6.4.3 第1课时 余弦定理 （题型专练） 数学人教A版必修第二册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.4.3第1课时余弦定理 题型一：余弦定理及辨析 基础达标题 题型二：余弦定理解三角形 题型三：余弦定理边角互化 的应用 题型一：余弦定理判定三角 6.4.3第1课 形形状 题型二：余弦定理边角互化 时余弦定理 能力提升题 的应用、余弦定理解三角形 题型三：余弦定理解三角 形、三角形面积公式及其应 用 拓展培优题 基础达标题 题型一：余弦定理及辨析 1.(23-24高一下安徽月考)如图所示，△1BC中，B=AC=16,BC=16W5 BD=BC,DE=DA,则E.C正=（) A.-161 B.-232 C.-291 D.-300 2.(23-24高一下山东济南月考)设6，c 分别为△ABC A,B,C 内角 的对边，则下 列等式成立的是() A.c2=a2+b2+2abcosC B.c2=a2+b2-2abcosC 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 C.c2=a2+b2+2absinC D.c2=a2+b2-2absinC 3.(24-25高一下·云南楚雄·月考)在△ABC中，角A,B,C所对边的长分别为 a,b,&.若6+c2-a-c,则cosA的值为一 5 4.(多选题)(2024高一下·全国·专题练习)设△ABC的内角A,B,C的对边 分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A若d+<,则C>月 B.若hc,则C号 C若d+公=c心，则c<号 D.若a+6=2c,则C>受 题型二：余弦定理解三角形 1.(2025高三上江苏·学业考试)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,,c.已知a=2.b=3c=7,则C=() A.30 B.45 C.60 D. 90 2.(2025高三上·福建厦门专题练习)△1BC A.B.C a,b,c 内角 所对的边分别是， 且“+h+c=2ca+b),∠A=53°，则∠B=（) A.67 B.74° C.82 D.97° 3.(25-26高三上·宁夏银川月考)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若a=3,b=5,c=7,则cosC=() 13 A.14 B.4 C.-2 1 D. 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高一上北京东城期末)在△ABC中，若A=120°，AB=5,BC=7,则 AC等于() A.8 B.6 C.4 D.3 题型三：余弦定理边角互化的应用 1.(25-26高三上·贵州月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若2a-c=2 bcosC,b=4,则△ABC的面积的最大值为() A.4V5 B.3 C.32 D.4V2 2.(2025江西南昌二模)在41BC。 A,B,C a,b,c 中，角 的对边分别是，若 b=3,2acos C+2ccos A=3a ,则a=() 4 9 A.2 B.3 C.3 D.2 3.(25-26高二上河北张家口开学考试)在△18C中，满足=+c+v5c,则 A=() A.150° B.30°或150 C.60° D.60°或120° 4.(2025高二下·湖南株洲学业考试)已知△ABC的内角A,B,C分别所对的边 a,b,c,若满足a+b+ca+b-d-3ab=0 ,则角C的大小为() A.60° B.90° C.150° D.120° B 能力提升题 题型一：余弦定理判定三角形形状 1.(24-25高一下·江苏南京期中)在△ABC中，其内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若acosB-bcos A=c,则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(23-24高一下江苏准安期中)在△16C A,B,C a,b,c 中，角 的对边分别为，若 a cosA b cos B, C-骨则AHBC的形状是( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 3.(24-25高一下江苏盐城期中)在△ABC中，角A、B、C所对边分别为 ab、c,若2sin2B-a-c “2=a,则该三角形一定是() A.正三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形 4.(25-26高二上重庆开学考试)在△16C中，内角48，C的对边分别为6， A,B,C 下列说法中正确的是() A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 B.若游花=2a=2,则6+c=8 C.若△ABC为锐角三角形，则sinA<cosB D.若h=8c=10,5=行，则AABC解的个数为2 题型二：余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 1.(多选题)(24-25高三上·云南昆明·月考)已知△ABC的内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,b=8,C=45°.若三角形有两解，则边c的取值可以是 () A.5 B.6 C.7 D.8 2.(多选题)(23-24高一下·内蒙古乌海·月考)在△ABC中，角A,B,C所对的 2c+6a 边分别为a,b,c’且2 acosB=c-a当b最小值时，则4的值不可能为 () 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B. c.3 π D.12 3.(多选题)(22-23高一下·广东惠州期中)△ABC的内角A,B,C所对的边分别 是a,b,C,则下列命题正确的是() A.若a+b2<c2 则C a是钝角三角形 B.若+>〔，则△1BC是锐角三角形 C.若sinA=cosB,则△ABC是等腰三角形 D.若cos2A-b+c )2=2c，则△4BC是直角三角形 4.(多选题) (22-23高一下广西南宁·期末)（多选）在△ABC中，内角A,B,C a,b,c 所对的边分别为”，下列叙述正确的是() A.若a cos A=bcos B,则△ABC为直角三角形 B.若△1Bc的面积为，且6=2c=5,则A- 3 C.若B-行，尔=ac,则A1BC是等边三角形 D.若MB:BC>0,则△1BC是纯角三角形 题型三：余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 1.(2025·云南模拟预测)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 满足a=V7c=31=60.若>1，则△1BC的面积为《) 3v3 A.2 B.3 C.2 D.3V5 2.(多选题)(24-25高一下·福建莆田·月考)在△ABC中，角A,B,C的对边 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分别为a,6,G2+c=分-ac,又m9 4,且b=2,则() 1 A.cos B=- 2 B.sinB=1 2 C.ac=1 D.a+c=5 3.(多选题)(24-25高一下·浙江台州·期末)已知在△ABC中，BC的长为2， △ABC的面积为2，则下列命题正确的是() A.△ABC外接圆面积的最小值为π AB √5+1 B.AC的最大值为2 5-1 C.△ABC内切圆的半径的最大值为2 D.若&0c的内角满足C-8-分，则nC-5 2 4.(24-25高一下·河北石家庄·期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若sinB>sinC,则B>C B.若a=26,6=4,4=,则三角形有两个解 C.若bcos B-ccosC=0,则△ABC为等腰三角形或直角三角形 D.若ABC的面积Sa2+公-c,则C=牙 4 4 拓展培优题 1.(25-26高三上广西来宾月考)在△1BC中， BC=7,AC=3,AB=5 () A.45° B.60° C.120° D.135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25高二下·云南期末)在△1BC A,B,C 中，内角 的对边分别为 c.若 b=1.c=3.c0s4=2 ,则a=（） A.7 B.6 C.v5 D.2 3.(2425高一下-江苏南通期中)在△1BC中，若(a+b+ca-b+d)=ac,则B= () A.30° B.60° C.120° D.150° 4.(25-26高三上山西大同开学考试)在△18C中，角4B,C a,b,c 的对边分别为 若a2=c26 2,则角4的最大值为() π A.3 B.5 c. D. 6.4.3 第1课时 余弦定理 题型一：余弦定理及辨析 1.（23-24高一下·安徽·月考）如图所示，中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、余弦定理及辨析 【分析】根据题意，把为基底，用它表示，再由余弦定理可求，从而由平面向量的数量积求解即可. 【详解】由题意， ， . 在中，由余弦定理得. 所以 . 故选：A. 2.（23-24高一下·山东济南·月考）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 3.（24-25高一下·云南楚雄·月考）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得. 故答案为： 4.（多选题）（2024高一下·全国·专题练习）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】余弦定理及辨析、余弦定理解三角形、由基本不等式证明不等关系 【分析】根据余弦定理判断A；根据余弦定理和基本不等式，即可判断B；利用反证法，假设，结合余弦定理和不等式的性质，即可判断C；举反例，即可判断D. 【详解】A.由，可以得出，所以，故A正确； B.由，得，得，故B错误； C.假设，则，，， ，即，与矛盾，,故C正确； D.取，满足，此时,故D错误． 故选：AC 题型二：余弦定理解三角形 1.（2025高三上·江苏·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 2.（2025高三上·福建厦门·专题练习）的内角所对的边分别是，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】先将整理变形为，再结合余弦定理及已知的，确定，最后结合三角形的内角和即可得解. 【详解】因为，所以有， 即，所以， 所以， 所以或（此时，故舍去）， 所以， 故选：C. 3.（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】根据余弦定理得. 故选：C 4.（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 题型三：余弦定理边角互化的应用 1.（25-26高三上·贵州·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】根据余弦定理角化边求出，然后利用基本不等式求出的范围，最后根据面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以，整理得， 则，解得. 因为，所以，取等条件为， 则的面积. 故选：A 2.（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 3.（25-26高二上·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 4.（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 题型一：余弦定理判定三角形形状 1.（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 2.（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 3.（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 4.（25-26高二上·重庆·开学考试）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则解的个数为2 【答案】B 【知识点】比较正弦值的大小、正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】A选项，得到或，A错误；B选项，由向量数量积法则得到，结合余弦定理得到；C选项，由锐角三角形得到，结合正弦函数单调性和诱导公式得到；D选项，，三角形无解. 【详解】A选项，若，则或， 故或， 所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； B选项，，即， 由余弦定理得，故， 所以，B正确； C选项，若为锐角三角形，则，即， 又在上单调递增，故，C错误； D选项，，故，则无解，D错误. 故选：B 题型二：余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 1.（多选题）（24-25高三上·云南昆明·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【知识点】余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理以及方程有两个正根，，从而列出关于的不等式即可求解. 【详解】由余弦定理得，即. 因为三角形有两解， 所以方程有两个正根，， 由，，得， 故选：BC. 2.（多选题）（23-24高一下·内蒙古乌海·月考）在中，角所对的边分别为，且.当最小值时，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由，结合余弦定理得，代入得最小值，此时，然后结合余弦定理得到，进而得到答案. 【详解】因为，结合余弦定理得， ，整理得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时 此时， 又因为， 所以， 故选：ACD. 3.（多选题）（22-23高一下·广东惠州·期中）的内角所对的边分别是，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】AD 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、cos2x的降幂公式及应用 【分析】由余弦定理易得A项正确；通过举反例，可迅速排除B,C 项，对于D，则先用降幂公式，再用余弦定理，化简后即可判定直角三角形. 【详解】对于A，由余弦定理，，因，故角为钝角， 则是钝角三角形，故A正确； 对于B，若，,显然满足，但此时是直角三角形，故B错误； 对于C，若，显然满足，但此时是直角三角形，故C错误； 对于D，由可得，，即得，， 由余弦定理，，整理得，，故是直角三角形，即D正确. 故选：AD. 4.（多选题）（22-23高一下·广西南宁·期末）（多选）在中，内角所对的边分别为，下列叙述正确的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若的面积为，且，则 C．若，，则是等边三角形 D．若，则是钝角三角形 【答案】CD 【知识点】用定义求向量的数量积、余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由余弦定理把角化边可得为等腰三角形，或直角三角形，即A错误；由三角形面积公式可得或，即B错误；利用余弦定理并结合可得是等边三角形，即C正确；由数量积的定义可得，即可得为钝角，即D正确. 【详解】对于A，若，由余弦定理可得， 可化为，即为， 可得或，即有为等腰三角形，或直角三角形，故A错误； 对于B，若的面积为，且，则， 解得，即内角或，故B错误； 对于C，若，由余弦定理可得，又， 可得，即有，则是等边三角形，故C正确； 对于D，若，即，即有，即， 可得为钝角，则是钝角三角形，故D正确． 故选：CD． 题型三：余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 1.（2025·云南·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（　　） A． B．3 C． D．3 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据余弦定理求出值，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理可得，，即， 整理得，解得或（舍去，因为）， 故． 故选C. 2.（多选题）（24-25高一下·福建莆田·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】通过已知条件，利用余弦定理求出角，再根据三角形面积公式求出的值，最后结合已知条件和完全平方公式求出的值. 【详解】在中，因为，即， 由余弦定理， 又，所以，，故B错误，A正确； 因为，则，所以，故C正确； 因为，，，则， 所以，因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 3.（多选题）（24-25高一下·浙江台州·期末）已知在中，BC的长为2，的面积为2，则下列命题正确的是（   ） A．外接圆面积的最小值为 B．的最大值为 C．内切圆的半径的最大值为 D．若的内角满足，则 【答案】BCD 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理进行判断A选项与D选项，B选项利用余弦定理判断，C选项利用内切圆半径与三角形面积公式进行判断. 【详解】设边分别为，则. 对于A选项：设外接圆半径为，由正弦定理， 所以外接圆的面积为，当，时，外接圆面积最小为； 又因为时，，由面积为2，得到，； 而与上式矛盾，故A错误. 对于B选项：,则；由余弦定理， 得到，两边同除以， 得到，令，则，， 当且仅当时，时，最大且为，故B正确； 对于C选项：由内切圆半径的公式：，而， 故最大时，最小；当时，最小，此时， 所以，故C正确； 对于D选项：由和，得到，则. ，由正弦定理， 得，即， ，两边除以，得到, 所以; 由B为锐角，所以， ，故D正确. 故答案为：BCD. 4.（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则三角形有两个解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若的面积，则 【答案】ACD 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理解三角形 【分析】A利用正弦定理判断；B.利用正弦定理判断；C利用正弦定理把边转化为角，再利用二倍角公式求解判断；D利用三角形面积公式和余弦定理求解判断. 【详解】A选项，由正弦定理得，因为，所以，则， 故A正确； B选项，因为，，，由正弦定理得， 则，因为，所以， 则，所以三角形有一解，故B错误； C选项，因为，所以， 即，所以或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故C正确； D选项， 因为面积，即， 所以，即，因为， 所以，故D正确. 故选：ACD 1.（25-26高三上·广西来宾·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理即可直接求解. 【详解】由余弦定理得． 因为为的内角，所以． 故选：C 2.（24-25高二下·云南·期末）在中，内角的对边分别为．若，则（   ） A．7 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】借助余弦定理计算即可得. 【详解】，则. 故选：B. 3.（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 4.（25-26高三上·山西大同·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理结合得： ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知A为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3 第1课时 余弦定理 （答案版） 题型一：向量减法的法则 1.A 2．B 3． 4.AC 题型二：余弦定理解三角形 1.C 2．C 3.C 4.D 题型三：余弦定理边角互化的应用 1.A 2．A 3.A 4.A 题型一：余弦定理判定三角形形状 1.B 2．B 3．B 4.B 题型二：余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 1.BC 2．ACD 3．AD 4.CD 题型三：余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 1.C 2．ACD 3．BCD 4. ACD 1.C 2．B 3．C 4.D 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $