小升初奥数培优12：多人多次相遇追及-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学小升初复习讲义聚焦行程问题中的多人多次相遇追及专题，目标是帮助学生掌握相遇追及规律、多人问题分析方法。通过知识梳理（概念公式）、例题讲解（基础到综合）、跟踪训练、提升练习及模拟赛场环节，系统构建解题思路，提升实战能力。 亮点在于规律推导与分层训练结合，如通过直线往返多次相遇规律（第n次共走(2n-1)个全程）培养推理能力，设计从两人到三人、单次到多次的递进练习。设置画图辅助、方程建模等活动，强化数学思维与应用意识，助力学生突破难点，教师可依此精准教学，提升复习效率。

《小升初奥数行程：多人多次相遇追及》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 知识梳理 1. 基本概念 相遇问题：两个或多个物体从不同地点或同地出发，相向而行，在途中某点碰面。 追及问题：两个物体同向而行，速度快的从后方赶上速度慢的。 多次相遇/追及：在一段时间内，多次发生相遇或追及现象，常见于环形跑道或往返运动中。 多人问题：涉及三人及以上，需分析两两之间的关系，找出关键对象。 2. 核心公式（直线型） 相遇问题： 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和 相遇次数 = 总路程和 ÷ 单次相遇路程（通常为两地距离的倍数） 追及问题： 追及时间 = 初始距离差 ÷ 速度差 追上次数 = 总路程差 ÷ 单次追及路程（通常为一圈或一段距离） 3. 多次相遇的规律（直线往返型） 两人从A、B两地同时出发，相向而行，相遇后继续前进，到达终点后立即返回，形成多次相遇。 第n次相遇时，两人共走的总路程为：(2n - 1) × AB距离 推导：第一次相遇共走1个全程；第二次相遇共走3个全程；第三次共走5个全程……成奇数列。 4. 多人问题解法策略 两两分析法：先固定两人，分析其相遇或追及情况。 找最小公倍数法：当速度成比例时，可求周期的最小公倍数，确定重复规律。 画图辅助法：画出时间-路程图或路径示意图，标出每次相遇位置。 5. 解题步骤 （1）审题五要素： 人数、出发时间、出发地点、方向、结果（相遇/追及次数） （2）判断模型： 相遇？追及？多次？往返？ （3）列式求解： 设未知数，用公式或方程 （4）验证合理性： 时间是否为正？路程是否符合实际？ （5）分数书写规范 所有分数使用 LaTeX 格式，如： 、 ； 结果若为假分数，保留原形； 运算中注意通分、约分，保持精确。 例题讲解 【例题1】 题目：甲、乙两人从相距 600 米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲每分钟走 70 米，乙每分钟走 50 米。问：几分钟后他们第一次相遇？ 解析： 相向而行，属于相遇问题； 速度和 = （米/分）； 相遇时间 = （分钟）。 答：5 分钟后第一次相遇。 【跟踪训练】 题目：A、B 两地相距 840 米，小明和小红分别从 A、B 同时出发，相向而行，小明每分钟走 90 米，小红每分钟走 70 米。问：几分钟后他们第一次相遇？ 【例题2】 题目：甲、乙两人从 A、B 两地同时出发，相向而行，第一次相遇后继续前进，到达对方起点后立即返回，第二次相遇时共用了 27 分钟。已知甲速为 80 米/分，乙速为 60 米/分。求 A、B 两地距离。 解析： 第二次相遇时，两人共走 个全程； 速度和 = （米/分）； 总路程 = （米）； 所以一个全程 = （米）。 答：A、B 两地相距 1260 米。 【跟踪训练】 题目：甲、乙从两地同时出发相向而行，第一次相遇后继续前进，到达对方起点后返回，第三次相遇时共用 36 分钟。甲速 75 米/分，乙速 45 米/分。求两地距离。 【例题3】 题目：小明和小红在一条直路上往返跑步。小明从 A 地出发，每分钟跑 120 米；小红从 B 地出发，每分钟跑 80 米。A、B 相距 1000 米。他们同时出发，相向而行。问：第 3 次相遇时，小明共跑了多少米？ 解析： 第 3 次相遇时，两人共走 个全程； 总路程 = （米）； 速度和 = （米/分）； 所用时间 = （分钟）； 小明跑的路程 = （米）。 答：第 3 次相遇时，小明共跑了 3000 米。 【跟踪训练】 题目：甲、乙从相距 600 米的两地同时出发，甲速 90 米/分，乙速 70 米/分，相向而行，相遇后继续前进并立即返回。问：第 2 次相遇时，乙共跑了多少米？ 【例题4】 题目：甲、乙、丙三人同时从 A 地出发，沿同一条路前往 B 地。甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 60 米。甲到 B 地后立即返回，在返回途中先后与乙、丙相遇。若甲与乙相遇后 5 分钟与丙相遇，求 A、B 两地距离。 解析： 设 A、B 距离为 米； 甲到 B 地用时： 分钟； 设甲与乙相遇时间为 ，与丙相遇时间为 ，则 ； 甲与乙相遇时，甲已走 ，乙走 ，两人路程和为 （因为甲已到 B 返回）； 所以： → → ； 同理，甲与丙相遇： → → ； 由 ，得 ； 解方程： 答：A、B 两地距离为 3600 米。 【跟踪训练】 题目：甲、乙、丙三人从 A 地同时出发去 B 地，甲速 90 米/分，乙速 70 米/分，丙速 50 米/分。甲到 B 地后立即返回，在返回途中先与乙相遇，2 分钟后与丙相遇。求 A、B 两地距离。 提升练习 1.甲、乙从 A、B 两地同时出发相向而行，第一次相遇距 A 地 400 米。相遇后继续前进，到达对方起点后返回，第二次相遇距 B 地 300 米。求 AB 全程。 2.小明和小红在相距 500 米的两地往返跑步，小明速 110 米/分，小红速 90 米/分。问：第 4 次相遇时共用了多少分钟？ 3.甲、乙、丙三人从 A 地出发，速度分别为 120、100、80 米/分。甲到 B 地返回后与乙相遇，再过 3 分钟与丙相遇。求 AB 距离。 4.两人在环形跑道上相向而行，每 4 分钟相遇一次；同向而行，每 20 分钟相遇一次。求速度比。 5.甲、乙从两地同时出发，相向而行，第一次相遇后继续前进，第二次相遇时甲共走了 1800 米，此时甲比乙多走了 600 米。求 AB 全程。 6.甲、乙在一条直路上往返跑步，甲速 150 米/分，乙速 100 米/分，两地相距 1000 米。问：第 3 次相遇时，两人共走了多少米？ 模拟赛场（奥数难度） 1.甲、乙从 A、B 两地同时出发，相向而行，第一次相遇距 A 地 600 米，相遇后继续前进，到达对方起点后立即返回，第二次相遇距 A 地 400 米。求 AB 全程。 2.甲、乙、丙三人同时从 A 地出发去 B 地，速度分别为 100、80、60 米/分。甲到 B 地返回后先与乙相遇，再过 4 分钟与丙相遇。求 AB 距离。 3.两人在环形跑道上背向而行，每 3 分钟相遇一次；同向而行，每 15 分钟相遇一次。求甲、乙速度比。 4.小明和小红从两地同时出发，相向而行，第一次相遇后继续前进，第二次相遇时共走了 2700 米。 已知小明比小红多走 300 米。求两人速度比。 5.甲、乙从相距 800 米的两地同时出发，甲速 120 米/分，乙速 80 米/分，相向而行，相遇后继续前进并返回。问：第 3 次相遇时，甲共跑了多少米？ 6.甲、乙两人在一条直路上往返跑步，速度比为 3:2。他们第 5 次相遇时，共走了 7000 米。求两地距离。 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 一、跟踪训练答案 1.解：速度和 = ，时间 = （分钟） 答： 分钟或 分钟。 2.解：第 3 次相遇共走 个全程，速度和 = ，总路程 = ，一个全程 = （米） 答：864 米。 3.解：第 2 次相遇共走 个全程，总路程 = ，速度和 = ，时间 = ，乙路程 = （米） 答：787.5 米。 4.解：设 AB 距离为 ，甲与乙相遇： → ；甲与丙相遇： → ；由 得 ，解得 答：1120 米。 二、提升练习答案 1.解：设全程 ，第一次相遇甲走 400，乙走 ；第二次相遇甲走 ，乙走 ；时间比相同，速度比不变： ，解得 答：900 米。 2.解：第 4 次相遇共走 个全程，总路程 = ，速度和 = ，时间 = （分钟） 答：17.5 分钟。 3.解：设距离 ，甲与乙相遇： → ；甲与丙： → ； ，解得 答：3300 米。 4.解：设周长 ，速度和 ，差 ，甲速 = ，乙速 = ，比为 答： 5.解：设全程 ，第 2 次相遇共走 ，甲走 1800，乙走 1200， → 答：1000 米。 6.解：第 3 次相遇共走 个全程，总路程 = 答：5000 米。 三、模拟赛场答案 1.解：设全程 ，第一次相遇甲走 600，乙走 ；第二次相遇甲走 ，乙走 ；速度比相等： ，解得 答：1400 米。 2.解：甲与乙相遇： → ；甲与丙： → ； ，解得 答：2880 米。 3.解：速度和 ，差 ，甲速 = ，乙速 = ，比为 答： 4.解：共走 2700，甲 1500，乙 1200，速度比 = 时间相同，路程比 = 答： 5.解：第 3 次相遇共走 个全程 = ，速度和 = ，时间 = 20 分钟，甲跑 （米） 答：2400 米。 6.解：设两地距离 ，第 5 次相遇共走 → 答： 米。 $