6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

6.4.3 第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第六章“解三角形”中的6.4.3节第3课时。内容包括：实际测量问题中常用术语（基线、仰角、俯角、方位角等）的理解；运用余弦定理、正弦定理解决测量距离（可到达、不可到达）、测量高度（底部可达、底部不可达）、测量角度三类实际问题；三角形面积公式的推导与应用；余弦定理、正弦定理在平面几何及与三角函数综合问题中的拓展应用。 内容解析 本节是余弦定理、正弦定理知识的综合运用与实际延伸，是在学生掌握三角函数、平面向量、余弦定理、正弦定理核心内容后的实践应用模块。其核心是通过数学建模，将实际测量中的复杂问题转化为解三角形问题，体现“数学源于生活、用于生活”的核心思想。 从知识关联看，本节是对初中勾股定理的拓展，是三角函数、平面向量知识在三角形中的具体应用落地，搭建了纯数学知识与实际生产生活的桥梁，同时为后续解决更复杂的几何综合问题、高考中的解三角形实际应用题奠定基础。 从学习意义看，通过解决具有真实背景的测量问题（如河宽测量、建筑物高度测量、海上救援方位确定等），学生能体会数学的实用性，掌握“实际问题—抽象三角形模型—运用定理求解—回归实际验证”的建模流程，提升数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。 教学目标 1. 理解实际测量中的基线、仰角、俯角、方位角等术语含义，能准确识别实际问题中的几何关系。 1. 能熟练运用余弦定理、正弦定理解决测量距离、高度、角度的实际问题，掌握不同测量场景下的模型构建方法。 1. 掌握三角形面积公式的多种形式及推导过程，能结合正、余弦定理解决平面几何中的计算与证明问题。 1. 能处理余弦定理、正弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题，提升知识迁移与综合运用能力。 1. 体验数学建模的完整过程，感受数学与生活、工程、天文等领域的联系，增强应用数学解决实际问题的意识。 目标解析 1. 能准确区分仰角与俯角、方位角与方向角，在实际问题中明确基线的选取原则（基线越长，测量精度越高）。 1. 针对测量距离（两点均不可达、一点可达一点不可达）、高度（底部可达、底部不可达）、角度的不同场景，能画出示意图，抽象出三角形模型，选择合适的定理（正弦定理或余弦定理）求解，并验证结果的合理性。 1. 能推导三角形面积公式的多种表达形式（含两边及夹角、内切圆半径、外接圆半径、海伦公式等），并能根据已知条件灵活选择公式计算三角形面积。 1. 能将平面几何中的线段长度、角度计算问题转化为解三角形问题，能处理正弦定理、余弦定理与三角函数化简、恒等变换的综合题型，实现边角关系的灵活转化。 1. 能完整描述实际问题的求解流程：审题析题—构建模型—选择定理—运算求解—回归实际，解释每一步的核心作用，体会数形结合、化归转化的数学思想。 达成上述目标的标志是： 1. 能准确区分仰角与俯角、方位角与方向角，在实际问题中明确基线的选取原则（基线越长，测量精度越高）。 2. 针对测量距离（两点均不可达、一点可达一点不可达）、高度（底部可达、底部不可达）、角度的不同场景，能画出示意图，抽象出三角形模型，选择合适的定理（正弦定理或余弦定理）求解，并验证结果的合理性。 3. 能推导三角形面积公式的多种表达形式（含两边及夹角、内切圆半径、外接圆半径、海伦公式等），并能根据已知条件灵活选择公式计算三角形面积。 4. 能将平面几何中的线段长度、角度计算问题转化为解三角形问题，能处理正弦定理、余弦定理与三角函数化简、恒等变换的综合题型，实现边角关系的灵活转化。 5. 能完整描述实际问题的求解流程：审题析题—构建模型—选择定理—运算求解—回归实际，解释每一步的核心作用，体会数形结合、化归转化的数学思想。 本节课的学习对象是高一学生，他们已具备以下基础： 1. 掌握三角函数的定义、图象与性质，熟悉三角恒等变换的基本公式。 1. 理解平面向量的基本概念与运算，能利用向量方法推导余弦定理、正弦定理。 1. 已初步掌握余弦定理、正弦定理的基本形式与简单应用，对三角形的边角关系有一定认识。 学生可能存在的难点： 1. 难以将实际问题中的文字描述转化为精准的几何图形，对仰角、俯角、方位角等术语的实际应用容易混淆。 1. 面对复杂图形时，无法快速拆分出可解的三角形，难以确定基线与已知条件的关联。 1. 在综合问题中，对边角关系的转化方向不明确，容易出现运算错误或忽略结果的实际意义验证。 学生的学习兴趣点：实际测量问题源于生活（如测量河宽、建筑物高度、台风影响范围等），具有较强的实践性和探索性，学生乐于参与模型构建与求解过程。 基于以上分析，确定本节课的：教学重点：正弦定理、余弦定理在测量距离、高度、角度问题中的应用；三角形面积公式的灵活运用；实际问题的数学建模过程。教学难点：将实际问题抽象为三角形模型；复杂图形的拆分与定理的综合运用；测量术语的准确理解与应用。 知识点　实际问题中的相关概念 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图． 3．方向角 从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图．方向角的范围是，0与指正方向，一般省略不写． 4．方位角 指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．方位角的范围是[0，2π)． 5．视角 观察物体的两端，视线张开的夹角，如图． 知识点一　三角形的面积公式 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为 (1)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB； (2)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)． 知识点二　△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [提示]　三角形的其他面积公式 (1)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r为△ABC内切圆的半径，l为△ABC的周长． (2)S△ABC＝a2，S△ABC＝b2· ，S△ABC＝c2. (3)S△ABC＝2R2sinAsinBsinC＝，其中R为△ABC外接圆的半径． (4)海伦公式：S△ABC＝，其中p＝(a＋b＋c)． (5)S△ABC＝，其中b＝，a＝. (6)S△ABC＝ 导入新知1 ：“工程中的测量难题” ——某工程队计划修建一条隧道，从A地出发向正东行驶10km到达B地，再从B地向南偏西30°方向行驶一段距离到达C地，最后从C地向北偏西45°方向行驶15km到达D地。已知C地在A地南偏东60°方向上，如何计算A、D两地之间的隧道长度？ 【设计意图】通过神话故事、工程实际问题激发学生的好奇心与求知欲，让学生体会数学在解决实际问题中的重要作用，明确本节课的学习主题——余弦定理、正弦定理的应用举例。 导入新知2：户外露营导航难题 “周末很多同学喜欢和家人去郊外露营，假设咱们露营地在A点，计划去附近的观景台B点，但中间隔着一片湖泊，无法直接通行；同时想提前知道观景台的高度，判断能否看到远处的山脉；另外，从露营地出发时，需要确定观景台的方位角，避免走错方向。还有，露营时遇到突发情况，需要联系救援人员，救援车从C点出发，要知道前往露营地的距离和方向才能快速抵达。这些露营中可能遇到的实际难题，其实都可以通过解三角形的知识解决。今天咱们就带着这些露营中的疑问，学习用余弦定理、正弦定理破解测量难题，让数学成为咱们户外出行的‘导航神器’！” 设计意图 1. 结合户外露营这一学生感兴趣的休闲活动，将抽象的数学知识与鲜活的生活场景结合，降低学生对“实际测量问题”的陌生感，激发学习兴趣。 2. 问题自然融入距离、高度、角度三类测量场景，同时隐含基线选取、方位角识别等关键知识点，全面覆盖本节课核心内容，实现“引入统领全文”的作用。 3. 以“解决露营难题”为悬念，勾起学生对“如何用定理建模求解”的探索欲，同时让学生体会数学在生活、户外出行等领域的应用价值，契合本节课“数学源于生活、用于生活”的核心思想。 探究点1：测量距离问题 中国有一个传统节日——中秋节.中秋节的夜晚一般明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想.同学们想到了什么呢？有同学想到了月饼，有同学想到了嫦娥.很好.嫦娥奔月的神话故事想必大家都耳熟能详了.嫦娥偷吃丈夫后羿从西王母那里讨来的不死药之后，飘飘然就飞起来了，因想念后羿就停在了离地球最近的月宫.这里有一个问题：那遥不可及的月宫离地球究竟有多远呢？ 早在1752年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约为385400km.他们是怎样测出两者之间的距离呢？带着这一系列的问题，我们进入今天的数学学习. 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量． 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案．下面我们通过几道例题来说明这种情况．需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件． 事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案． 例9 如图6.4-12，，两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量，两点间距离的方法，并求出，间的距离． 分析：若测量者在，两点的对岸取定一点 (称作测量基点)，则在点处只能测出的大小，因而无法解决问题．为此，可以再取一点，测出线段的长，以及，，，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了． 解： 如图6.4-13，在，两点的对岸选定两点，，测得，并且在，两点分别测得，，，． 在和中，由正弦定理， 得， 于是，在中，由余弦定理可得，两点间的距离 【变式】如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 到达B，然后从B向南偏西方向行了一段距离到达C，再从C 向北偏西方向行了到达D. 已知C在A 南偏东方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（    ）km. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】由题意，在△ABC中，由正弦定理得，在△ACD中，由余弦定理求得． 【详解】连接AC， 可得， ，， 在中，由正弦定理得， 即，则， 在中，由余弦定理得， 则． 故选：C． 【感悟提升】　求距离问题的注意事项 (1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 【感悟提升】测量距离问题的核心是选取合适的基线，将不可直接测量的距离转化为三角形的边，通过正弦定理、余弦定理求解。注意事项： （1）选定所求量所在的三角形，若有未知量，需在相关三角形中逐步求解； （2）根据已知条件灵活选择正弦定理或余弦定理，优先选择计算简便的定理； （3）基线的选取需保证测量精度，一般基线越长，测量结果越准确。 思考 在上述测量方案下，还有其他计算，两点间距离的方法吗? 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线，如例9中的．为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高，如图6. 4-14，早在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林(点)与好望角(点)为基点，测量出，的大小，并计算出两地之间的距离，进而算出了地球与月球之间的距离约为385 400 km．我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴．当然，随着科学技术的发展，人们会不断发现更加先进的测量距离的方法． 探究点2：测量高度问题 下面看一个测量高度的问题． 例10 如图6.4-15，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度． 分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得一点 (点到地面的距离可求)到建筑物的顶部的距离，并测出由点观察的仰角，就可以计算出建筑物的高度．为此，应再选取一点，构造另一个含有的，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出． 解：如图6.4-15，选择一条水平基线，使，，三点在同一条直线上．在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，， ，测角仪器的高是．那么，在中，由正弦定理，得 ． 所以，这座建筑物的高度为． 【变式】 碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（    ） A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得，则， 在中，，则， 在中，，则，又， 因此，， 所以碧津塔高约为38.23米. 故选：B 在实际操作时，使，，三点共线不是一件容易的事情，你有什么替代方案吗？ 【感悟提升】　测量高度问题的一般步骤 【感悟提升】测量高度问题的一般步骤： 1. 画图：根据已知条件画出示意图，明确仰角、俯角、基线等要素； 1. 分析：识别与高度相关的三角形，优先利用直角三角形的边角关系，若为斜三角形，需通过正、余弦定理转化； 1. 求解：有序解相关三角形，综合运用平面几何知识，注意方程思想的运用； 1. 验证：结果需符合实际高度范围，单位统一。 探究点3：测量角度问题 下面再来看一个测量角度的问题． 例11 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距7n mile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到)?需要航行的距离是多少海里(精确到1 n mile)? 分析：首先应根据“正东方向”“南偏西”“目标方向线”等信息，画出示意图． 由于题目中没有给出图形，因此正确理解题意、画出示意图，是解决问题的重要环节． 解：根据题意，画出示意图(图6.4-16)．由余弦定理，得 ． 于是．由正弦定理，得，于是． 由于，所以． 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东，大约需要航行． 【变式】某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇. 【答案】(1)海里/时 (2)航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇 【知识点】角度测量问题、距离测量问题、余弦定理解三角形、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据小艇与轮船的方位关系，应用余弦定理确定小艇航行的距离与航行的时间的函数关系，进而求小艇的航行距离最小时小艇航行速度； （2）由余弦定理得，结合题设列不等式求小艇最快方式与轮船相遇时所用的时间，进而设计航行方案. 【详解】（1）设相遇时小艇航行的距离为海里，则 ， 当时，（海里），此时（海里/时）. ∴小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. （2）设小艇与轮船在处相遇，则， 故，又， ∴，即，解得. 又时，海里/时，即海里/时时，取得最小值为. 此时，在△中，有海里， 故可设计航行方案：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 【感悟提升】　测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 【感悟提升】测量角度问题的基本思路： 1. 审清题意，根据方位角、方向角等术语画出准确的示意图； 1. 标注已知的边和角，确定待求的角度所在的三角形； 1. 用正弦定理或余弦定理求解三角形，注意角度的取值范围与实际方向的对应； 1. 将解得的角度转化为实际问题中的方向描述（如北偏东、南偏西等）。 测量角度问题画示意图的基本步骤： 1. 定观测点：找准观测点，根据“上北下南，左西右东”确定正北方向； 1. 作出被观测方位物：由题意正确作出其他方位物的位置示意图； 1. 标出有关量：分析图中的已知量和未知量，标出相关角和线段的大小。 1.（24-25高一下·山东淄博·期中）一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】确定中各角度数，利用正弦定理即可求出答案. 【详解】由已知可知（海里）， 则，故（海里）， 故选：A 2.（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【知识点】距离测量问题 【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 3.（25-26高二上·广东深圳·期中）位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【知识点】距离测量问题 【分析】根据题意得如图，，，利用正弦定理即可求解. 【详解】如图，，， 由正弦定理得，， 所以. 故此时甲船距离灯塔海里. 故选：B. 4.（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 5.（25-26高三上·福建宁德·期中）某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（   ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】设这座塔的高度为米，进而在中利用余弦定理求解即可. 【详解】解：设这座塔的高度为米， 因为从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为， 在中，，米；在中，，米， 在中，，米， 由余弦定理得：，即， 整理得，即，解得或（舍） 所以，这座塔的高度为米. 故选：C 6.（25-26高三上·山东·月考）某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底在同一水平面上）两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（    ） A．米 B．米 C．40米 D．80米 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】根据题意画出图形，进而利用余弦定理求解即可. 【详解】根据题意画出图形，如下图所示：    设米，则米，米，米， 在中，由余弦定理可得， 即，即， 解得或（舍去），则米. 故选：C 7.（24-25高一下·浙江衢州·期中）灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角度测量问题、高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】先根据题意得到角度和边，则在中，由正弦定理可求得， 而塔是垂直于地面的，故在中，结合仰角和可算得龙洲塔高度. 【详解】由题意可知，所以， 在中，由正弦定理可得， 因为处测得塔尖的仰角为，即， 则在中，龙洲塔高度为. 故选：C. 8.（24-25高一下·全国·课堂例题）若点在点的北偏东方向上，则点在点的（    ） A．东偏北方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．西偏南方向上 【答案】C 【知识点】角度测量问题 【分析】根据方向具有相对性可求得结果. 【详解】因为点在点的北偏东方向上， 如图所示，点在点的南偏西方向上． ， 选项C符合题意. 故选：C. 9.（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【知识点】角度测量问题 【分析】根据题意，由即可得到的度数，即可得到结果. 【详解】由题意可知， ∵，∴， 从而可知灯塔在灯塔的北偏西． 故选：B 10.（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【知识点】角度测量问题 【分析】根据方向角的概念判断即可 【详解】如下图所示：    因为点在点的南偏东，点在点的北偏西， 故选：A. 1.（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】作出辅助线，，求出各角，在和中，利用正弦定理得到方程，求出，，，从而得到答案. 【详解】过点作垂线，交于点，过点作垂线，交于点， 如图所示， 在中，，则， 由正弦定理得，即， 由点测得点的仰角为，故， 与的差为，故， 在中，， 由正弦定理得，即， 其中 ， ， 所以，解得， 故， ， 又， 故 m， 又，解得， 由点测得点的仰角为，故， 在中，，则， 可得、两点到水平面的高度差m． 故选：B 2.（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 【答案】C 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由，由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以， 当，即时，取得最大值. 故选：C. 3.（2025·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（    ） A．不存在最大值 B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据正弦定理、两角和差公式和辅助角公式可将转化为，根据的范围即可得解. 【详解】，，，， ，， （其中，，）， ，，， 又，，，， ， ∴最大值为. 故选：. 4.（25-26高三上·吉林长春·月考）已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．在钝角中，为锐角，则不等式恒成立 C．若，的平分线交于点，，则的最小值为 D．若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理边角互化的应用、证明三角形中的恒等式或不等式、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用余弦定理角化边可证得A错误；根据诱导公式和正弦函数单调性可知B错误；利用面积法和基本不等式可求得C错误；根据作圆法可知D错误. 【详解】对于A，由余弦定理得：， ， 即， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于B，为钝角三角形，为锐角，，， ，B错误； 对于C，的平分线交于点，，又 ，即，， （当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，C正确； 对于D，如图，若有两解，则，，D错误. 故选：ABD. 1. 知识清单： （1）实际测量术语：基线、仰角、俯角、方位角等； （2）三类实际问题：测量距离、测量高度、测量角度，核心是构建三角形模型，运用正弦定理、余弦定理求解； （3）三角形面积公式的多种形式及应用； （4）正、余弦定理在平面几何、三角函数综合问题中的应用。 1. 方法归纳： （1）数学建模：将实际问题转化为解三角形问题； （2）数形结合：通过画图明确边角关系； （3）化归转化：将复杂图形拆分为简单三角形，逐步求解； （4）方程思想：在未知量较多时，通过列方程求解。 1. 常见误区： （1）对测量术语理解不准确，导致图形绘制错误； （2）选择定理不当，增加计算难度； （3）忽略结果的实际意义，未验证合理性； （4）综合问题中，边角关系转化方向不明确。 教材第 51，52 页练习第 1，3题. 板书设计 第 3 课时 余弦定理、正弦定理应用举例 三、测量高度 五、归纳总结 一、情境引入 例 2 六、课后作业 二、测量距离 仰角、俯角 例 1 四、测量角度 在测量过程中,我们根据测量的需要而确定 例 3 的线段叫做基线 方位角、方向角 练习（第51页） 1．如图，一艘船向正北航行，航行速度的大小为，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．已知距离此灯塔以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？ 1．解析：在中，， 根据正弦定理，得， 所以． 因此，到直线的距离 因为，所以这艘船可以继续沿正北方向航行． 2．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走，到达处，在处测得山顶的仰角为．求证：山高． 2．解析：在中，，． 在中，根据正弦定理，得，所以． 所以，山高． 3．如图，一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东32°的方向航行后到达海岛．如果下次航行直接从出发到达，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少? (角度精确到，距离精确到) 3．解析：在中，．根据余弦定理，得 ． 根据正弦定理，得， 于是．所以，． 所以，此船应该沿北偏东约的方向航行，需要航行大约． 习题6.4（第52页） 1．若非零向量与满足，且， 则为（ ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 1．答案：D 解析：已知非零向量与满足，即角的平分线垂直于，所以．又 故．因此为等边三角形． 2．已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（ ） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 备注：垂心是三角形三条高所在直线的交点． 2．答案：C 解析：由，知为的外心，由， 知为的重心． 因为，所以， 即，故， 同理，．所以为的垂心，因此选C． 3．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角． 3．证明：如图，为圆的直径．设圆的半径为，则 ． ．即直径所对的圆周角是直角． 4．两个粒子， 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为， （1）写出此时粒子相对粒子的位移； （2）计算在上的投影向量． 4． （1） （2）设向量与的夹角为，则，与方向相同的单位向量为， 则， 在上的投影向量为． 5．一个人在静水中游泳时，速度的大小为．当他在水流速度的大小为的河中游泳时， （1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进(角度精确到)？实际前进速度的大小为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进(角度精确到)？实际前进速度的大小为多少？ 5．解析：（1）实际前进速度大小为，沿与水流方向成的方向前进． （2）实际前进的速度的大小为． 设此人游泳的方向和与水流垂直的方向的夹角为，则，．所以此人游泳的方向与水流方向的夹角约为时，才能沿与水流垂直的方向前进． 6．在中，分别根据下列条件解三角形(角度精确到，边长精确到)： （1）， ，； （2），，． 6．解析：（1），． 又由正弦定理，，得，． ． （2），， ，，． 7．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形(角度精确到，边长精确到)： （1），，； （2），，． 7．解析：（1），由正弦定理，， 得，． （2）由正弦定理，，得，或， 当时，， 由正弦定理，，得． 当时，， 由正弦定理，，得． 8．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，求塔高． 8．解析：在中，．由正弦定理，得， 所以，因此，在中，． 9．在气象台正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响? 如果会，大约多长时间后受到影响?持续时间有多长(精确到1 min)? 9．解析：以气象台为坐标原点，正东方向为轴正方向，建立直角坐标系，现在台风中心的坐标为 ，设小时后台风中心移到，则的坐标为， 即． 因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将受台风影响，所以，即 ，整理得， 解得 ，即， 故大约2小时后气象台所在地将遭受台风影响，大约持续6小时37分钟． 10．你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗? 10．如图，过点作，垂足为，则． ． 同理可得，． 由此得任意三角形的面积． 这是由SAS求三角形面积的公式． 11．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点 沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标． 11．解析：设，则． 将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到，于是 ， 所以，解得．因此点的坐标是． 12．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，求的余弦值． 12．解析：解法一：设，，则与的夹角为，，因为，分别是中，边上中线，所以，． 于是，所以 同理，， ，所以． 解法二：以为原点建立如图所示平面直角坐标系，则， ，，． 13．一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小．此时我们分三种情况讨论： （1）当船逆流行驶，与水流成钝角时； （2）当船顺流行驶，与水流成锐角时； （3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时． 请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短． 13．解析：设与的夹角为，合速度为，与的夹角为，行驶距离为，时间为， 则，于是．因此． 所以当，即船垂直于对岸行驶时，所用时间最短． 14．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东． 一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸 (与河的方向垂直)的正西方向并且与相距m的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小． 14．解析：设水流的速度，小货船的航行速度为与，它们的合速度为，航行时间为． 如图，，，，此时小货船航程最短，在中，，所以，即合速度的方向是北偏西． 由得，注意到，即与的夹角为，所以，因此． 即小货船的航行速度的大小为． 15．的三边分别为，，，边，，上的中线分别记为，，利用余弦定理证明： ， ， ． 15．解析：在中，，在中，， ，． 同理， ， ． 16． 在中，求证： 16．解析：由余弦定理的推论，得， ． 17．证明：设三角形的外接圆的半径是，则，， 17．解析：如图（1），当是直角三角形，时，的外接圆的圆心在的斜边上．在中，，即，，所以，． 又，所以，，． 如图（2）， 当是锐角三角形时，它的外接圆的圆心在内，作过点，的直径，连接，则是直角三角形，，． 在中，，即，所以． 同理，，． 如图(3)， 当是钝角三角形时，不妨设为钝角，它的外接圆的圆心在外．作过点， 的直径，连接．则是直角三角形，，．在中，，即，即． 类似可证，，． 综上，对任意三角形，如果它的外接圆半径等于，那么，， 18．利用第10题的结论，证明三角形的面积公式 18．解析：由正弦定理，得所以，代人三角形面积公式，得 ． 19．如图，在平行四边形中，点，分别是，边的中点，，分别与交于，两点，你能发现，，之间的关系吗？用向量方法证明你的结论． 19．解析：由于，是对角线上的两点，要判断，，之间的关系，只需分别判断，，与的关系即可， 设，，，则． 由与共线，得．又，由与共线，得． 因为，所以，因此，即 ，由于向量，不共线，要使上式为，必须， 解得．所以， 同理可得．于是．所以． 20．已知的三个角，，的对边分别为，，，设，求证： （1）三角形的面积； （2）若为三角形的内切圆半径，则 （3）把边，，上的高分别记为，，则 ， ， ． 20．解析：（1） （2）三角形的面积与三角形内切圆半径之间有关系． 所以 （3）根据三角形面积公式．，所以 同理， ． 21．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．请设计一个测量方案，包括： （1）指出要测量的数据(用字母表示，并标示在图中)； （2）用文字和公式写出计算，间的距离的步骤． 21．解法1：如图，测量下列数据：由点观测点，的俯角为，；由点观测，的俯角为，；，的距离为． 第一步，在中，计算，由正弦定理，得； 第二步，在中，计算，由正弦定理，得； 第三步，在中，计算，由余弦定理，得． 解法2：如图，测量下列数据：由点观测点，的俯角为 ，；由点观测，的俯角为，；，的距离为． 第一步，在中，计算，由正弦定理，得； 第二步，在中，计算，由正弦定理，得； 第三步，在中，计算，由余弦定理，得． 22．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，则的面积为，求，． 22．解析：（1）根据正弦定理，条件式即为，也即 ， 所以． 整理，得，即．又， 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 学科网（北京）股份有限公司 $