《与圆有关的尺规作图》专题研究 讲义 2026年中考数学一轮复习

《与圆有关的尺规作图》专题研究 典型例题1．如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 典型例题2．已知：如图，在左侧求作一点，使得，且． 典型例题3．如图，已知，平分交于点D，请利用尺规作的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法） 典型例题4．如图，已知中，．请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）： (1)作，使圆心在边上，经过点且与边相切，请在图1中完成作图； (2)已知点D为边上一点（不与点A、B重合），连接，作，使圆心在边上，经过点C且与边相切，请在图2中完成作图． 典型例题5．如图，在中，，点为边的中点，请用尺规作图法，求作一个，使该圆经过点，，．（保留作图痕迹，不写作法）    典型例题6．如图，已知，点P在边上，请用尺规作图法，求作，使圆心O在边上，且与边相切于点P．（保留作图痕迹，不写作法） 变式1．如图，在中，，．在图中，以延长线上一点为圆心作圆，使该圆经过点，．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 变式2．如图1，点为的边上的一个点，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上确定一个点，作使得它经过点，并且与相切于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中，连接，过点作交于，若的半径为3，则 ．（如需画草图，请使用备用图2） 变式3．如图，已知线段，，．求作，使，且分别满足下列条件； (1)上的中线为． (2)上的高为． 变式4．如图，在中，，． (1)在内找一点D，连接、使得，．（尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，当时，求的长． 变式5．如图，为边上一点．用直尺和圆规分别作出满足下列条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，与的边相切于点，且与边也相切； (2)在图②中，与的边相切于点，与边相交于点，且． 变式6．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)该弧所在圆的半径长为______； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，我们记为，请你证明； (3)如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹； (4)如图4，在边长为6的等边中，动点P在内部，且，连接，则的最小值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《与圆有关的尺规作图》专题研究 参考答案 1．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作图复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质． （1）根据线段垂直平分线的性质即可在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； （2）延长至，作的平分线，得过点的垂线，延长交于点， 作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点即可． 【详解】（1）解：如图1所示：点即为所求作的点； （2）如图2所示：点即为所求作的点． 作图如下： 延长至， 作的平分线， 得过点的垂线， 延长交于点， 作的角平分线交于点， 过点作的垂线交于点． 2．见解析 【分析】本题考查了尺规作图－复杂作图．也考查了圆内接四边形的性质．分别作的垂直平分线，交点为O，以O为圆心，为半径作，在的左侧，的垂直平分线与的交点即为P． 【详解】解：如图，点为所作． ． 3．见解析 【分析】本题主要考查了内切圆的作图，先作出的平分线，交于点O，过点O作的垂线，垂足为E，以点O为圆心为半径作圆即可． 【详解】解：即为所求作的圆，如图所示． 4．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线和垂直平分线的作法以及角平分线的性质． （1）根据题意可得，作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，根据角平分线的性质可得，到的距离等于，即半径，可得与边相切； （2）过点作交延长线于点，由（1）作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，即可求解． 【详解】（1）解：作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，则即为所求， 由题意可得，平分，， ∴到的距离等于，即半径， ∴与边相切； （2）解：按照垂线的作法，过点作交延长线于点， 再由（1）作的角平分线交于点， 以为圆心，以为半径画圆，则即为所求，如下图： 由（1）可得，与边相切． 5．见解析 【分析】本题主要考查了作一个三角形的外接圆，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．先作出线段的垂直平分线，得出的中点O，再以点O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如图，即为所求作的圆．    连接，， ∵，点为边的中点， ∴， ∴为直角三角形， ∵为的中点， ∴， ∴过点A、B、D． 6．见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定． 过点P作的垂线，交于点O，以点O为圆心，以的长为半径作圆即可． 【详解】解：如图，即为所求作的圆． 由作法可知， 是的半径，且， ∴是的切线， ∴即为所求作的圆． 7．图见解析 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质． 作的垂直平分线交的延长线于点，以点为圆心，为半径作圆． 【详解】解：如图所示． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作的垂线交于点，在上取，过点作的垂线与的交点即为圆心； （2）连接，根据圆的切线的性质，得出，结合垂径定理可得垂直平分，证明，进而证明，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，连接， ，的半径为3， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， 垂直平分， ，， 又， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了复杂作图——作垂线，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，掌握基本作图方法，以及圆和三角形的相关性质是解题关键． 9．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图； （1）作线段，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，延长到点，使得，连接，即为所求； （2）作射线，并截取，过作的垂线，以点为圆心，为半径作弧，与的垂线交于点，以为圆心，在的垂线上截取，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求， （2）解：如图2，即为所求， 10．(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于O点，再以O点为圆心，为直径作圆O，再以C点为圆心，长为半径画弧交圆O于D点，连接、，则，． （2）在左侧取点E，连接、、，使得，． 则，进而可得．设，根据相似三角形的对应边相等可得，根据含的直角三角形的性质可得，．设，则．由得．由勾股定理得，由可得． 【详解】（1）解：如图所示，点D为所求．· （其余画法合理即可得分） （2）解：在左侧取点E，连接、、，使得，． 则， ∴， ∴，且， ∴，即， ∴， ∴，， 设，则 ∵，， ∴，， ∵，， ∴设，则， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 在中，根据勾股定理 ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键． 11．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合切线的性质，即可得出圆心C与点O的连线平分，即作的角平分线，过点P作的垂线，两直线交点即可确定圆心C，即可解答； （2）结合切线的性质可过点P作的垂线，即确定圆心C所在直线．过点P作的垂线，交于点M，结合同角的余角相等，可证．再作线段的垂直平分线，与过点P作的垂线相交于点C，则点C即为圆心C，，即可解答； 【详解】（1）解：如图，即为所作． 由切线的性质可知的圆心C与点O的连线平分， ∴作的角平分线，再过点P作的垂线，与的角平分线的交点即为点C，最后以点C为圆心，长为半径画圆即可； （2）解：如图，即为所作． 根据切线的性质可过点P作的垂线，则圆心C在这条垂线上． 过点P作的垂线，交于点M， ∴． ∵， ∴． 再作线段的垂直平分线，与过点P作的垂线相交于点C，则点C即为圆心C， 最后以点C为圆心，长为半径作圆，与交于点N． 【点睛】本题考查作图—角平分线，作图—线段垂直平分线，作图—作圆，切线的性质，角平分线的判定定理，同角的余角相等，垂径定理等知识．根据切线的性质，结尺规作图的基本方法是解题关键． 12．(1)2 (2)见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】（1）过点作，交圆弧于点，连接，圆周角定理，得到为该弧所在圆直径，，进而求出的长即可； （2）设与圆弧交点为，连接，圆周角定理，得到，三角形的外角的性质，得到，即可得证； （3）过点作，在上截取，连接，作的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径画圆，与直线的交点，即为点； （4）以为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接，得到，证明点在上，垂直平分，利用三线合一和含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进一步求出的长，即可． 【详解】（1）解：过点作，交圆弧于点，连接， 则：为该弧所在圆直径，， ∴， ∴该弧所在圆的半径为； 故答案为：2； （2）设与圆弧交点为，连接，则：， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （3）如图：点即为所求； 由作图可知：为等腰直角三角形， ∴， 由同弧所对的圆周角相等，得到； （4）解：以为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接，则：，，， ∴，， ∴点在上， ∴， ∵等边三角形 ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆，四点共圆，等边三角形的性质，三线合一，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作垂线，线段和圆等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $