小升初奥数培优07：盈亏问题的分类突破-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学讲义聚焦小升初盈亏问题，目标是帮助学生掌握三大模型解题方法。通过知识梳理构建概念体系，分类型例题讲解突破重点，搭配提升练习与模拟赛场，形成系统复习路径。 特色在于融合比较思想与四步解题法，如用线段图直观呈现“一盈一亏”分配差异，培养学生几何直观与推理意识。设置转化型问题专项训练，如信封信纸问题，强化模型意识，助力学生突破盈亏问题难点，教师可依此精准指导提升复习效率。

《小升初奥数应用题：盈亏问题的分类突破》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 知识梳理 1.基本概念 （1）盈亏问题：把一定数量的物品平均分给一定数量的人（或组），每人分得相同数量，由于分配标准不同，导致结果有的有剩余（盈），有的不足（亏）。 （2）核心思想：比较两次分配的总数差异，找出每人分配的差额，从而求出人数（或份数），再求总量。 （3）关键量： 盈：分配后有剩余。 亏：分配后不够，还差多少。 （4）份数：人数、组数、车辆数等被分配的对象数量。 2.基本公式（三大模型） 模型类型 条件特征 解题公式 一盈一亏 一次有余，一次不足 两盈 两次都有余 两亏 两次都不足 3.解题步骤（四步法） （1）判断类型：观察题目是“一盈一亏”“两盈”还是“两亏”。 （2）找关键数：圈出两次分配的每人数量、盈或亏的具体数值。 （3）套用公式：计算份数（如人数、车数）。 （4）求总量：用份数 × 分配数 ± 盈亏数，求出总数量。 4.常见转化型盈亏问题 （1）隐藏“盈亏”：如“多出”为盈，“少”“缺”“还差”为亏。 （2）人数变化：如“若增加一组，则每组少几人”，需转化为标准模型。 （3）物品数变化：如“再买来若干”，需调整盈亏值。 （4）非整除情况：如“每组分不完”，仍按余数处理。 5.易错点提醒 （1）混淆“盈”与“亏”的数值，如将“少3支”误认为盈。 （2）公式中“两次分配差”写反，应为大数减小数。 （3）求出份数后，忘记代入求总量。 （4）单位不统一，如支、本、人混用。 （5）两盈或两亏时，误用加法而非减法。 6.重要思想方法 （1）比较思想：通过两次分配的差异，反推份数。 （2）设数法：当份数未知时，可假设人数，验证盈亏。 （3）画图辅助：用线段图表示分配过程，直观理解盈亏。 （4）逆向思维：从结果反推原始数量。 例题讲解 【例题1】（一盈一亏） 题目：老师给学生分铅笔，如果每人分5支，则多出12支；如果每人分8支，则少3支。有多少个学生？有多少支铅笔？ 解析： 第一次：每人5支，盈12支； 第二次：每人8支，亏3支； 属于“一盈一亏”。 人数 = （人） 铅笔数 = （支） （或 支） 答：有5个学生，37支铅笔。 【跟踪训练】 题目：幼儿园给小朋友分糖果，每人分4颗，多5颗；每人分5颗，少6颗。有多少个小朋友？多少颗糖果？ 【例题2】（两亏） 题目：给一批学生发奖品，每人发9支钢笔，缺15支；每人发7支，缺7支。问：学生多少人？钢笔多少支？ 解析： 第一次：每人9支，缺15 → 亏15； 第二次：每人7支，缺7 → 亏7； 属于“两亏”。 学生人数 = （人） 钢笔数 = （支） （或 支） 答：有4个学生，21支钢笔。 【跟踪训练】 题目：老师给学生分练习本，每人分6本，缺12本；每人分4本，缺2本。问：有多少学生？多少练习本？ 【例题3】（转化型盈亏） 题目：甲、乙两人各买了相同数量的信封与信纸。甲每封信用2张信纸，用完所有信封后剩20张信纸；乙每封信用3张信纸，用完所有信纸后剩10个信封。问：每人买了多少张信纸？ 解析： 设每人有信封 个，信纸 张。 甲： 乙：信纸用完，信封剩10 → 乙用了 个信封，信纸 联立： → → 盈亏视角：乙若用完信封，需信纸 ，但实际只有 ，且 ，即缺 张信纸。 甲：信纸盈20；乙：信纸亏30（相对于用完信封）。 盈亏总额 = ，分配差 = ，信封数 = ，信纸 = 答：每人买了120张信纸。 【跟踪训练】 题目：小明和小红各买了相同数量的练习本和铅笔。小明每本配2支铅笔，用完所有本后剩4支铅笔；小红每本配3支铅笔，用完所有铅笔后剩2个本。问：每人买了多少支铅笔？ 提升练习 1.一些小朋友分苹果，每人分3个，剩5个；每人分4个，缺20个。问：多少人？多少苹果？ 2.同学们去划船，每船坐4人，有7人不能上船；每船坐5人，多一条船。问：租了多少条船？多少学生？ 3.给若干人发糖果，每人发8颗，缺15颗；每人发6颗，缺3颗。问：多少人？多少糖果？ 4.有若干辆车运货物，每车运8吨，剩5吨；每车运10吨，剩1吨。问：多少辆车？多少吨货物？ 5.甲、乙各有若干张邮票，若甲给乙10张，则两人相等；若乙给甲5张，则甲是乙的2倍。问：甲原有多少张？ 6.一群学生去植树，每人植5棵，剩12棵；每人植6棵，缺8棵。问：多少学生？多少棵树？ 模拟赛场（奥数难度） 1.某校组织秋游，若每车坐28人，则有13人上不了车；若每车坐32人，则还有3个空位。问：有多少名学生？ 2.有若干本练习本分给学生，每人分5本，多70本；每人分7本，多10本。问：多少学生？多少本？ 3.一筐苹果分给若干人，每人分7个，多3个；每人分8个，多2个。问：多少人？多少苹果？ 4.同学们去划船，若每船坐5人，有3人没船坐；若每船坐6人，多出2条船。问：多少人？多少船？ 5.甲、乙两人买相同数量的信纸和信封。甲每封信用3张纸，用完信封剩10张纸；乙每封信用4张纸，用完信纸剩5个信封。问：每人买多少张信纸？ 6.有若干人种树，若每人种8棵，剩5棵；若每人种9棵，缺10棵。问：总共有多少棵树？ 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 一、跟踪训练答案 1.一盈一亏：盈5，亏6 人数 = （人） 糖果 = （颗） 2.两亏：亏12，亏2 学生 = （人） 练习本 = （本） 3.小明：铅笔盈4；小红：若用完本，需铅笔 ，实际 ，即缺6支 → 亏6 盈亏总额 = ，分配差 = ，本数 = 铅笔 = （支） 二、提升练习答案 1.解：一盈一亏， 人，苹果 个。 2.解：第一次亏7，第二次盈5（多一条船可坐5人）， 条船，学生 人。 3.解：两亏， 人，糖果 颗。 4.解：两盈， 辆，货物 吨。 5.解：设甲原有 ，乙 。 ； 。解得 。 6.解：一盈一亏， 人，树 棵。 三、模拟赛场答案 1.解：一盈一亏，车数 辆，学生 人。 2.解：两盈，学生 人，本 本。 3.解：两盈，人数 人，苹果 个。 4.解：第一次亏3，第二次盈12（多2条船），船数 条，人 人。 5.解：甲盈10，乙亏20（若用完信封），信封数 ，信纸 张。 6.解：一盈一亏，人数 人，树 棵。 1 学科网（北京）股份有限公司 $