6.4.1 平面几何中的向量方法（教学课件）数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 人教A版·必修第二册· 学习目标 通过解决平面几何问题的过程,使学生理解。平面几何与向量之间存在着密切的联系,提升学生的逻辑推理、直观想象素养. 通过运用向量的有关知识(向量加、减法与向量数量积的运算法则等)解决简单的物理问题的过程,提升学生的逻辑推理和数学运算素养. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 目录 CATALOG 01.平面向量在几何证明中的应用 03.题型强化训练 02.平面向量在几何求值中的应用 04.小结及随堂练习 6.4.1 平面几何中的向量方法 01 平面向量在几何证明中的应用 导入新知1：校园路径规划中的向量奥秘 学校计划在教学楼（记为点A）、图书馆（记为点B）和实验楼（记为点C）之间铺设便民步道。已知AB路段长80米，AC路段长60米，且AB与AC的夹角为60°。现在有两个施工方案：方案一，直接修建从B到C的直线路段；方案二，先从B到教学楼旁的中转站D（D是AB的中点），再从D到C。 1.两种方案的步道长度分别是多少？哪种方案更节省材料？ 2.中转站D到C的路段与BC路段是否存在平行关系？ 3.不用尺子测量，能否通过某种“运算”快速算出线段长度和位置关系？ 导入新知2：快递分拣中的向量逻辑 快递中转站的分拣传送带可简化为平面模型：传送带AB将快递从A点运送到B点，速度向量为v1（水平向右，大小为3m/s）；同时，分拣机器人沿传送带垂直方向推送快递，推送速度向量为v2（竖直向上，大小为4m/s）。 请同学们讨论： 1.快递实际的运动方向（与水平方向的夹角）是多少？实际运动速度的大小是多少？ 2.若传送带AB的长度为15米，机器人推送的距离为10米，快递从起点到终点的直线距离是多少？ 3.当传送带速度和机器人推送速度变化时，如何快速判断快递的实际运动轨迹（直线/曲线）、运动方向和距离？ 复习旧知 如图， 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量， 对于平面内的任一个向量 ，由平面向量基本定理可知，则有且只有一对实数x，y，使得： 我们把有序数对(x，y)叫做向量 的坐标，记作： 复习旧知 平面向量的坐标表示 两点间的距离公式:已知 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 复习旧知 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则: 两点间的距离公式:已知 下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.
 学习新知 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. 下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用. 下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.
 学习新知 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决．下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用． 有了运算，向量的力量无限； 没有运算，向量就只是一个路标．. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量在几何中的其他应用、垂直关系的向量表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量在几何中的其他应用、数量积的运算律 学习新知 例1： 如图6.4-1，DE是△ABC的中位线，用向量的方法证明： DE∥BC， DE= BC． 解: 因为DE是△ABC的中位线，所以 下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.
 学习新知 平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 学习新知 用向量解决平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 1 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等等； 2 把运算结果“翻译”成几何关系. 3 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量在几何中的其他应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量在几何中的其他应用 学习新知 练习 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点， 求证：AF⊥DE. 解析 因为E，F分别是AB，BC的中点，所以 学习新知 练习 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点， 求证：AF⊥DE. 解析 如图所示，建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2， 则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， 学习新知 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 【基底法】 ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系. ④把几何问题向量化. 【坐标法】 ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找出相应关系； ④把几何问题向量化. 02 平面向量在几何求值中的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 学习新知 例2： A B C D 平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系． 分析 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 学习新知 例2： A B C D 平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系． 分析 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间 的关系： 学习新知 例2： A B C D 平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系． 分析 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： 你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？ ★结论：平行四边形对角线的平方和等于 四条边的平方和。 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用向量解决线段的长度问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数量积的运算律、向量在几何中的其他应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量的线性运算的几何应用、向量在几何中的其他应用 学习新知 学习新知 学习新知 学习新知 学习新知 通性通法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数量积的运算律、向量与几何最值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量夹角的计算、用向量解决夹角问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量与几何最值 03 题型强化训练 6.4.1 平面几何中的向量方法 能力提升 题型一：平面向量在几何证明中的应用 能力提升 题型一：平面向量在几何证明中的应用 能力提升 题型一：平面向量在几何证明中的应用 能力提升 题型二：平面向量在几何求值中的应用 能力提升 题型二：平面向量在几何求值中的应用 能力提升 题型二：平面向量在几何求值中的应用 能力提升 题型二：平面向量在几何求值中的应用 能力提升 题型二：平面向量在几何求值中的应用 04 小结及随堂练习 6.4.1 平面几何中的向量方法 课堂总结1 课堂总结2 用向量解决平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 1 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等等； 2 把运算结果“翻译”成几何关系. 3 课堂总结3 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 【基底法】 ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系. ④把几何问题向量化. 【坐标法】 ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找出相应关系； ④把几何问题向量化. 课堂总结4 作业 1.教材第39页练习第1,3题. 2.教材第41页练习第1,2题. 6.4.1 平面几何中的向量方法 练习（第39页） 1．证明：等腰三角形的两个底角相等． A B C 练习（第39页） A B C D M E x y F 练习（第41页） A B C O M N 学习新知 通性通法 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. 在△ABC中，若 ，则△ABC为（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【详解】 由题意可知：， 故，则， 故，即△ABC为直角三角形. 故选：D 在 中，若 ，则 的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【详解】由题设， 则，而的数量关系无法确定， 所以一定是直角三角形，且. 故选：A 3. 已知四边形 中， ， ， ，则四边形 一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【详解】由，则且， 即四边形是平行四边形，又，， 则为等边三角形，所以四边形是菱形. 故选：D 4. 已知在四边形 中， ， ， ，则四边形 为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 5. 已知 中， ， ，点 在边 上， ，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 已知 的外接圆的半径为2， ，点G满足 ，且 ， 则 的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，取的中点，连接.因为，所以， 所以，又为公共点，所以共线，且， 所以点为的重心，因为，所以，所以，所以，因为，所以，由正弦定理得， 所以.所以. 故选：C. 7. 已知 的三个顶点 及平面内一点 满足 ，则 为 的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【详解】在中，因， 设为的中点，而，， 所以是靠近的三等分点，则是的重心； 故选：C.    【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中 点，且 ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 即A不正确； 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中 点，且 ，则（     ） A． B． C． D． 【详解】连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如图 由其性质有 ∴ ，即B不正确； 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中 点，且 ，则（     ） A． B． C． D． 【详解】 ，即C正确； 同理 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中 点，且 ，则（     ） A． B． C． D． 【详解】 ，即 ∴ ，即D不正确； 故选：C. 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将长度、垂直、平行等问题转化为代数问题． 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目用坐标法更简单．　　　　 8.如图所示，正方形 的边长为1，点 分别在 轴， 轴的正半轴（含原点）上滑动，则 的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】取的中点，的中点，连接，如下图所示： 易知，所以． 因为，当且仅当三点共线时等号成立． 所以的最大值为2． 故选：B． 已知向量 满足 ，则 . 【详解】如图：设，，作平行四边形，则，， 因为，即，所以平行四边形为矩形. 又，所以. 所以. 故答案为： 已知 中， ， ，P是 所在平面内的任意一点， 且满足 ，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】在中，由，可得，根据，得，，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，则，设为平面内满足的点，则有，，则， 由于P在单位圆上，可设，， 则， 故的取值范围为 故选:A 【练习1】已知向量 , , 满足条件 ,且 , 求证：△ 是正三角形． 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】由已知结合向量数量积的运算可得 EMBED Equation.DSMT4 , 再由等腰三角形的性质有 , 即可证结论. 【详解】由题设, ,则 ,又 , ∴ ,即 ,而 , ∴ ,同理可得 , 又△ 、△ 、△ 都是等腰三角形, ∴ , 即 .∴△ 是正三角形． 【练习1】已知向量 , , 满足条件 ,且 , 求证：△ 是正三角形． 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系。 【练习1】如图，在一个半径为r的半圆形铁板中，截取一块矩形ABCD， 使得矩形的顶点A,B在半圆的直径上,C,D在半圆弧上.连接OC,设 . (1)试用r和x表示矩形ABCD的面积y,并求其定义域； (2)求矩形ABCD的面积y的最大值,并求出取到最大值时x的值. 【详解】(1)依题意, , , 则 , , 所以矩形ABCD的面积 ，定义域为 . (2)因为 ，所以当 时，y取得最大值r2. 【反思感悟】 利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明确角的 取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去． 【练习2】如图，在直角梯形ABCD中, , , , , P是线段AB上的动点,则 的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 【详解】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设 ， ，因为 ， ， 所以 ， ， ，所以 ， ， ，所以 ， 所以 ， 所以当 ,即 时, 的最小值为7,故选：D． 1.用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将 题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将长度、垂直、 平行等问题转化为代数问题． 2.用向量方法解决平面几何问题的步骤 　　 1.学生归纳总结本节学习的数学知识: 平行四边形向量加、减法的几何模型, 用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”. 特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度. 2.本节学习的数学方法: 向量法, 向量法与几何法、解析法的比较, 将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具 性这一特点. 利用向量法解决长度问题的策略 (1)向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2)； (2)利用向量法求角的大小时，一般将这个角视作两个向量的夹角，再利用向量的夹角公式求解．　　　　 $