6.4.3　第2课时　正弦定理 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

6.4.3　第2课时　正弦定理 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第六章“解三角形”中的6.4.3节第2课时，核心内容包括：正弦定理的概念与公式表达；利用向量法、定义法、外接圆法推导正弦定理；正弦定理在解三角形中的应用（已知两角一边、已知两边及其中一边的对角）；正弦定理与余弦定理的综合运用；三角形面积的计算及三角形形状的判断。 内容解析 本节是解三角形的核心内容之一，是初中“勾股定理”和“大边对大角、小边对小角”等边角关系的延伸与量化，也是三角函数、平面向量知识在三角形中的具体应用。正弦定理揭示了任意三角形中边与对角正弦值的定量关系，为解决斜三角形问题提供了重要工具。 从知识关联看，正弦定理与余弦定理共同构成解三角形的基础，分别对应不同的已知条件场景，是后续解决实际测量、几何计算等问题的关键支撑，也是高考必考内容之一（多以选择题、解答题形式出现）。 从学习意义看，本节课通过多种方法推导正弦定理，能培养学生的逻辑推理能力；通过实际问题的解决，体现数学的实用性，强化数形结合、化归转化等数学思想，提升数学抽象、数学运算等核心素养。 教学目标 1. 理解正弦定理的本质内涵，掌握其符号语言与文字语言表达，明确正弦定理与三角形外接圆的关系（）。 1. 能熟练运用向量法推导正弦定理，并了解定义法、外接圆法等其他推导思路，体会数形结合的数学思想。 1. 能运用正弦定理解决两类解三角形问题：已知两角一边、已知两边及其中一边的对角；能结合余弦定理解决三角形形状判断、面积计算等综合问题。 1. 感受正弦定理在实际生活中的应用价值，提升运用数学知识解决实际问题的能力，培养数学建模与逻辑推理素养。 目标解析 1. 达成“理解与掌握”目标的标志：能准确表述正弦定理的文字与符号形式，明确其适用范围（任意三角形），能解释的几何意义（三角形外接圆直径）。 1. 达成“推导与探究”目标的标志：能跟随推导思路，用向量法完成正弦定理的证明，能简述其他推导方法的核心步骤，体会从特殊（直角三角形）到一般（锐角、钝角三角形）的推理过程。 1. 达成“应用与综合”目标的标志：能根据已知条件选择合适的方法解三角形，在已知两边及其中一边的对角时能正确判断解的个数并分类讨论；能结合正弦定理、余弦定理解决三角形形状判断、面积计算等问题。 1. 达成“素养与价值”目标的标志：能运用正弦定理解决实际测量问题（如两点间距离测量），能在解题过程中自觉运用数形结合、化归转化思想，提升数学运算的准确性与逻辑性。 达成上述目标的标志是： 1. 能举例说明生活中的周期现象（如潮汐、摩天轮高度、简谐运动），并指出其周期特征。 2. 给定实际数据（如潮汐水深与时间数据），能画出散点图，判断适用的三角函数模型类型，并通过周期计算、平衡位置确定、振幅确定，初步确定初相。 3. 针对具体问题（如货船进港时间、叶片高度不低于某值的时长），能列出三角不等式并求解，得到符合实际意义的结果（如时间范围、时长）。 4. 能结合实例（如潮汐问题）描述三角函数应用的步骤：“审清题意—整理数据—建立模型—求解模型—回归实际”，并解释每一步的作用。 本节课的授课对象为高一学生，具备以下学习基础： 1. 已掌握三角函数的基本概念、同角三角函数关系及诱导公式，能进行简单的三角运算。 1. 学习了平面向量的基本知识与数量积运算，具备运用向量解决几何问题的初步能力。 1. 初中阶段已了解三角形的边角关系（大边对大角、等边对等角）及勾股定理，能解决直角三角形的相关计算问题。 1. 上一课时已学习余弦定理，掌握了“已知两边及其夹角” “已知三边”解三角形的方法，能感受到余弦定理的局限性，为正弦定理的引入奠定了认知基础。 学生可能存在的难点： 1. 用向量法推导正弦定理时，对“构造垂直单位向量” “将余弦关系转化为正弦关系”的逻辑衔接理解困难。 1. 已知两边及其中一边的对角时，对解的个数的判断容易遗漏分类讨论。 正弦定理与余弦定理的综合运用中，难以根据题目条件快速选择合适的定理。 教学重点： 1. 正弦定理的向量法推导过程。 2. 运用正弦定理解决两类基本解三角形问题。 3. 正弦定理与余弦定理的综合应用（三角形形状判断、面积计算）。 教学难点： 1. 向量法推导正弦定理中，角的转化与向量运算的结合。 2. 已知两边及其中一边的对角时解的个数的判断。 3. 实际问题与数学模型的转化，以及综合问题中定理的选择与运用。 知识点　正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知两角和一边，解三角形． ②已知两边和其中一边的对角，解三角形． [提示]　(1)设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝，sinB＝，sinC＝； ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； ④＝＝＝. (2)判定三角形形状通常有两种途径：①通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝等；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝，cosA＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 导入新知1：登山测距问题 周末，小明和同学结伴去郊外登山。他们到达山脚的A点后，计划攀登至山顶的B点，同时想提前测算出A点到B点的直线距离，以便规划登山时间和体力分配。他们随身携带了测角仪和可伸缩的皮尺，能够测量地面上两点间的距离以及不同方向的角度。在A点，他们先测量出旁边一个固定标志物C点到A点的距离为35米，接着用测角仪测出∠BAC=58°，∠BCA=42°。此时小明提出疑问：“我们没有办法直接测量A到B的直线距离，仅靠这些测量数据，能算出A、B两点之间的距离吗？” 追问引导 1. 这个问题可以转化为哪种几何图形的计算问题？（三角形） 2. 我们上节课学习的余弦定理，需要已知哪些条件才能求解边长？（两边及其夹角或三边） 3. 现在我们已知的是三角形的哪些条件？（两角和一边） 4. 余弦定理能直接解决这个问题吗？如果不能，是否需要一种新的定理来满足“已知两角一边”的解三角形需求？ 设计意图 · 贴近生活实际：登山是学生熟悉的户外活动，测距需求符合现实场景，能让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。 · 衔接旧知，凸显新知必要性：通过回顾余弦定理的适用条件，让学生发现其局限性，进而产生对新定理的探究欲望，自然引出正弦定理的学习。 · 紧扣核心内容：情境中“已知两角一边”的条件，恰好对应正弦定理的核心应用场景之一，为后续定理的应用铺垫基础，实现“引入—探究—应用”的逻辑衔接。 导入新知2：果树灌溉管道设计问题 村里的果园中有三棵果树，分别标记为A、B、C。果农需要在A树附近安装一个灌溉水龙头，同时要铺设管道连接到B树和C树，确保两棵树都能被灌溉到。已知C树到A树的距离为40米，果农用测角仪测得∠BAA=65°（此处修正为∠BAC=65°），∠ABC=70°。果农想知道，从A树到B树的管道长度需要多少米？另外，为了计算灌溉所需水量，还需要知道三角形ABC的面积，仅靠现有数据能完成这两个计算吗？ 追问引导 · 要解决管道长度（AB边长）和三角形面积的问题，本质是解决三角形的什么问题？（解三角形：求边长、求面积） · 已知两角和一边，如何建立边与角之间的定量关系？ · 初中我们学过“大边对大角”，但这种关系是定性的，能否找到一种定量关系，直接通过已知角和边长求出未知边长？ · 这种定量关系是否适用于所有三角形？如何验证其正确性？ 设计意图 贴合实际应用：农业灌溉中的管道设计的问题，体现了数学在生产生活中的实用价值，让学生明白学习正弦定理的现实意义。 覆盖核心考点：情境不仅涉及“已知两角一边”求边长，还隐含了三角形面积计算的需求，呼应了本节课“正弦定理与三角形面积计算”的综合应用内容，实现对整节课核心知识的统领。 激发探究思维：通过“定性关系到定量关系”的追问，引导学生从直观感知走向逻辑推理，契合正弦定理的推导思路（从特殊到一般、从定性到定量），培养学生的数学抽象和逻辑推理素养。 1.创设情境，引发思考 【实际情境】小明的家坐落在河岸的一侧A处，河的对岸B处有一座电视塔，现在小明想测量他的家与电视塔的距离。但是他没有办法渡河，他的手边只有测角仪与皮尺，那么他有办法利用手边的工具测得A与B之间的距离么？ 问题1：（1）在测量之前应该借助什么图形来研究？（2）在上一堂课中学习的余弦定理是否可以应用在解决此类问题？（3）在构造出的三角形中，哪些条件是已知条件？ 【预设的答案】三角形；不能；AC边长，角A与角C是已知的。 【设计意图】利用求河的两岸两点距离这一实例以及复习余弦定理，让学生感受余弦定理的局限性以及引入新的定理的必要性，同时调动学生学习的兴趣。 2.探究典例，形成概念 问题2：在初中阶段，怎样描述三角形中角与对边的关系？如何用符号语言表示？可以在直角三角形中加以证明么？ 探究 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢? 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论．实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系．从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为： 在中，设的对边为，的对边为，求，，，之间的定量关系．如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在中，已知，，，求”的问题． 我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手．根据锐角三角函数，在中(如图6.4-9)，有 显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立．观察发现， 它们有一个共同元素，利用它把两个式子联系起来，可得 又因为， 所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式， 即 【活动预设】回顾初中阶段的知识“大边对大角，小边对小角”，并利用直角三角形初步得出的结论。 【设计意图】通过回顾初中的知识引出正弦定理，初步了解正弦定理的含义。 问题3：此结论在一般的三角形中仍适用么？可以用什么方法进行证明？ 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立? 【活动预设】 （1） 利用定义法，通过作垂线将锐角三角形分解为两个直角三角形； （2） 利用向量法，通过作垂直的单位向量构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系； （3） 利用外接圆法，通过同一弦对应角的大小相同的关系，得出的结论。 【设计意图】运用不同方法进行正弦定理的证明，拓宽思路，同时明了正弦定理与外接圆的关系。 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究． 我们希望获得中的边，，与它们所对角，，的正弦之间的关系式，在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究． 思考 向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦．如何实现转化? 由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系． 下面先研究锐角三角形的情形． 如图6.4-10，在锐角中，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与 的夹角为． 因为，所以 由分配律，得 即 也即，所以 同理，过点作与垂直的单位向量，可得 因此 当是钝角三角形时，不妨设为钝角(如图6. 4-11)． 过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与 的夹角为． 仿照上述方法，同样可得． 综上，我们得到下面的定理： 正弦定理(law of sines)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即． 这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质． 问题4：如何用文字语言与符号语言描述正弦定理？ 【教师讲授】符号语言：；文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 追问：正弦定理有哪些变形呢？ 【教师讲授】 【设计意图】在探究特例的基础上，遵循从特殊到一般的思路，形成正弦定理的概念，并了解正弦定理的变形。 正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系．利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题． 以上我们利用向量方法获得了正弦定理、余弦定理事实上，探索和证明这两个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁你还能想到其他方法吗? 问题5：回顾问题1中的题目，假设测得AC=20m，角A为60度，角C为45度，如何利用正弦定理求AB之间的距离? 【预设答案】根据角B与AC的长度列出等式即可。 【设计意图】回归情景导入问题，通过新授知识解决问题，感受正弦定理在实际生活中的应用。 如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出A，B的距离？ 问题6：余弦定理适用于解决已知三边求三角等问题，那么正弦定理适用于哪些类型的解三角形问题？ [点拨]　(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立； (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对的角的正弦； (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与所对角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． 【预设答案】已知两边与其中一个边的对角；已知两角与一边等问题。 【设计意图】通过类比余弦定理，得到正弦定理的适用范围，方便进行区分。 例7 在中， 已知，，，解这个三角形． 解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得 【变式】在中，若，，，则（    ） A．5 B． C． D．3 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】使用正弦定理求解即可． 【详解】由正弦定理得：，即， 故，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了正弦定理得使用，正确代入相关数值进行计算是关键． 例8 在中， 已知，，，解这个三角形． 分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理． 解：由正弦定理，得 因为， 所以 于是 或 为什么角有两个值？ （1）当时， 此时 （2）当时， 此时 由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解． 【变式】在三角形中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由得，再由正弦定理计算即可. 【详解】由题意，, 因为，所以, 由正弦定理得, 即， 因为, 所以或. 故选：C. 【设计意图】加深对正弦定理的理解，了解正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：既可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；也可以化角为边，转化为代数问题来解决，同时学会将正弦定理与余弦定理的结合运用。 1.（2024·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】根据正弦定理和比例的性质可得，可得结果. 【详解】在中，，所以，所以， 由正弦定理以及比例的性质可得：. 故选：B 2.（2026·云南红河·模拟预测）在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，然后检验即可. 【详解】由正弦定理，得，即． 又因为，所以或． 经检验：当时，；当时，，均符合题意． 故选：D． 3.（25-26高三上·重庆北碚·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求出角，再根据三角形内角和定理即可得解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：D. 4.（25-26高三上·福建福州·期中）中，，则 【答案】/0.5 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、诱导公式，化简整理，即可得答案. 【详解】由正弦定理得， 所以， 所以，则. 故答案为： 5.（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理以及三角形解的个数的判断方法，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若有两解，则， 即，所以， 所以有两解可以推出. 所以“”是“有两解”的必要不充分条件. 故选：B 6.（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 7.（2026高二上·云南·学业考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】由题意得在中，，，， 由正弦定理得，解得，故C正确. 故选：C 8.（25-26高三上·贵州贵阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形 【分析】首先求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. 故选：C 9.（25-26高三上·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】设最大边的对角为,利用余弦定理求出,进而求出，再利用正弦定理就可以求出外接圆半径,所以外接圆的面积为. 【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 故选：A. 10. （25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理求外接圆半径 【分析】先由题设求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为. 故选：D 1.（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围. 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 2.（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，利用正弦定理求出，结合已知求出，进而求出. 【详解】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B 3.（25-26高三上·江苏南通·月考）在平面四边形ABCD中，已知，则的外接圆的直径长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】在和中，分别利用余弦定理得，结合已知及列方程求出，利用同角三角函数基本关系求得，最后在中利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 得， 在中，， 在中， ， 所以，所以，所以． ，所以， 在中，利用正弦定理得，的外接圆的直径长度为． 故选：D 4.（2026·河南开封·一模）在中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】先由两角和差的余弦公式经过拆角变形为，再由正弦定理边化角得到，然后由两角和差的余弦公式再拆角，结合二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ， ， 由正弦定理可知， 即， 因为，故， 所以， 所以. 故选：D. 1. 知识清单： · 正弦定理的文字与符号表达（）； · 正弦定理的推导方法（核心：向量法）； · 正弦定理的应用场景（已知两角一边、已知两边及其中一边的对角）； · 综合应用（三角形形状判断、面积计算）。 1. 方法归纳： · 数形结合思想（利用三角形外接圆理解的意义）； · 化归转化思想（将斜三角形问题转化为直角三角形问题）； · 分类讨论思想（已知两边及其中一边的对角时判断解的个数）。 1. 常见误区： · 已知两边及其中一边的对角时遗漏分类讨论； · 忽略三角形内角和定理的约束（角的范围）； · 综合问题中混淆正弦定理与余弦定理的适用条件。 教材第48页第1，2，3题 练习（第48页） 1．完成下列解三角形问题(角度精确到，边长精确到)： （1）在中，已知，，； （2）在中，已知，，． 1．解析：（1），由正弦定理， 可得，． （2）由正弦定理，得，或， 当时，，由，得． 当时，，由，得． 2．（1）在中，已知，，，求和； （2）在中，已知，， ，求． 2．解析：（1）由正弦定理，得，因为，所以，于是．所以． （2）． 由正弦定理，得． 3．在中，已知，，，求，． 3．解析：因为，所以，于是． 又，所以，于是， 因此． 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 学科网（北京）股份有限公司 $