6.4.3 第1课时 余弦定理（教学设计) 数学人教A版必修第二册

6.4.3 第1课时 余弦定理 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第六章“解三角形”中的6.4.3节“余弦定理”第1课时。内容包括：借助向量运算探索三角形边长与角度的数量关系，推导余弦定理及推论；掌握余弦定理的两种表示形式；运用余弦定理解决“已知两边及夹角求第三边” “已知三边求角”两类基本解三角形问题；结合实例说明余弦定理与勾股定理的关系，利用余弦定理判断三角形形状。 内容解析 本节是解三角形的核心内容之一，是初中勾股定理的直接延拓，也是三角函数、平面向量知识在三角形中的综合应用。其核心价值在于将三角形的定性全等判定（SSS、SAS）转化为定量的边角计算公式，为解决斜三角形的边角关系问题提供了重要工具。 从知识关联看，余弦定理与后续正弦定理共同构成解三角形的基础，不仅是高中数学的重点内容，也是解决生产生活中测量、航海、几何计算等实际问题的关键模型，同时是高考必考知识点，常以选择题、解答题形式出现。 从学习意义看，通过向量法推导余弦定理的过程，能让学生体会数形结合、化归转化的数学思想，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，为后续复杂数学问题及跨学科问题的解决奠定基础。 教学目标 1. 理解余弦定理的本质，掌握余弦定理的两种表示形式及推论，能阐述余弦定理与勾股定理的内在联系。 1. 掌握向量法证明余弦定理的思路，能通过推导过程体会向量运算在几何问题中的应用价值。 1. 能熟练运用余弦定理解决“已知两边及夹角求第三边” “已知三边求角”两类解三角形问题，掌握相关解题步骤与技巧。 1. 能利用余弦定理判断三角形形状，体会数学知识的实际应用价值，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 目标解析 1. 能准确表述余弦定理的文字语言和符号语言，明确定理中边角的对应关系，能举例说明余弦定理是勾股定理的推广。 1. 能跟随推导过程理解向量法证明的逻辑链条，即通过向量分解、数量积运算将几何关系转化为代数等式，进而推导出余弦定理。 1. 给定具体的三角形边长或角度条件，能选择合适的余弦定理形式进行计算，边长精确到0.01，角度精确到1°，并能检验结果的合理性。 1. 能结合三角形边角关系，利用余弦定理的推论判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形，或判断三角形是否为等腰、等边三角形。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立写出余弦定理及推论的符号表达式，准确说明“三角形一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与夹角余弦积的两倍”的含义。 1. 能复述向量法推导余弦定理的关键步骤，解释为何选择向量数量积运算作为推导工具。 1. 针对“已知两边及夹角” “已知三边”两类问题，能规范完成解题过程，得出正确结果；对“已知两边及一边对角”的情况，能通过建立方程求解第三边，并进行检验。 1. 能根据三角形三边关系，利用余弦定理推论计算最大角的余弦值，判断三角形形状，且能说明判断依据。 本节内容的学习对象是高一学生，学生已具备以下基础： 1. 掌握三角形的基本性质、勾股定理、锐角三角函数的定义。 1. 学习了平面向量的概念、线性运算及数量积运算，具备运用向量解决简单几何问题的初步能力。 1. 了解三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），对三角形边角关系有定性认识。 学生的认知难点在于： 1. 理解向量法证明余弦定理的思路，难以快速联想到用向量自身数量积运算推导边长关系。 1. 灵活运用余弦定理及推论解决不同类型的解三角形问题，容易忽略三角形中“大边对大角” “两边之和大于第三边”等隐含条件。 1. 对余弦定理的变形应用不够熟练，在判断三角形形状时难以将边角条件合理转化。 基于以上分析，学生对解三角形的实际应用有一定兴趣，通过具象的问题情境和逐步递进的探究活动，能够突破认知难点，掌握核心知识。 基于以上分析，确定本节课的 教学重点：1.余弦定理的推导过程（向量法），2.运用余弦定理解决“已知两边及夹角求第三边” “已知三边求角”两类基本问题。 教学难点：1.向量法证明余弦定理的思路构建，2.灵活运用余弦定理及推论解决复杂解三角形问题（如已知两边及一边对角求第三边、判断三角形形状），3.解题过程中对隐含条件的挖掘与运用。 知识点一　余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 知识点二　余弦定理的推论 cosA＝，cosB＝，cosC＝． 知识点三　解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 知识点四　余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形． [提示]　判定三角形形状时常用到的结论 (1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.例如：在不等边三角形ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则60°<A<90°. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2. 导入新知 1：校园景观规划中的距离计算 学校计划在校园内打造三角形景观区域，其中两个景观节点A和B位于教学楼前的直线步道上，距离为18米。节点C将设置在图书馆旁的草坪上，从节点B到C的规划路径长12米，且步道AB与路径BC的夹角为120°。施工前需要精准测量节点A到C的直线距离，以便铺设灌溉管道；同时还要确定节点C相对于节点A的方位，确保景观布局合理。 请同学们思考： 1. 这个问题能转化为三角形中的什么问题？已知条件是什么？要求解的量是什么？ 2. 已知三角形的两边及它们的夹角，如何计算第三边的长度？ 3. 求出三边后，怎样确定未知角（即节点C相对于A的方位角）？ 设计意图 1. 情境贴近校园生活，学生熟悉且有代入感，能快速将实际问题与数学知识关联，降低抽象感。 2. 直接引出本节课核心考点“已知两边及夹角求第三边”，同时自然过渡到“已知三边求角”的后续问题，完美统领余弦定理的两类基本应用。 3. 以“景观规划”这一实际需求为切入点，让学生体会余弦定理的实用价值，激发主动探究解决问题的求知欲。 4. 问题链层层递进，从转化问题到核心运算再到拓展应用，符合学生的认知逻辑，为余弦定理的推导和应用做好铺垫。 导入新知 2：网购包裹的最短运输路线规划 某快递公司仓库位于城市A点，一位客户的收货地址是城市C点。快递员需先从仓库A将包裹送到中转站B，已知A到B的公路距离为25千米，行驶方向为正南方向；再从B中转站送到客户所在地C，B到C的公路距离为16千米，行驶方向为南偏东60°。为了优化配送效率，公司需要计算A到C的直线距离，判断是否存在更短的直达运输路线；同时要确定从A到C的行驶方位，为快递员提供导航参考。 请同学们思考： 1. 这个运输问题对应的三角形中，已知哪些边角关系？需要求解什么？ 2. 已知两边及夹角时，为什么不能用勾股定理计算第三边？需要怎样的新定理来解决？ 3. 若后续已知A、B、C三点之间的直线距离，如何判断三角形路线中哪个角是最大角（即运输路线中转弯角度最大的位置）？ 设计意图 1. 选取“快递运输”这一生活中高频场景，贴近学生日常体验，让学生感受到数学知识在生活服务中的重要作用，提升学习兴趣。 2. 通过“勾股定理无法解决”的矛盾点，引发学生认知冲突，自然引出学习余弦定理的必要性，勾起学生探索新定理的求知欲。 3. 情境既包含“已知两边及夹角求第三边”的基础应用，又隐含“已知三边求角” “判断三角形最大角”的拓展需求，能统领整节课的核心内容，为余弦定理的推导、推论及应用搭建完整的问题框架。 4. 问题设计紧扣余弦定理与勾股定理的关系，为后续探究两者的内在联系埋下伏笔，帮助学生构建知识体系。 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系．例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系．对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS， SAS， ASA， AAS等判定三角形全等的方法．这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系? 下面我们利用向量方法研究这个问题． 1．余弦定理 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式是什么? 探究 在中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示? 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究． 如图6.4-8，设， ，，那么 ① 我们的研究目标是用，和表示，联想到数量积的性质，可以考虑用向量（即）与其自身作数量积运算． 由①得． 所以 同理可得 于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理： 余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边． 思考 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢? 由余弦定理，可以得到如下推论： 余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画． 利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角．从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式． 思考 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗? 如果中有一个角是直角，例如，，这时．由余弦定理可得，这就是勾股定理．由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例． 一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving triangles)． 例5 在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到)． 解：由余弦定理，得 所以 由余弦定理的推论，得 ， 利用计算器，可得． 所以． 【变式】已知的内角所对的边分别为，则边长（    ） A． B． C．或 D．4或 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理列式计算，即可求得答案. 【详解】由中，， 可得，即， 即，解得或， 经验证或适合题意， 故选：C 【感悟提升】　 1.已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角． (2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长． 2. 解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　 例6 在中，，，锐角满足，求（精确到）． 分析：由条件可求，再利用余弦定理及其推论可求出的值． 解：因为，且为锐角，所以． 由余弦定理，得 所以． 进而．利用计算器，可得． 【变式】在中，若，则最大角的余弦是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理求出，再根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 因此， 故选：C 反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边． 1.（2026高二上·云南·学业考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理进行求解即可. 【详解】. 故选：C 2.（25-26高二上·云南曲靖·期中）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是函数的零点，，则（   ） A． B． C．18 D．12 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由题可得,利用余弦定理求解即可. 【详解】因为是函数的零点，所以, 由余弦定理可得：, 则； 故选：A 3.（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 4.（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求出，进而得到角的值. 【详解】在中，， 则． 又，则． 故选：C． 5.（2025·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 6.（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．则角（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】直接利用余弦定理计算可得. 【详解】依题意由余弦定理得，又，所以. 故选：D 7.（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 8.（2025·云南·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理及条件，结合基本不等式，可得，根据角B的范围，分析即可得答案. 【详解】在中，由余弦定理和，得 ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D. 9.（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、平面向量数量积的定义及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】先利用向量数量积的概念，结合余弦定理，探索三角形边的关系，再利用余弦定理结合基本不等式，可求的最小值. 【详解】由，可得， 根据余弦定理，可得， 所以，即. 由，当且仅当，即时取等号. 故选：B 10.（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据题意，得到，利用余弦定理，求得，结合角为锐角，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是. 故选：D. 1.（2026·湖北孝感·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理和数量积的定义得，然后利用中线向量表示及模的运算求解中线长即可. 【详解】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以. 故选：B 2.（多选题）（2025·辽宁沈阳·三模）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（   ） A． B． C．a的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由数量积的定义即可判断A，由三角形的面积公式即可判断B，由余弦定理以及基本不等式即可判断C，由基本不等式的常数代换，即可判断D. 【详解】对于A，由可得，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由余弦定理可得， 即，则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 3.（25-26高三上·河南周口·月考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的最大值是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再利用余弦定理结合基本不等式可得，进而可得的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 整理可得，所以， 因为，则， 可得，由正弦定理可得， 由余弦定理可得． 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以，且， 则，可得， 所以的最大值是. 故选：A. 4.（25-26高三上·安徽·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，由余弦定理得，，再利用，得到，继而得到，接着利用基本不等式求解即可． 【详解】设，因为D为的中点，，所以， 由三角形的三边关系，可知且，解得． 在中，由余弦定理得；　① 在中，由余弦定理得．　② 因为，所以， 所以，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，此时，满足条件， 所以的最小值为． 故选：A． 1．知识清单： (1)余弦定理． (2)余弦定理解决的两类问题． (3)余弦定理的简单应用． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件． 教材第44页练习第1〜3题. 练习（第44页） 1．（1）在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到)； （2）在中，已知，， ，求． 1．解析：（1）， ．，， ． （2）由余弦定理得，． 2．在中，已知，，，解这个三角形． 2．解析：根据余弦定理的推论，得 ，所以． ，所以．因此． 3．在中，已知，，锐角满足，求 (精确到)． 3．解析：因为，且为锐角，所以，由余弦定理，得，所以，所以，利用计算器可得． 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 1. 推导余弦定理时，可结合几何图形直观展示向量分解过程，帮助学生理解向量法的本质，若学生对向量法接受较慢，可补充几何法（作高构造直角三角形）辅助推导。 1. 讲解例题时，应注重解题步骤的规范性，强调易错点（如边角对应、结果检验），可采用板书示范与学生板演相结合的方式，及时纠正错误。 1. 鼓励学生在课后自主整理错题本，总结不同类型问题的解题技巧，通过小组讨论交流的方式深化对知识的理解。 1. 可结合多媒体资源（如动画演示向量运算过程、实际测量场景视频）增强课堂趣味性，提升学生的学习积极性。 学科网（北京）股份有限公司 $