角形全等的判定 1.(3分)如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根 据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要 添加一个条件是() A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 2.（3分)综合实践课上，老师发给每人一张印有 Rt△ABC的卡片，如图1，然后要求同学们画 一个与Rt△ABC全等的三角形。嘉淇同学先 画出了∠MB'N=90°后，后续的作图步骤如图 2所示，则能判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依 据是( A A B M B'CM B'C'M 第一步 第二步 第三步 图1 图2 A.SAS B.SSS C.HL D.AAS 3.（3分)如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A、D、B、C 分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+ BC=7,AD=EB,DE=EC,AB= N P B CO 第3题图 第4题图 4.[教材习题变式](3分)在△ABC中，D是BC 中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE= CF,则△ABC是 三角形。 15分钟同步练习，精炼高效抓 三角形全等的判定 第 5.(3分)如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°， AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°， 则∠AEC=() A.28 B.59 C.60° D.62° D R D 第5题图 第6题图 6.数学思想·分类思想(3分)如图，AB⊥BC, DC⊥BC,垂足分别为B,C,AB=6,BC=8,CD =2,点P为BC边上一动点，当BP= 时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等。 7.(9分)如图，四边形ABCD中，BC=CD,AC= DE,AB∥CD,∠B=∠DCE=90°，AC与DE相 交于点F。 (1)求证：△ABC≌△ECD; (2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明 理由。 考点ZBB八年级数学下册 11R△ACE巾，∠ACB=30AE=24C=2×62=31(em),同 理可得，BF=31cm。又.AB=12cm,∴.31+12+31=74(cm),即 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74cm。 9.A 10.C【解析】连接BE,,△ABC为等边三角形，∴.∠ABC=60°。 :E为AC的中点，.LABE=∠CBE=30°。EF⊥AB,EF= 1,∴.∠D=90°-∠ABC=30°，∴.BE=2EF=2,∠D=∠CBE,∴ ED=BE=2,.DF=ED+EF=2+1=3。故选C。 11.6【解析】由题意，得EF=2。.△ABC是等边三角形， ∠B=∠C=60°。又.：DE∥AB,DF∥AC,∴.∠DEF=∠B=60° ∠DFE=∠C=60°，∴.△DEF是等边三角形，∴.剪下的△DEF 的周长是2×3=6。 12.C 13.)【解析过点P作PF∥BC交AC于点F。△ABC是等 边三角形，.∠PFD=∠QCD,△APF是等边三角形，.AP= PF=AF。又：PE⊥AC,AE=EF。AP=CQ,.PF=CQ。 .·∠PDF=∠QDC,∴.△PFD≌△QCD(AAS)。∴.FD=CD。 AE=EF,..EF+FD=AE+CD,.AE+CD=DE=AC.AC 1 =1,∴.DE= 20 14解：FD1BC,LC=30,∠CFD=60,DF=2FC。由折 叠的性质可知，∠AFE=∠DFE=(180-∠CFD)÷2=60°，AF= DF。.∠B=90°，∠C=30°，∴.∠A=60°，∴.△AEF是等边三 角形，.EF=AF=FD= 2 FC,..EF=1 3AC。AC=6,.EF =2。 15.(1)证明：.AB=AC,∠ABC=60°，.△ABC为等边三角形， AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°。，AE=CD, △AEB≌△CDA(SAS): (2)解：.△AEB≌△CDA,.∠ABE=∠CAD。.·∠BAD+ ∠CAD=60°，.∠BAD+∠ABE=60°，∴.∠BPD=∠ABE+ ∠BAD=60°； (3)解：：BQ⊥AD,∠BPD=60°，∴.∠PBQ=90°-∠BPD=30°， .BP=2PQ=12。PE=2,.BE=BP+PE=12+2=14。 高效同步练习3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C2.A 3.C【解析】.AB=13,AD=12,BD=5,∴.AD2+BD2=AB2,. ∠ADB=90°，.∠ADC=180°-∠ADB=90°，在Rt△ADC中，由 勾股定理得：DC=√AC2-AD2=√152-12=9。故选C。 4.√25.A6.等角对等边7.D 8.B【解析】过点A作AC⊥ON于点C,则AC=8,又.·OA=17, 0C=√A02-AC=15,点B可能在C的左侧或右侧，在 Rt△ABC中，AB=10,AC=8,.CB1=CB2=6,.0B1=15-6=9, 0B,=15+6=21,综上所述，0B=9或21，所以正确的答案是 甲、丙答案合在一起才完整。故选B。 9.(1)解：.·CD⊥AB,∴.∠DCB+∠B=90°。∠ACB=90°， ∠CAB+∠B=90°，∴.∠CAB=∠DCB=50°。：AE平分∠CAB, ∴.∠CAE= 2LCAB=25°，.∠CEF=90°-LC4E=65°： (2)证明：：AE平分∠CAB,.∠BAE=∠CAE。·.∠ACB 90°，CD⊥AB,∴.∠CAE+∠CEF=90°，∠BAE+∠AFD=90°，∴. ∠CEF=∠AFD。.∠CFE=∠AFD,.∠CEF=∠CFE 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.C3.74.等腰 5.B【解析】，：在△ABC中，∠C=90°，AD=AC,DE⊥AB交BC 于点E,又'AE=AE,∴.Rt△CAE≌Rt△DAE(HL),∴.∠CAE= ∠DAE=7∠CAB。'∠B+LCAB=90°，∠B=28°，.∠CAB= 90°-28°=62°，∴.∠AEC=90°-31°=59°。故选B。 6.2 7.(1)证明：.·∠B=∠DCE=90°，在Rt△ABC和Rt△ECD中，AC =DE,BC=CD,∴.Rt△ABC≌Rt△ECD(HL); (2)解：AC⊥DE。理由如下：.：△ABC≌△ECD,.∠BCA= ∠CDE。:∠DCE=90°，即∠BCA+∠ACD=90°，.∠CDE+ 70 同步练习，精炼高效抓考 ∠ACD=90°，∴.∠DFC=180°-（∠CDE+∠ACD)=90°，即AC ⊥DE。 高效同步练习4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.B2.D 3.解：∠ABC=2∠C,.设∠C=a,则∠ABC=2α。，∠A=60°， .∴.∠ABC+∠C=120°，即2a+=120°，=40°，.∠C=40°。： DE垂直平分BC,.BD=CD,.∠DBC=∠DCB=40°，∴.∠ADB =∠DBC+∠DCB=8O°。 4.A 5.AB 6.证明：(1).AB=AC,AD=AE,∴.BD=CE,∠DBC=∠ECB。又 .BC=CB,∴.△DBC≌△ECB(SAS),∴.∠EBC=∠DCB。 (2)连接AF。,·∠FBC=∠FCB,.FB=FC,.点F在线段BC 的垂直平分线上。：AB=AC,:点A在线段BC的垂直平分线 上，.过点A,F的直线垂直平分线段BC。 7.解：如图所示，点C即为所求。 8.65°或25°【解析】设AB的垂直平分线与AB相交于点D,与 AC相交于点E.①DE与线段AC相交时，·DE是AB的垂直平 分线，∠AED=40°，∴.∠A=90°-∠AED=50°。.：AB=AC,. ∠ABC= 2(180°-∠A)=65;②DE与CA的延长线相交时，： DE是AB的垂直平分线，∠AED=40°，.∠EAD=90°-∠AED =50°，.∠BAC=180°-∠EAD=130°。AB=AC,.∠ABC= (180°-∠BAC)=25°，综上所述，等腰△ABC的底角∠B的 1 度数为65°或25°。 9.A【解析】连接PC,EF是BC的垂直平分线，.BP=PC, PA+BP=AP+PC,∴.当，点A,P,C在一条直线上时，PA+BP有最 小值，最小值=AC=4。故选A。 【变式】10 10.解：(1)不在。理由：连接CD。.·∠B=25°，∠ACB=90°， ∠A=90°-∠B=65°。.AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC= 180°-65 -=57.5°。.∠BCD=90°-57.5°=32.5°≠25°，∴ CD≠BD。∴.点D不在线段BC的垂直平分线上； (2)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√AC2+BC2=13。. AD=AC=5,∴.BD=13-5=8。∴.BE=BD=8。∴.CE=BC-BE =12-8=4。 11.（1)证明：如图1，连接PA,PB,交直线1于点M,连接AM,.: 直线l是线段AB的垂直平分线，·.AM=BM,PB=PM+MB= PM+AM,.·PM+AM>PA,∴.PA<PB; (2)解：AD+CD≥BC,理由如下：如图2，连接BD,·直线l是 线段AB的垂直平分线，∴.AD=BD,当D不在线段BC上时， .:BD+CD>BC,.AD+CD>BC,当D在线段BC上时，AD+CD =BC,∴.AD+CD≥BC P.M 图1 图2 第2课时三角形三边的垂直平分线与尺规作图 1.C2.18cm 3.解：如图，△ABC即为所求 E木A L a BF CT 4.解：（1)如图，DE即为所求； B (2)30cm【解析】，AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠C=∠B= (180°-∠BAC)÷2=30°。.：DE是AC的垂直平分线，DE= 5cm,∴.AD=CD。∴.∠DAC=∠C=30°。∴.AD=CD=2DE= ZBB八年级数学下册