6.4.2 向量在物理中的应用举例（教学设计) 数学人教A版必修第二册

6.4.2 向量在物理中的应用举例 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第六章“平面向量及其应用”中的6.4.2节“向量在物理中的应用举例”。内容包括：基于物理中的力、速度、位移等矢量特性，运用向量的加减法、数量积等运算规律，解决力的合成与分解、速度与位移的合成、功的计算等实际物理问题；归纳向量方法解决物理问题的基本步骤，建立“物理问题—向量模型—数学求解—物理还原”的思维路径。 内容解析 本节是平面向量知识的综合应用，是在学生学习了向量的概念、线性运算、数量积等基础内容后的延伸。其核心是利用向量集“数”与“形”于一身的特性，将物理中具有大小和方向的矢量问题转化为数学问题，体现“跨学科融合”与“数学建模”的思想。 从知识关联看，本节强化了向量作为“解决矢量问题工具”的核心价值，连接了数学与物理学（力学、运动学）等学科，是提升数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养的关键载体。向量的平行四边形法则、三角形法则与物理学中力、速度的合成与分解原理高度契合，功的计算则直接对应向量的数量积公式，这种天然联系为跨学科应用提供了坚实基础。 从学习意义看，通过解决具有真实生活背景的问题（如共提旅行包、船渡河航行），学生能体会数学的实用性，掌握“实际问题—向量建模—运算求解—结果还原”的完整流程，为后续解决复杂跨学科问题奠定基础。 教学目标 1. 理解向量与物理学中力、速度、位移等矢量的对应关系，能识别生活和物理中的向量应用场景。 1. 能运用向量的加减法、数量积等运算，解决力的合成与分解、速度与位移的合成、功的计算等简单物理问题。 1. 掌握利用向量方法解决物理问题的基本步骤，能建立合适的向量模型将物理问题转化为数学问题。 1. 体验数学建模的全过程，感受数学与生活、物理学的紧密联系，提升数学建模、数学运算和逻辑推理素养。 目标解析 1. 能举例说明物理中的矢量（如拉力、船速、水流速度），并明确其可以用向量表示，理解向量的大小对应物理量的数值，向量的方向对应物理量的作用方向。 1. 给定具体物理问题（如共提重物、船渡河），能画出向量示意图，选择合适的向量运算（加法、减法、数量积）建立关系式，求解向量的模、夹角等关键参数。 1. 针对力的平衡、最短航程、功的计算等问题，能遵循“问题转化—模型建立—参数求解—回归实际”的步骤，得到符合物理意义的结果（如作用力大小、航行时间）。 1. 能结合实例描述向量应用的核心思想，解释“为何向量能解决物理问题”，并在新的问题情境中初步运用该思想解决问题。 达成上述目标的标志是： 1. 能准确将物理中的力、速度、位移等矢量用向量表示，正确画出力的合成、速度合成的示意图。 1. 能独立完成力的平衡问题、速度与位移合成问题、功的计算问题的求解，步骤完整且逻辑清晰。 1. 能总结向量解决物理问题的“三步曲”，并能运用该步骤解决教材习题及简单变式题。 1. 能解释生活中的物理现象（如“两臂夹角越小引体向上越省力”），并用向量知识进行数学论证。 本节内容是向量知识的应用延伸，教材通过生活实例（共提旅行包、船渡河）和典型习题，巩固向量的运算规律，核心是提升学生的数学建模和知识迁移能力。 从知识基础来看，学生已掌握向量的概念、线性运算、数量积等理论知识，但缺乏将物理问题转化为数学问题的经验，对“矢量”与“向量”的对应关系理解不够深刻。 从思维特点来看，高一学生的抽象思维和跨学科迁移能力仍在发展中，容易出现以下问题：一是难以将物理情境中的矢量关系转化为向量图形；二是选择向量运算方法时缺乏针对性（如混淆力的合成与功的计算对应的向量运算）；三是求解后忘记将数学结果回归到物理问题，忽略实际意义的验证。 从学习兴趣来看，本节内容与生活、物理紧密相关，学生对“用数学解释生活现象” “用数学解决物理问题”具有天然的好奇心，适合通过实例探究、变式训练激发学习动力。 基于以上分析，确定本节课的：教学重点：1. 利用向量方法解决力的合成与分解、速度与位移的合成、功的计算等物理问题；2. 掌握向量解决物理问题的基本步骤。教学难点：1. 将物理问题抽象为向量模型，准确建立向量间的运算关系；2. 理解向量运算结果的物理意义，实现从数学结论到物理答案的回归。 知识点　向量在物理中的应用 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法． (3)利用向量方法解决物理问题的基本步骤 ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 导入新知1：购物袋提手的“隐藏学问”——为什么宽提手更省力？ “同学们，周末和家人去超市购物时，有没有发现一个现象：装满物品的购物袋，用细提手拎着会觉得手特别勒，甚至疼得厉害；但换成宽提手的购物袋，明明装的东西一样重，却感觉轻松很多？还有，当购物袋里的东西太多，你和同学一起拎同一个购物袋时，你们俩手臂的夹角大小，会不会影响用力的感觉？” 追问引导 1. 购物袋的重力是固定的，为什么提手宽度和两人拉力的夹角会影响“省力程度”？ 2. 这里的“重力” “拉力”，能不能用我们学过的向量来表示？ 3. 拉力的大小、提手的受力面积，和向量的哪些运算或性质有关？ 设计意图 1. 贴近生活，激发共鸣：超市购物是学生高频参与的生活场景，“提购物袋勒手”的体验几乎人人都有，能快速拉近知识与生活的距离，让学生感受到“生活中处处有数学问题”。 2. 紧扣核心，统领全篇：该场景自然关联“力的合成与分解”（两人拉力的合力平衡重力）、“向量的模与夹角关系”（夹角影响拉力大小），还能为后续拓展“力的作用效果与向量投影”（提手宽度影响单位面积受力）埋下伏笔，完美覆盖本节课力的应用核心内容。 3. 制造认知冲突：学生知道“宽提手省力”，但不清楚背后的数学原理，这种“熟悉却陌生”的矛盾能激发强烈的求知欲，促使学生主动思考“如何用向量知识解释现象”。 导入新知2：雨伞“抗风”的秘密——为什么逆风撑伞要“倾斜”？ “下雨天遇到大风时，大家撑伞是不是特别费劲？如果直接迎着风竖直撑伞，伞很容易被吹得外翻，而且要花很大力气才能稳住；但如果把伞柄倾斜一个角度，虽然伞面看起来‘歪了’，却能轻松顶住大风，还不会外翻。另外，当你打着伞往前走时，前进的速度和风速会不会影响伞的倾斜角度？” 追问引导 1. 风对伞的作用力、我们撑伞的推力、伞的重力，这三个力之间是什么关系？它们能转化为向量来分析吗？ 2. 伞柄倾斜的角度，和这几个向量的夹角有什么联系？ 3. 前进速度与风速的合成，会不会改变伞的实际受力情况？如何用向量合成来解释？ 设计意图 1. 场景真实，兼具趣味性：“逆风撑伞”是学生熟悉的生活体验，场景生动直观，不仅能引发学生兴趣，还能让学生直观感受到“力的平衡” “速度合成”等物理情境，避免抽象概念的枯燥。 1. 串联多维知识点：该引入同时关联“力的平衡”（推力、风力、重力的向量平衡）、“向量的夹角应用”（伞柄倾斜角度与向量夹角的关系）、“速度的合成”（前进速度与风速的向量叠加），能统领本节课“力的应用” “速度合成”两大核心模块，甚至可延伸到“功的计算”（风力对伞做功与向量数量积的关系）。 1. 强化建模意识：通过“将风力、推力、速度转化为向量”的思考过程，提前渗透“物理问题—向量模型”的转化思想，为学生掌握本节课“三步曲”解题方法做好铺垫，同时培养学生的数学抽象和建模素养。 下面，我们再来感受一下向量在物理中的应用． 例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗? 分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释． 解：先来看共提旅行包的情况．如图6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设．另设，的夹角为，旅行包所受的重力为． 由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道 这里，为定值．分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大； 反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小．这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力． 同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力． 【变式】在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C．当角越大时，用力越省 D．当时， 【答案】B 【知识点】力的合成、已知数量积求模 【分析】根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案. 【详解】解：根据题意可得：， 则， 当时，，故A错误； 当时，，及，故B正确； ，因为在上递减， 又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误； 当时，即，解得， 又因，所以，故D错误. 故选：B. 探究 （1）当为何值时，最小?最小值是多少? （2）能等于吗?为什么? 事实上，要使最小，只需最大，此时，可得．于是的最小值为．若要使，只需，此时，即 例4 如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)? 分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的．考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸． 解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短． 如图6.4-7，设，则 此时，船的航行时间 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min 思考:“航程最短”是什么意思?怎样才能使航程最短? 【变式】一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】速度、位移的合成 【分析】作出图形，由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，    由图可知，，所以，故， 所以又因为，所以， 所以（），故. 故选：B 1.（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、力的合成 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 2.（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】力的合成、平面向量线性运算的坐标表示、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】由处于静止状态可知三个力合成为，由此得出的坐标. 【详解】因为该物体静止，即受力平衡，三个力的合力为，即， 所以. 故选：A. 3.（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、力的合成 【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 4.（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    【答案】100 【知识点】力的合成、利用坐标求向量的模 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 5.(多选题）（24-25高一下·山东聊城·期中）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 【答案】AC 【知识点】速度、位移的合成 【分析】根据速度的合成判断船速的方向与河岸垂直、船垂直到达对岸对应用时、航行距离情况，即可得. 【详解】根据速度的合成知， 当船速的方向与河岸垂直时，垂直河岸方向的速度最大，故用时最少， 当船垂直到达对岸时，航行的距离即为河的宽度，此时航行距离最短. 故选：AC 6.（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 【答案】 【知识点】速度、位移的合成 【分析】画出图形，在直角三角形中求河水的流速即可. 【详解】如图，用表示河水的流速，表示船的速度， 则为船的实际航行速度． 由图知，，，则． 又， 所以． 即河水的流速是 km/h． 故答案为： 7.（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】速度、位移的合成 【分析】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案. 【详解】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D 8.（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】功、动量的计算 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得对物体所做的功. 【详解】由题意可得， 又因为，所以对物体所做的功为. 故选：A. 9.（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】力的合成 【分析】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 10.(多选题）（2025高一·全国·专题练习）下列说法不正确的是（ ） A．已知作用一物体，使物体从移动到，则力对物体做的功为4 B．单位向量都是相等向量 C．已知平面向量，，则，可能垂直 D．对任意向量，，等式恒成立 【答案】BC 【知识点】功、动量的计算、向量垂直的坐标表示、数量积的运算律、相等向量 【分析】根据数量积的坐标运算求解功的大小判断A；根据相等向量的概念判断B；根据向量垂直的坐标运算及正弦函数的性质判断C，根据数量积的运算律判断D. 【详解】对于A，力对物体做的功为，故A正确． 对于B，单位向量模长相等，但方向不一定相同，故B错误； 对于C，由于，故C错误； 对于D，因为，故D正确． 故选：BC 1.(多选题）（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AC 【知识点】用定义求向量的数量积、速度、位移的合成 【分析】利用向量的加法法则以及数量积的运算律解决速度合成问题，根据船的航行时间（其中船垂直河岸方向的分速度）可计算并判断A,C；根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，可计算并判断B；通过向量的有关运算计算出合成速度，可计算并判断D. 【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC. 2.（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】力的合成、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据,先求得，再由，即可求解. 【详解】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即， 解得 故选：A 3.（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、速度、位移的合成 【分析】当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，从而得到方程，结合诱导公式求出答案. 【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短， 则， 又，故，. 故选：C 4.（25-26高三上·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】辅助角公式、数量积的坐标表示、功、动量的计算 【分析】由平面向量数量积的定义结合辅助角公式化简，即可得出答案. 【详解】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. 1. 知识清单： （1）向量与物理矢量的对应关系：力、速度、位移→向量； （2）向量在物理中的核心应用：力的合成与分解、速度与位移的合成、功的计算； （3）关键公式：①力的合成：合；②功的计算：。 1. 方法归纳： （1）数学建模：将物理问题→向量模型→数学问题； （2）数形结合：画向量示意图，直观呈现向量关系； （3）三步曲：表示（向量表示物理量）→转化（向量运算）→还原（物理意义）。 1. 常见误区： （1）混淆向量夹角：将力与力的夹角、力与位移的夹角弄混； （2）忽略实际意义：求解后未验证结果是否符合物理情境（如夹角范围、速度大小限制）； （3）单位不统一：计算前未将物理量单位换算一致。 1. 解决向量应用问题的基本步骤： （1）审清题意：分析物理情境，明确已知条件（如力的大小、速度大小、位移大小）和待求问题（如拉力大小、航行时间、功的大小）； （2）建立模型：将物理量用向量表示，画出示意图，确定向量间的运算关系（加法、减法、数量积）； （3）求解模型：运用向量运算公式（模的计算、数量积公式）求解关键参数； （4）回归实际：将数学结果转化为物理答案，验证是否符合实际意义。 第41页练习第1，2,3题 【设计意图】通过教材习题巩固核心知识点，第1题考查功的计算，第2题考查力的平衡与向量合成，第3题考查三个力的平衡问题，难度由浅入深，强化“三步曲”的应用，提升学生的数学建模和运算能力。 【教学建议】教师可引导学生在做题时先画向量示意图，再列式计算，培养规范的解题习惯；对于错题，要求学生分析“是模型建立错误”还是“运算错误”，针对性查漏补缺。 练习（第41页） 1．一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，求对该物体所做的功． 1．解析：， 2．如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小． 2．解析：如图，把，两点处的重物对点的作用力看作两个拉力，分别设为，，用，表示，又设点受到的重力为，用表示，则，．由于整个系统处于平衡状态，所以，即，以，为邻边作平行四边形，由知，四边形为菱形，过点作，垂足为，则，． 设，则 所以，因此． 3．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为，求： （1） 的大小； ． （2）与夹角的大小． 3．解析：如图，设，的合力为，与的夹角为，用，，表示，，．过点作的垂线，与的延长线相交于点． 在中，，，所以． 在中，．所以．从而得． 所以．于是，与的夹角为． 1. 学生是否能准确将物理量转化为向量？示意图的绘制是否规范？ 1. 学生在选择向量运算方法时是否存在困惑？如何针对性强化？ 1. 变式训练的难度是否合适？是否需要增加基础题型的铺垫？ 1. 学生对“数学结果回归物理实际”的意识是否强烈？如何进一步培养？ 学科网（北京）股份有限公司 $