小升初奥数培优04：和差倍问题进阶题型专项-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学讲义聚焦小升初和差倍问题进阶题型，涵盖基本模型、隐藏和差、倍数变化等核心考点，通过知识梳理回顾基础公式，例题讲解突破重点题型，跟踪训练与模拟赛场分层巩固，帮助学生系统掌握画线段图、设份数等解题方法。 亮点在于“三阶解题法”培养数学思维，如用线段图直观呈现数量关系发展几何直观，设1份量抽象化问题培养抽象能力，找不变量构建等量关系强化模型意识。例如多量问题设最小量为1份统一份数，助力学生建立解题模型，教师可依此精准定位学生薄弱点，提升复习实效。

《小升初奥数应用题：和差倍问题进阶题型专项》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 知识梳理 1. 基本模型回顾 问题类型 已知条件 基本公式 解题关键 和差问题 两数和、两数差 大数 = (和 + 差) ÷ 2小数 = (和 - 差) ÷ 2 画线段图，找“差”对应的位置 和倍问题 两数和、倍数关系 小数 = 和 ÷ (倍数 + 1)大数 = 小数 × 倍数 找“1倍数”，设为1份 差倍问题 两数差、倍数关系 小数 = 差 ÷ (倍数 - 1)大数 = 小数 × 倍数 找“差”对应几份 2. 进阶题型分类与解题策略 （1）隐藏和或差 特征：题目不直接给出“和”或“差”，需通过条件推导。 方法：通过“总数”“倍数变化”“增减操作”等间接求出和或差。 例：甲是乙的3倍，甲给乙10个后两人相等 → 可推出原差为20。 （2）倍数变化问题 特征：原来有倍数关系，经过“增加”“减少”“转移”后倍数改变。 方法：设原来份数，利用“差不变”或“和不变”列式。 关键：找不变量（和不变、差不变、倍数关系变化）。 （3）多量和差倍问题 特征：涉及三个或以上量，如甲、乙、丙的和差倍关系。 方法：两两比较，转化为两个量的问题；或设最小量为“1份”，统一份数。 （4）和差倍与年龄问题结合 特征：年龄差不变，倍数随时间变化。 方法：利用“年龄差不变”作为突破口，结合差倍模型求解。 （5）和差倍与平均数结合 特征：给出平均数，求总量，再结合倍数关系。 方法：总量 = 平均数 × 份数，再用和倍或差倍求解。 3. 核心解题方法 （1）画线段图法： 用线段表示数量，直观展示和、差、倍关系。 例如：甲是乙的3倍，画乙为1段，甲为3段。 （2）设份数法（设1份量）： 设较小量为“1份”，大量为“几份”，统一单位。 适用于和倍、差倍、多量问题。 （3）找不变量法： 和不变：如总数不变，分配方式变。 差不变：如两人年龄差、物品转移前后差不变。 倍数变，但差或和不变，是解题突破口。 （4）方程思想（算术化表达）： 不列方程，但用“设未知数”思路列式，如“设乙为1份，则甲为3份”。 4. 分数书写规范 （1）所有分数使用标准书写形式，如： 、 、 （2）结果若为带分数，优先写成带分数形式 （3）除法算式中，商可用分数表示，如： （4）计算过程中保留分数，避免小数误差 5. 解题步骤 （1）读题审题：圈出关键词（“是……倍”“多……”“少……”“和为”） （2）判断类型：是和差？和倍？差倍？还是进阶题型？ （3）画图或设份：画线段图，设1份量 （4）找等量关系：和、差、倍、不变量 （5）列式计算：分步列式，注意单位 （6）验算作答：代入原题验证，写完整答句 6. 易错点提醒 （1）混淆“和倍”与“差倍”的公式 （2）忽略“差不变”“和不变”等隐藏条件 （3）倍数关系理解错误（如“甲比乙多2倍”≠“甲是乙的2倍”） （4）分数结果未化简或未写成带分数 （5）单位不统一时未换算 例题讲解 【例题1】（隐藏差问题） 题目：甲、乙两人共有图书120本，甲的图书是乙的4倍。甲比乙多多少本？ 解析： 这是和倍问题，先求甲、乙各多少本。 设乙为1份，则甲为4份，共1 + 4 = 5份 每份： （本） 乙：24本，甲： （本） 甲比乙多： （本） 答：甲比乙多72本。 【跟踪训练】 题目：小明和小红共有零花钱180元，小明的钱是小红的2倍。小明比小红多多少元？ 【例题2】（倍数变化问题——差不变） 题目：甲筐苹果是乙筐的5倍，从甲筐取出20千克放入乙筐后，两筐苹果一样多。原来两筐各有多少千克？ 解析： 设乙筐原来为1份，则甲筐为5份 差： 份 转移后相等，说明甲给乙20千克后差减少40千克（甲少20，乙多20） 所以原差为40千克 4份 = 40千克 → 1份 = 10千克 乙：10千克，甲： 千克 答：甲筐原来有50千克，乙筐有10千克。 【跟踪训练】 题目：甲仓大米是乙仓的4倍，从甲仓运走18吨到乙仓后，两仓大米相等。原来两仓各有多少吨？ 【例题3】（多量和倍问题） 题目：甲、乙、丙三人共有钱360元，甲的钱是乙的2倍，乙的钱是丙的3倍。三人各有多少元？ 解析： 设丙为1份，则乙为3份，甲为 份 总份数： 份 每份： （元） 丙：36元，乙： 元，甲： 元 答：甲有216元，乙有108元，丙有36元。 【跟踪训练】 题目：三个年级共植树240棵，六年级植的是五年级的2倍，五年级植的是四年级的3倍。各年级植多少棵？ 提升练习 1.甲、乙两数和为120，甲比乙多2倍。求甲、乙两数。 2.两筐水果共重150千克，从甲筐取出10千克放入乙筐后，甲筐是乙筐的2倍。原来两筐各重多少千克？ 3.三个班共捐款480元，一班捐的是二班的2倍，二班捐的是三班的3倍。各班捐多少元？ 4.哥哥和弟弟共有邮票180张，哥哥给弟弟15张后，哥哥的邮票是弟弟的2倍。原来各有多少张？ 5.两数差为45，大数是小数的4倍。求大数。 6.甲仓粮食是乙仓的5倍，从甲仓运走30吨到乙仓后，甲仓是乙仓的2倍。原来两仓各有多少吨？ 模拟赛场（奥数难度） 1.甲、乙两人存款和为600元，若甲再存100元，则甲是乙的3倍。原来甲有多少元？ 2.两桶油共重200千克，从第一桶倒出20千克到第二桶后，第一桶是第二桶的 。原来两桶各重多少千克？ 3.三个数和为120，甲是乙的2倍，乙是丙的3倍。求丙。 4.父子今年年龄和为50岁，4年前父亲年龄是儿子的6倍。今年父亲多少岁？ 5.两数和为180，若大数减去30，小数加上30，则两数相等。原来大数是多少？ 6.甲筐苹果是乙筐的4倍，从甲筐取出一部分给乙筐后，甲筐是乙筐的2倍，且甲筐减少了24千克。乙筐原有多少千克？ 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 一、跟踪训练答案 1.解：设小红为1份，小明为2份，共3份，每份： ，小明：120元，小红：60元，多： （元） 答：多60元。 2.解：设乙仓为1份，甲仓为4份，差3份。转移18吨后相等 → 原差36吨 → 3份 = 36 → 1份 = 12，乙：12吨，甲：48吨 答：甲48吨，乙12吨。 3.解：设四年级为1份，五年级为3份，六年级为6份，共10份，每份： ，四：24棵，五：72棵，六：144棵 答：四24棵，五72棵，六144棵。 二、提升练习答案 1.解：“甲比乙多2倍” → 甲是乙的3倍，设乙为1份，甲为3份，共4份，每份： ，甲：90，乙：30 答：甲90，乙30。 2.解：设后来乙筐为1份，则甲为2份，共3份 = 150 → 每份50，后来乙：50，甲：100 → 原来乙： ，甲： 答：甲110千克，乙40千克。 3.解：设三班为1份，二班为3份，一班为6份，共10份，每份： ，三班：48元，二班：144元，一班：288元 答：一班288元，二班144元，三班48元。 4.解：设后来弟弟为1份，哥哥为2份，共3份 = 180 → 每份60，后来弟弟：60，哥哥：120 → 原来弟弟： ，哥哥： 答：哥哥135张，弟弟45张。 5.解：设小数为1份，大数为4份，差3份 = 45 → 1份 = 15，大数： 答：大数是60。 6.解：设原来乙仓为1份，甲仓为5份，差4份。运30吨后，甲剩 ，乙为 ，有： → → → 1份 = 30 → 乙：30吨，甲：150吨 答：甲150吨，乙30吨。 三、模拟赛场答案 1.解：设乙为1份，则甲+100 = 3份，甲 = 3份 - 100，又甲 + 乙 = 600 → → → 份 = 175，乙：175，甲： 答：原来甲有425元。 2.解：设后来第二桶为2份，则第一桶为3份，共5份 = 200 → 每份40，后来第二桶：80，第一桶：120 → 原来第二桶： ，第一桶： 答：第一桶140千克，第二桶60千克。 3.解：设丙为1份，乙为3份，甲为6份，共10份 = 120 → 1份 = 12，丙：12 答：丙是12。 4.解：4年前和： ，设儿子为1份，父亲为6份，共7份 → 每份6，儿子4年前6岁，今年10岁；父亲今年 岁 答：父亲今年40岁。 5.解：设后来相等为1份，则原大数： ，小数： ，和： → 份 = 90，大数： 答：原来大数是120。 6.解：设乙筐原有 千克，则甲原有 千克。 甲取出24千克给乙 → 甲剩 ，乙为 有： → → → 答：乙筐原有36千克。 1 学科网（北京）股份有限公司 $