6.4.3　第2课时　正弦定理（教学课件）数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.4.3.2 第2课时 正弦定理 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.理解正弦定理的本质内涵，掌握其符号语言与文字语言表达，明确正弦定理与三角形外接圆的关系 。 2.能熟练运用向量法推导正弦定理，并了解定义法、外接圆法等其他推导思路，体会数形结合的数学思想。 3.能运用正弦定理解决两类解三角形问题：已知两角一边、已知两边及其中一边的对角；能结合余弦定理解决三角形形状判断、面积计算等综合问题。 4.感受正弦定理在实际生活中的应用价值，提升运用数学知识解决实际问题的能力，培养数学建模与逻辑推理素养。 目录 CATALOG 01.正弦定理 03.题型强化训练 02.利用正弦定理解三角形 04.小结及随堂练习 6.4.3.2 正弦定理 01 正弦定理 导入新知1：登山测距问题 周末，小明和同学结伴去郊外登山。他们到达山脚的A点后，计划攀登至山顶的B点，同时想提前测算出A点到B点的直线距离，以便规划登山时间和体力分配。他们随身携带了测角仪和可伸缩的皮尺，能够测量地面上两点间的距离以及不同方向的角度。在A点，他们先测量出旁边一个固定标志物C点到A点的距离为35米，接着用测角仪测出∠BAC=58°，∠BCA=42°。此时小明提出疑问：“我们没有办法直接测量A到B的直线距离，仅靠这些测量数据，能算出A、B两点之间的距离吗？” 1.这个问题可以转化为哪种几何图形的计算问题？（三角形） 2.我们上节课学习的余弦定理，需要已知哪些条件才能求解边长？（两边及其夹角或三边） 3.现在我们已知的是三角形的哪些条件？（两角和一边） 4.余弦定理能直接解决这个问题吗？如果不能，是否需要一种新的定理来满足“已知两角一边”的解三角形需求？ 导入新知2：果树灌溉管道设计问题 村里的果园中有三棵果树，分别标记为A、B、C。果农需要在A树附近安装一个灌溉水龙头，同时要铺设管道连接到B树和C树，确保两棵树都能被灌溉到。已知C树到A树的距离为40米，果农用测角仪测得∠BAA=65°（此处修正为∠BAC=65°），∠ABC=70°。果农想知道，从A树到B树的管道长度需要多少米？另外，为了计算灌溉所需水量，还需要知道三角形ABC的面积，仅靠现有数据能完成这两个计算吗？ 要解决管道长度（AB边长）和三角形面积的问题，本质是解决三角形的什么问题？（解三角形：求边长、求面积） 已知两角和一边，如何建立边与角之间的定量关系？ 初中我们学过“大边对大角”，但这种关系是定性的，能否找到一种定量关系，直接通过已知角和边长求出未知边长？ 这种定量关系是否适用于所有三角形？如何验证其正确性？ 学习新知 【探究】 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为∶ 在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题. 学习新知 我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在 Rt△ABC中（如图6.4-9），有 学习新知 在直角三角形中，有 对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？因为涉及三角形的边、角关系，所以任然采用向量的方法来研究. 我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究． 学习新知 【思考】 向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？ 由诱导公式 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系. 学习新知 A B C 学习新知 A B C 学习新知 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即 【问题】 正弦定理有几个等式，每个等式中有几个元素？ 正弦定理中有三个等式，每个等式中有四个元素（两角及其对边）. 【问题】 利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 利用正弦定理，我们可以解已知“两角和一边”和“两边和其中一边的对角”的三角形. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理解三角形 学习新知 以上我们利用向量方法获得了正弦定理、余弦定理事实上，探索和证明这两个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁你还能想到其他方法吗? 证法二：可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 学习新知 再看钝角三角形的情况 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理解三角形 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 02 利用正弦定理解三角形 6.4.3.2 正弦定理 学习新知 例7： 学习新知 【变式】 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理判定三角形解的个数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理判定三角形解的个数 学习新知 例8： 这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理． 【分析】 【详解】 为什么角C有两个值？ 学习新知 学习新知 【变式】 【详解】 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理解三角形 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形 学习新知 学习新知 【探究】 【详解】 【分析】 A B C a b A B C a b 学习新知 A B C a b A B C b a=bsinA A B1 B2 C a a b A B C b a<bsinA 学习新知 若A为锐角时: 若A为直角或钝角时: 无解 一解（直角） 二解（一锐、一钝） 一解（锐角） 无解 一解（锐角） 学习新知 学习新知 A B C a b c 学习新知 证法四：图形证明 A B C a b c D A B C a b c D 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理求外接圆半径 03 题型强化训练 6.4.3.2 正弦定理 能力提升 【练习1】 题型一、已知两边及其中一边的对角解三角形 【详解】 能力提升 题型一、已知两边及其中一边的对角解三角形 【感悟提升】 已知两边及一边的对角解三角形的方法 (1)首先用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)． (3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论． 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值． 能力提升 【练习2】 题型二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 能力提升 【详解】 利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去． 【反思感悟】 能力提升 题型二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 【感悟提升】 判断三角形形状的方法 (1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断． 能力提升 题型二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 【感悟提升】 (2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． (3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别． 能力提升 【练习3】 题型三、正弦、余弦定理的综合应用 【详解】 能力提升 能力提升 题型三、正弦、余弦定理的综合应用 【感悟提升】 利用正弦、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． 能力提升 【练习4】 题型四、有关三角形面积的计算 能力提升 题型四、有关三角形面积的计算 三角形面积计算的依据和解题策略 (2)解题策略： ①若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形， 转化为求三角形的面积； ②若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹 角，再利用三角形面积公式进行求解．　　 能力提升 【练习5】 题型五、已知两角及一边解三角形 能力提升 题型五、已知两角及一边解三角形 【感悟提升】 已知两角及一边解三角形的基本思路 (1)当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边． (2)当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解． 04 小结及随堂练习 6.4.3.2 正弦定理 课堂总结1 1．知识清单： (1)正弦定理． (2)利用正弦定理解三角形． (3)三角形解的个数的判断． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论． 课堂总结2 已知三角形中的三个元素解三角形： （1）已知两边及其夹角（SAS）； （2）已知三条边（SSS）； （3）已知两边及一边对角（SSA）； （4）已知两角和一边； --- 用余弦定理求解 --- 用余弦定理求解 --- 用正、余弦定理都可解 --- 用正弦定理求解 注：已知两边或三边的用余弦定理求解； 已知两角的用正弦定理求解. 课堂总结3 已知边边角的三角形解的个数 已知两边和其中一边的对角，则不能唯一确定三角形，因此解这类三角形问题将出现无解、一个解、两个解三种情况． 课堂总结4 作业 教材第48页第1，2，3题 6.4.3.2 正弦定理 练习（第48页） 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 若 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， 则 （    ） A． B． C． D．6 【详解】在中，，所以，所以， 由正弦定理以及比例的性质可得：. 故选：B 2. 在 中， ， ， ，则 为（    ） A． B． C． 或 D． 或 【详解】由正弦定理，得，即． 又因为，所以或． 经检验：当时，；当时，，均符合题意． 故选：D． 3. 在 中， ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以，所以. 故选：D. 4.（25-26高三上·福建福州·期中） 中， ，则 【详解】由正弦定理得， 所以，所以，则. 故答案为： A．5 B． C． D．3 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【点睛】本题考查了正弦定理得使用，正确代入相关数值进行计算是关键． 故 ，解得 ． 故选：A． 【详解】由正弦定理得： ，即 ， 【分析】使用正弦定理求解即可． 在 中，若 ， ， ，则 （    ） 5. 在 中， , ，则“ ”是“ 有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若有两解，则， 即，所以， 所以有两解可以推出. 所以“”是“有两解”的必要不充分条件. 故选：B 6. 在 中，内角 的对边分别为 ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. A． B． C． 或 D． 或 已知 ，则 （    ） 由题意， ,因为 ，所以 , 由正弦定理得 ,即 ， 因为 ,所以 或 . 故选：C. 在三角形 中，角 所对的边分别为 ， 7. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ， ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得在中，，，， 由正弦定理得，解得，故C正确. 故选：C 8. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （   ） A．3 B． C．4 D．5 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. 故选：C 9. 已知 的三边长分别为 ，则 的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以,设的外接圆半径为,则由正弦定理,得, 所以,所以外接圆的面积为. 故选：A. 在 中，已知 ， ，则 外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【详解】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为. 故选：D A． B． C． D． 因为 ， ，所以由正弦定理得 ， ， 得 ，因为 ，所以角 为锐角， 所以 ， 故选：C 中，角 所对的边分别为 . 若 ， ，则 （    ） 如图，在一个半径为 的半圆形铁板中，截取一块矩形 ， 使得矩形的顶点 、 在半圆的直径上， 、 在半圆弧上. 连接 ，设 . (1)试用 和 表示矩形 的面积 ，并求其定义域； (2)求矩形 的面积 的最大值， 并求出取到最大值时 的值. （1） 依题意， ， ，则 ， ， 所以矩形 的面积 ， 定义域为 . （2）因为 ，所以当 时， 取得最大值 . 选择①：在 中，由正弦定理 ，得 ，所以 ， 由余弦定理 ，得 ， ， 解得 ， 边上的高 . 在 中， ， ，________，求 边上的高. 从① ② ③ ，这三个条件中任选一个， 补充在上面问题中并作答. 选择②：在 中，由 ，得 ，由余弦定理 ， 得 ，化简 ，解得 ， 边上的高 . 选择③：在 中，由 ，得 ，所以 ， 由余弦定理 ，得 ， ，解得 ，所以 或 ， 边上的高 . 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据平方关系求出 ，再由面积公式计算可得. 【详解】 ， ， ，又 ， ， ． 故选：C． 在 中， ， ， ，则 的面积为（    ） A．24 B．18 C．12 D．9 (1)依据：一般用公式S＝ eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) ac sin B进行求解；　 【详解】由 ， ，可得 ，由正弦定理可得 ， 即 . 故选：D. 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】先求得 ，再由正弦定理求解即可. 记 的内角 的对边分别为 ， 若 ， ，则 （    ） A． B． C．2 D． $