6.4.3 第1课时 余弦定理 （教学课件） 数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第1课时 余弦定理 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.理解余弦定理的本质，掌握余弦定理的两种表示形式及推论，能阐述余弦定理与勾股定理的内在联系。 2.掌握向量法证明余弦定理的思路，能通过推导过程体会向量运算在几何问题中的应用价值。 3.能熟练运用余弦定理解决“已知两边及夹角求第三边” “已知三边求角”两类解三角形问题，掌握相关解题步骤与技巧。 4.能利用余弦定理判断三角形形状，体会数学知识的实际应用价值，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 目录 CATALOG 01.余弦定理 03.题型强化训练 02.余弦定理的简单应用 04.小结及随堂练习 6.4.3 第1课时 余弦定理 01 余弦定理 导入新知 1：校园景观规划中的距离计算 学校计划在校园内打造三角形景观区域，其中两个景观节点A和B位于教学楼前的直线步道上，距离为18米。节点C将设置在图书馆旁的草坪上，从节点B到C的规划路径长12米，且步道AB与路径BC的夹角为120°。施工前需要精准测量节点A到C的直线距离，以便铺设灌溉管道；同时还要确定节点C相对于节点A的方位，确保景观布局合理。 1.这个问题能转化为三角形中的什么问题？已知条件是什么？要求解的量是什么？ 2.已知三角形的两边及它们的夹角，如何计算第三边的长度？ 3.求出三边后，怎样确定未知角（即节点C相对于A的方位角）？ v 导入新知 2：网购包裹的最短运输路线规划 某快递公司仓库位于城市A点，一位客户的收货地址是城市C点。快递员需先从仓库A将包裹送到中转站B，已知A到B的公路距离为25千米，行驶方向为正南方向；再从B中转站送到客户所在地C，B到C的公路距离为16千米，行驶方向为南偏东60°。为了优化配送效率，公司需要计算A到C的直线距离，判断是否存在更短的直达运输路线；同时要确定从A到C的行驶方位，为快递员提供导航参考。 1.这个运输问题对应的三角形中，已知哪些边角关系？需要求解什么？ 2.已知两边及夹角时，为什么不能用勾股定理计算第三边？需要怎样的新定理来解决？ 3.若后续已知A、B、C三点之间的直线距离，如何判断三角形路线中哪个角是最大角（即运输路线中转弯角度最大的位置）？ 学习新知 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系．例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系．对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS， SAS， ASA， AAS等判定三角形全等的方法．这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系? 下面我们利用向量方法研究这个问题． 学习新知 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？ 这四个量，知三可求一 学习新知 【探究】 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c,怎样用 a、b和C表示c？ 学习新知 余弦定理的定义 余弦定理:三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即 你能用其他方法 证明余弦定理吗？ 利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. 【问题】 学习新知 【思考】 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢? 余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画． 利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角．从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 余弦定理解三角形 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 余弦定理解三角形 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 余弦定理解三角形 学习新知 【思考】 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系.你能说说这两个定量之间的关系吗？ 余弦定理与勾股定理的关系 如果△ABC中有一个角是直角，例如C=90°，这时cosC=0.由余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理. 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 一般地，三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【解三角形的概念】 学习新知 【思考】 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗? A C B a b c 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cosC=0.由余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理. 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 余弦定理解三角形 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 余弦定理解三角形 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 余弦定理解三角形 02 余弦定理的简单应用 6.4.3 第1课时 余弦定理 学习新知 例5： 【解析】 学习新知 【详解】 【变式】 学习新知 【感悟提升】 1.已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角． (2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长． 学习新知 【感悟提升】 2. 解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 余弦定理解三角形 学习新知 例6： 学习新知 【详解】 【变式】 学习新知 【反思感悟】 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边． 通性通法 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解； (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 已知两边及一角解三角形的两种情况 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 余弦定理解三角形、平面向量数量积的定义及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 余弦定理解三角形 03 题型强化训练 6.4.3 第1课时 余弦定理 能力提升 【练习1】 题型一、已知两边及一角解三角形 能力提升 题型一、已知两边及一角解三角形 【感悟提升】 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角． (2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长． 能力提升 【练习2】 题型二、已知三边解三角形 能力提升 题型二、已知三边解三角形 【感悟提升】 已知三边(三边关系)求解三角形的方法 (1)已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理的推论求解出各角的大小． (2)若已知三角形的三边关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例 性质转化为已知三边求解． 能力提升 题型二、已知三边解三角形 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角． 【注意】 通性通法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 已知三角形三边解三角形的方法 能力提升 【练习3】 题型三、利用余弦定理判断三角形形状 【详解】 能力提升 题型三、利用余弦定理判断三角形形状 【感悟提升】 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现 漏解． 能力提升 题型三、利用余弦定理判断三角形形状 【感悟提升】 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 如何利用余弦定理判断角的形状 通性通法 判断三角形形状的基本思想和两条思路 04 小结及随堂练习 6.4.3 第1课时 余弦定理 课堂总结1 1．知识清单： (1)余弦定理． (2)余弦定理解决的两类问题． (3)余弦定理的简单应用． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件． 课堂总结2 余弦定理： 余弦定理推论： 适合用余弦定理解三角形： （1）已知三条边；（2）已知两边及其夹角；（3）已知两边及一边对角. （不一定有解） 即已知两边或三边. 课堂总结2 利用余弦定理判断角的形状： 课堂总结3 作业 教材第44页练习第1〜3题. 6.4.3 第1课时 余弦定理 练习（第44页） 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ， ， ，则 （    ） A．4 B． C．3 D．2 【详解】. 故选：C 2. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是函数 的零点， ，则 （   ） A． B． C．18 D．12 【详解】因为是函数的零点，所以, 由余弦定理可得：, 则； 故选：A 3.在 中，角 所对的边分别为 ， ， ， ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】在中，，，， 由余弦定理得，所以. 故选：B. 4. 已知在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则角 为（   ） A． B． C． D． 【详解】在中，， 则． 又，则． 故选：C． 5. 在 中， ，则 最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 6. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．则角 （　　） A． B． C． D． 【详解】依题意由余弦定理得， 又，所以. 故选：D 由 中， ，可得 ， 即 ， 即 ，解得 或 ， 经验证 或 适合题意， 故选：C 已知 的内角 所对的边分别为 ， 则边长 （    ） A． B． C． 或 D．4或 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ， ，则 （   ） A． B．20 C．16 D． 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 8. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则角 的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】在中，由余弦定理和，得 ，当且仅当，即时等号成立， 由此可知为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D. 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，因此 ， 故选：C 在 中，若 ，则最大角的余弦是（    ） A． B． C． D． 9. 在 中， ，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，可得， 根据余弦定理，可得， 所以，即. 由，当且仅当，即时取等号. 故选：B 的内角 的对边分别为 ，满足 ，角 为锐角， 则角 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是. 故选：D. 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】先求得B的余弦值，再根据余弦定理可求得b的值. 【详解】 ，∴ ， ∴ . 故选：A. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 ， ， ，则 （    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求出 的余弦值，从而可求其大小. 【详解】由余弦定理可得 ， 而 为三角形内角，故 ， 故选：C. 在 中，已知 ， ， ，则 （    ）. A． B． C． D． 则 一定是（    ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 因为 ，又由余弦定理得 ， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ，所以 为等腰三角形. 故选：C 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝eq \f(π,2). (3)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2； $