6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例（教学课件）数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦余弦定理、正弦定理的应用，通过工程隧道测量、户外露营导航等实际问题导入，复习正余弦定理公式，搭建从理论到测量距离、高度、角度的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过分类讨论测量类型和通性通法总结发展数学思维，用规范推导和建模训练提升数学语言表达。实例丰富如不可达两点距离测量，助力学生知识迁移，为教师提供系统教学资源。

第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.理解实际测量中的基线、仰角、俯角、方位角等术语含义，能准确识别实际问题中的几何关系。 2.能熟练运用余弦定理、正弦定理解决测量距离、高度、角度的实际问题，掌握不同测量场景下的模型构建方法。 3.掌握三角形面积公式的多种形式及推导过程，能结合正、余弦定理解决平面几何中的计算与证明问题。 4.能处理余弦定理、正弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题，提升知识迁移与综合运用能力。 目录 CATALOG 01.利用余弦、正弦定理解决平面几何问题 03.题型强化训练 02.余弦、正弦定理与三角函数的综合应用 04.小结及随堂练习 6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 01 利用余弦、正弦定理解决平面几何问题 导入新知1 ：“工程中的测量难题” 某工程队计划修建一条隧道，从A地出发向正东行驶10km到达B地，再从B地向南偏西30°方向行驶一段距离到达C地，最后从C地向北偏西45°方向行驶15km到达D地。 已知C地在A地南偏东60°方向上，如何计算A、D两地之间的隧道长度？ 导入新知2：户外露营导航难题 “周末很多同学喜欢和家人去郊外露营，假设咱们露营地在A点，计划去附近的观景台B点，但中间隔着一片湖泊，无法直接通行；同时想提前知道观景台的高度，判断能否看到远处的山脉；另外，从露营地出发时，需要确定观景台的方位角，避免走错方向。还有，露营时遇到突发情况，需要联系救援人员，救援车从C点出发，要知道前往露营地的距离和方向才能快速抵达。 这些露营中可能遇到的实际难题，其实都可以通过解三角形的知识解决。今天咱们就带着这些露营中的疑问，学习用余弦定理、正弦定理破解测量难题，让数学成为咱们户外出行的‘导航神器’！” 复习旧知 余弦定理： 余弦定理推论： 正弦定理： 正弦定理的变式： 学习新知 已知三角形中的三个元素解三角形： （1）已知两边及其夹角（SAS）； （2）已知三条边（SSS）； （3）已知两边及一边对角（SSA）； （4）已知两角和一边； --- 用余弦定理求解 --- 用余弦定理求解 --- 用正、余弦定理都可解 --- 用正弦定理求解 注：已知两边或三边的用余弦定理求解； 已知两角的用正弦定理求解. 学习新知 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量. 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件. 事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情景和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限制下的恰当方案. 学习新知——相关角的定义 仰角和俯角 【仰角】：目标视线在水平线上方与水平线的夹角 【俯角】：目标视线在水平线下方与水平线的夹角 铅 垂 线 视线 视线 水平线 仰角 俯角 方位角 【定义】：从某点的正北方向起，按顺时针方向 旋转到目标方向线所成的最小正角 北 东 ° 方向角 【定义】：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 OA：北偏西40°，OB：南偏西60° 北 东 ° ° 学习新知 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这 类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量． 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案．下面我们通过几道例题来说明这种情况．需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件． 事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案． 学习新知 例9： 【分析】 学习新知——测量距离的问题 【解析】 如图，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得 于是在△ABC中,由余弦定理可得AB两点间的距离 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、角度测量问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 距离测量问题 学习新知 【感悟提升】 三角形中与距离有关问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决． 学习新知 【思考】 在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗? 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线，如例9中的CD．为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 学习新知 【变式】 学习新知 【详解】 通性通法 测量距离的基本类型及方案 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 距离测量问题 02 余弦、正弦定理与 三角函数的综合应用 6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 学习新知——测量高度的问题 例10： 【分析】 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高.由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高. 学习新知——测量高度的问题 【解析】 选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上，由在H，G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a，测角仪器的高是h. 那么，在△ACD中，根据正弦定理可得 B E A H G D C h a 学习新知 【感悟提升】 测量高度问题的一般步骤　 学习新知 【变式】 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 高度测量问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 高度测量问题 通性通法 测量高度的基本类型及方案 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理解三角形、高度测量问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 余弦定理解三角形、高度测量问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 角度测量问题、高度测量问题、正弦定理解三角形 学习新知——测量角度的问题 例11： 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile 的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图. 【分析】 7 n mile 30° 20 n mile A C 北 B 学习新知——测量角度的问题 【解析】 根据题意，画岀示意图由余弦定理，得 由正弦定理，得 由于 0°<C<90°，所以 因此,乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46° + 30° = 76°, 大约需要航行24 n mile. 7 n mile 30° 20 n mile A C 北 B 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 角度测量问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 角度测量问题 学习新知 【感悟提升】 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 学习新知 【变式】 甲船在岛B的正南A处，AB=10km，甲船以每小时4km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间 是 h，最近距离是 km． 【解析】 依题意，如图,假设t小时后后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处,则有 所以在△BCD中，由余弦定理可得： 学习新知 【变式】 甲船在岛B的正南A处，AB=10km，甲船以每小时4km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间 是 h，最近距离是 km． (当且仅当 时取到等号) 即当航行时间为 时，甲乙两船距离最近，最近距离为 通性通法 测量角度问题画示意图的基本步骤 （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有 关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型 的解； （4）检验：检验上述所求解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 求解三角形应用题的一般步骤 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 角度测量问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 03 题型强化训练 6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 能力提升 题型一、三角形面积公式 【练习1】 【详解】 能力提升 题型一、三角形面积公式 【反思感悟】 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用． 能力提升 题型一、三角形面积公式 【反思感悟】 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用． 能力提升 题型一、三角形面积公式 能力提升 题型二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用 【练习2】 能力提升 【详解】 能力提升 【反思感悟】 与几何图形有关的解三角形问题的思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． (3)在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角． 题型二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用 能力提升 题型三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用 【练习3】 【解析】 能力提升 【解析】 能力提升 题型三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用 【反思感悟】 常见的综合问题有：正弦定理和余弦定理与平面向量、三角函数、三角恒等变换的综合交汇问题． 余弦定理、正弦定理与三角函数的交汇问题，其考查核心是三角函数的有关知识，因此应以余弦定理、正弦定理为工具，将问题转化为三角函数问题．其中涉及平面向量问题，应充分利用向量的几何特征，将向量问题转化为三角形的问题． 能力提升 题型三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用 正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式： 一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值； 二是利用三角函数的性质，一般把求边的范围转化成求角的范围，解与三角形有关的问题． 应用余弦定理、正弦定理解决三角形的综合问题的关键是充分应用余弦定理、正弦定理中的边角关系可以相互转化这一功能． 【反思感悟】 能力提升 题型四、测量角度问题 能力提升 能力提升 题型四、测量角度问题 测量角度问题画示意图的基本步骤 能力提升 题型五、测量高度问题 【练习5】 【解析】 能力提升 题型五、测量高度问题 测量高度的基本类型及方案 能力提升 题型六、测量距离问题 【练习6】 【解析】 能力提升 题型六、测量距离问题 【感悟提升】 三角形中与距离有关问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决． 能力提升 题型六、测量距离问题 测量距离的基本类型及方案 04 小结及随堂练习 6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 课堂总结1 1．知识清单： (1)三角形的面积公式． (2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题． (3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验． 课堂总结2 1．解决应用题的思想方法是什么？ 把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想． 2 ．应用正余弦定理解决应用题的步骤是什么？ 实际问题 数学问题（画出图形） 解三角形问题 数学结论 课堂总结3 作业 教材第 51，52 页练习第 1，3题. 6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 练习（第51页） 1. 一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？ 答：这艘船可以继续沿正北方向航行. 3．如图，一艘海轮A从出发，沿北偏东75°的方向航行67. 5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54 n mile后到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少? (角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile) 北 67.5 n mile 54 n mile A B C 习题6.4（第52页） D C 3．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角． A B O C 9．在气象台A正西方向300km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响? 如果会，大约多长时间后受到影响? 持续时间有多长(精确到1 min)? A B 东 北 9．在气象台A正西方向300km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响? 如果会，大约多长时间后受到影响? 持续时间有多长(精确到1 min)? 故大约2小时后气象台所在地将遭受台风影响，大约持续6小时37分钟． 10．你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗? 这是由SAS求三角形面积的公式． A B C D c a b A B P M N C A B P M N C A B P M N C x y A B C D E 中线定理，又称阿波罗尼奥斯定理 A B C D c b a ma 中线定理，又称阿波罗尼奥斯定理 A B C D c b a ma 证法2：以△ABC的边AB, AC为邻边作平行四边形ABEC。 C A B D E c b a ma 这是由ASA或AAS求面积的公式。 A B C D E F R T A B C D E F R T 这是由SSS求面积的公式：海伦—秦九韶公式 秦九韶公式 应用举例：秦九韶《数书九章》卷五“田域类”：“问有沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步。欲知为田几何” A B C b c a （第20（2）题） 就三角形的面积计算问题作一探索，你现在已经学习了哪些计算公式，还可发现和证明一些新的计算公式吗? 就三角形的面积计算问题作一探索，你现在已经学习了哪些计算公式，还可发现和证明一些新的计算公式吗? 向量三角形的面积公式： B A 向量三角形的面积公式： B A 21．如图，为了测量两山顶M， N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B， M， N在同一个铅垂平面内．请设计一个测量方案，包括： （1）指出要测量的数据(用字母表示，并标示在图中)； （2）用文字和公式写出计算M， N间的距离的步骤． 23．根据实际需要，利用本节所学的知识完成一次有关测量的实习作业，并写出实习报告(包括测量问题、测量工具、测得数据和计算过程及结论)． 复习参考题6 √ √ × × 实数0与任意向量的数乘结果是零向量，而不是实数0 2.选择题 D B D C D B A B C D E F M A B C D H x y 12. 海中一小岛, 周围3 n mile内有暗礁. 海轮由西向东航行,望见这岛在北偏东75°. 海轮航行8 n mile以后,望见这岛在北偏东55°.如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险? 所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险. 13.选择题 A D A B C D B A B C D O x y C A B C D C 几何意义是矩形的两条对角线相等． A B C D 几何意义是菱形的对角线互相垂直． A B C D 重心与外心重合 O P1 P2 P3 O A B N M S A B C D E A B C D E 18.设计一种借助于两个观察点C,D(已知来那个观察点的距离是d)测量航船A的航向和速度的方法. A B C D E l 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 【详解】由已知可知（海里）， 则，故（海里）， 故选：A 1.一艘海轮从 处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东 的方向直线航行，2小时后到达 处，在 处有一座灯塔，海轮在 处观察灯塔，其方向是南偏东 ，在 处观察灯塔．其方向是北偏东 ，那么 两点间的距离是（   ） A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 某船只在海面上向正东方向行驶了 迅速将航向调整为南偏西 ，然后沿着新的方向行驶了 ，此时发现离出发点恰好30km，那么 的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ．或， （1）若，则，为直角三角形，； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60.故选：D． 如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向 正东行 到达B，然后从B向南偏西 方向行了一段距离 到达C，再从C 向北偏西 方向行了 到达D. 已知C在A 南偏东 方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（    ）km. A． B． C． D． 连接AC，可得 ， ， ，在 中， 由正弦定理得 ，即 ， 则 ，在 中，由余弦定理得 ， 则 ． 故选：C． 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD， ∠ADC，∠ACB， 在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 位于某海域的甲船发现，在其北偏东 方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东 方向行驶 海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ） A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 【详解】如图，，，由正弦定理得，， 所以. 故此时甲船距离灯塔海里. 故选：B. 碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔 的高，他在山下A处测得 塔尖D的仰角为 ，再沿 方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖 点D的仰角为 ，塔底点E的仰角为 ，那么碧津塔高约 为（ ， ）（     ） A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52 【答案】B 【详解】在 中， ，则 ， ， 由正弦定理得 ，则 ， 在 中， ，则 ， 在 中， ，则 ，又 ， 因此 ， ， 所以碧津塔高约为38.23米. 故选：B “ 年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的 线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔 垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶 的仰角分别为 ， （如图），设乘客眼睛离地面的距离为 ， .若 在同一水平高度，且 ， ， 在同一竖直平面内，则北塔 高为（    ）    A． B． C． D． 【详解】由题知，设 ，则 ， ， 所以 ，解得 . 所以 . 故选：B 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数． 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 5.某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度 ，在塔附近选取了相距60米的 ， （ ， 与该塔的塔底 在同一水平面上）两个测量点，从 点观测该塔塔顶 的仰角为 ，从 点观测该塔塔顶 的仰角为 ，且 ，则这座塔的高度 为（   ） A．15米 B． 米 C．30米 D． 米 【详解】设这座塔的高度为米，因为从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，在中，，米；在中，，米，在中，，米，由余弦定理得：， 即，整理得，即，解得或（舍） 所以，这座塔的高度为米.故选：C 某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔 的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的 （ 与该信号塔的塔底 在同一水平面上）两个测量点：从 点观测该信号塔塔顶 的仰角为 ，从 点观测该信号塔塔顶 的仰角为 ，且 ，则这座信号塔的高度 （    ） A． 米 B． 米 C．40米 D．80米 【详解】根据题意画出图形，如下图所示：   设米，则米，米，米， 在中，由余弦定理可得， 即，即， 解得或（舍去），则米. 故选：C 7. 灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面 处测得塔在南偏东 的方向上，向正南方向行走 后到达D处，测得塔在南偏东 的方向上， 处测得塔尖 的仰角为 ，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，所以， 在中，由正弦定理可得， 因为处测得塔尖的仰角为，即， 则在中，龙洲塔高度为. 故选：C. 8. 若点 在点 的北偏东 方向上，则点 在点 的（    ） A．东偏北 方向上 B．北偏东 方向上 C．南偏西 方向上 D．西偏南 方向上 【详解】因为点在点的北偏东方向上， 如图所示，点在点的南偏西方向上． 选项C符合题意. 故选：C. 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东 ，灯塔B在观察站C的南偏东 ，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 【详解】由题意可知， ∵，∴， 从而可知灯塔在灯塔的北偏西． 故选：B 在某测量中，设点 在点 的南偏东 ，则点 在点 的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 【详解】如图所示：  因为点在点的南偏东， 点在点的北偏西， 故选：A. 设函数 的导函数为 ，且 ， 则 （   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，位移与时间的关系是 ，可得， 可得. 故选：C. A． B． C． D． 则△ABC的面积是 由题在 EMBED Equation.DSMT4 中，， ， ， 代入 可得 ，舍掉负根 . EMBED Equation.DSMT4 . .于是根据三角形 面积公式有： . 故选A. 在△ABC中，点D为边AB上一点，若 ， 1.三角形的面积公式 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为 (1)S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)acsinB； (2)S＝eq \f(1,2)a·ha＝eq \f(1,2)b·hb＝eq \f(1,2)c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)． 2.△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3.三角形的其他面积公式 (1)S△ABC＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)＝eq \f(1,2)rl，其中r为△ABC内切圆的半径，l为△ABC的周长． (2)S△ABC＝eq \f(1,2)a2eq \f(sinBsinC,sinA)，S△ABC＝eq \f(1,2)b2· eq \f(sinAsinC,sinB)，S△ABC＝eq \f(1,2)c2eq \f(sinAsinB,sinC). (3)S△ABC＝2R2sinAsinBsinC＝eq \f(abc,4R)，其中R为△ABC外接圆的半径． (4)海伦公式：S△ABC＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，其中p＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)． (5)S△ABC＝eq \f(1,2) eq \r(|a|2|b|2－（a·b）2)，其中b＝eq \o(CA,\s\up6(→))，a＝eq \o(CB,\s\up6(→)). (6)S△ABC＝eq \f(1,2)|a1b2－a2b1|，其中eq \o(AB,\s\up6(→))＝(a1，a2)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(b1，b2)． 如图，在 中， ，点 在边 上， 且 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 在 中，由余弦定理可得 . 又 ，故 为直角三角形，故 . 因为 ，且 为锐角，故 . 由 利用正弦定理可得 ，代值可得 ， 故 . 故选：C. （1）由余弦定理知： ， ∴ ，∵ ，∴ . 已知 的内角 所对的边分别为 ，满足 . (1)若 ，求角 ； (2)若 ，试判断 的形状. （2） ，由正弦定理： ， 而 ，∴ ， 即 ，而 ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， 又由（1）知 ，∵ 及 ，∴ ，从而 ， 因此 为正三角形. 【练习4】瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为 ，沿山道继续走20 ，测得瀑布顶端的仰角为 .已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为 .根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为 ，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进 ，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为 .（此人身高忽略不计） ，所以 . 【详解】如图，设瀑布顶端为 ，底端为 ，高为 ，该同学第一次测量的位置为 ，第二次测量的位置为 ，则 ， ,所以 ，在 中由余弦定理可知： 即 ， 解得： ;如图，两段山道为 ,过 作 于点 ，由题意知： ， ， 所以 ，在 中 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以. 故答案为：60；3. 在△BCD中， ， 由正弦定理得 ， 解得 (m）， 在Rt△ABC中， (m). 故选：D 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（    ） A．5 m B．15 m C．5 m D．15 m 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠ACB＝C，AB＝a·tan C 底 部 不 可 达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数． 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同 侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米， ， 请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（     ）米． A． B． C． D． 由正弦定理可知 ， 故选：B 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB $