6.4.1 平面几何中的向量方法 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第六章“平面向量及其应用”中的6.4.1节“平面几何中的向量方法”。内容包括：建立平面几何元素与平面向量的对应关系；掌握用向量方法解决平面几何问题的基本思路（“三步曲”）；运用向量的线性运算、数量积运算解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角、三点共线等问题；通过基底法和坐标法两种途径实现几何问题向向量问题的转化与求解。 内容解析 本节是平面向量知识的综合应用，是在学生学习了向量的概念、线性运算、数量积等基础内容后的延伸。其核心是利用向量集“数”与“形”于一身的特性，将平面几何问题转化为向量运算问题，体现“化归与转化”的数学思想。 从知识关联看，本节强化了向量作为“几何研究工具”的核心价值，搭建了平面几何与代数运算之间的桥梁，既巩固了向量的运算性质，又拓展了平面几何问题的解决途径，是提升数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关键载体。 从学习意义看，通过解决具体的平面几何问题，学生能体会向量方法“以算代证”的优势，掌握“几何问题—向量表示—向量运算—几何结论”的建模流程，为后续解决力学问题及其他实际问题奠定基础。 教学目标 1. 理解平面几何元素与平面向量的对应关系，能识别平行、垂直、长度、夹角等几何关系对应的向量表达形式。 1. 掌握用向量方法解决平面几何问题的基本步骤（“三步曲”），能灵活运用基底法或坐标法解决简单的平面几何问题。 1. 体会向量在解决几何问题中的工具性作用，提升将几何问题转化为向量问题的化归能力与数学运算素养。 1. 感受向量方法与几何法、解析法的差异与联系，增强数学应用意识和创新思维。 目标解析 1. 能准确填写几何元素（平行、垂直、长度、夹角）与向量及其运算的对应关系表，明确向量共线、数量积为零等条件的几何意义。 1. 给定平面几何问题（如证明平行、垂直、求长度或夹角），能选择合适的向量表示方式（基底法或坐标法），通过向量运算得出结果，并还原为几何结论。 1. 针对具体问题能自主判断选用基底法（无坐标系或不易建系时）或坐标法（易建系时），并规范完成解题过程。 1. 能结合实例对比向量法与传统几何法的优劣，阐述向量方法解决平面几何问题的核心思路。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立完成几何元素与向量运算的对应关系建构，准确说出向量共线定理、数量积性质在几何中的应用场景。 1. 能运用“三步曲”解决三角形中位线性质证明、平行四边形对角线长度关系探究等典型问题，解题步骤完整规范。 1. 能灵活选用基底法或坐标法解决变式练习，如判断三角形形状、求线段长度的最小值等问题。 1. 能总结向量方法解决平面几何问题的技巧，并用自己的语言描述“化归与转化”思想的具体应用。 本节内容所涉及的主要数学核心素养有：数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等。 对学生而言，前期已系统学习向量的线性运算、数量积等基础知识，具备了一定的向量运算能力，但在知识迁移和应用意识方面仍有不足。学生的主要困难在于：一是难以主动建立平面几何与向量之间的联系，不会将几何元素（如线段、角）转化为向量表示；二是在选择基底时缺乏针对性，不知道如何选取“已知模或夹角的向量”作为基底；三是对向量运算结果还原为几何结论的“翻译”过程不够熟练。 此外，学生已掌握平面几何的传统证明方法和解析几何的坐标法，这为对比学习向量法提供了基础，但也可能存在思维定势，需要通过实例凸显向量法的独特优势，激发学生的学习兴趣。 基于以上分析，确定本节课的： 教学重点：1. 平面几何元素与向量运算的对应关系；2. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；3. 基底法与坐标法的灵活运用。教学难点：1. 将平面几何问题转化为向量问题；2. 合理选择基底或建立坐标系，实现有效运算；3. 向量运算结果向几何结论的“翻译”。 知识点一　用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点二　向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． (2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． (3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝＝(非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． (4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|＝＝(a＝(x，y))或AB＝||＝(A(x1，y1)，B(x2，y2))． 导入新知1：校园路径规划中的向量奥秘 学校计划在教学楼（记为点A）、图书馆（记为点B）和实验楼（记为点C）之间铺设便民步道。已知AB路段长80米，AC路段长60米，且AB与AC的夹角为60°。现在有两个施工方案：方案一，直接修建从B到C的直线路段；方案二，先从B到教学楼旁的中转站D（D是AB的中点），再从D到C。 请同学们思考： 1. 两种方案的步道长度分别是多少？哪种方案更节省材料？ 2. 中转站D到C的路段与BC路段是否存在平行关系？ 3. 不用尺子测量，能否通过某种“运算”快速算出线段长度和位置关系？ 设计意图 1. 贴近生活实际：以校园步道规划为场景，学生熟悉且易感知，降低抽象概念的理解门槛，让学生体会数学与生活的紧密联系。 2. 统领核心内容：问题1涉及线段长度计算，对应向量的模长运算；问题2涉及平行关系判断，对应向量共线定理；问题3直接引导学生思考“以算代证”的向量方法，自然引出几何元素与向量运算的对应关系，为“三步曲”和基底法、坐标法的学习埋下伏笔。 3. 激发求知欲：通过对比两种方案的优劣，引发学生对“不用测量就能精准计算”的方法的好奇，打破传统几何需借助辅助线、测量工具的思维定势，凸显向量方法的便捷性，调动学生探索新知的积极性。 导入新知2：快递分拣中的向量逻辑 快递中转站的分拣传送带可简化为平面模型：传送带AB将快递从A点运送到B点，速度向量为（水平向右，大小为3m/s）；同时，分拣机器人沿传送带垂直方向推送快递，推送速度向量为（竖直向上，大小为4m/s）。 请同学们讨论： 1. 快递实际的运动方向（与水平方向的夹角）是多少？实际运动速度的大小是多少？ 2. 若传送带AB的长度为15米，机器人推送的距离为10米，快递从起点到终点的直线距离是多少？ 3. 当传送带速度和机器人推送速度变化时，如何快速判断快递的实际运动轨迹（直线/曲线）、运动方向和距离？ 设计意图 1. 贴近生活实际：快递分拣是学生日常生活中常见的场景，速度、方向、距离等元素直观可感，将向量的线性运算、数量积、模长等抽象知识与实际运动结合，让学生感受到向量的实用性。 1. 统领核心内容：问题1涉及向量夹角和模长计算，对应数量积的定义和模长公式；问题2涉及线段长度计算，可通过向量加法与模长运算求解；问题3引导学生思考向量方法在动态变化中的应用，呼应基底法（用、作为基底表示实际速度向量）和坐标法（建立坐标系将速度向量坐标化），贯穿“转化—运算—还原”的核心思路。 1. 激发求知欲：通过生活化的运动问题，让学生发现传统几何方法难以快速解决“速度合成” “动态轨迹分析”等问题，而向量能将复杂的运动分解为简单的向量运算，从而激发学生探索向量方法解决几何问题的兴趣，为整节课的学习奠定探究基调。 1.向量方法解决几何问题的思路形成 1.1创设情境，引发思考 【数学情境】由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决. 问题1：平面几何问题与平面向量之间的对应关系如何？完成下表. 几何元素及其表示 向量及其运算 平行 垂直 长度 夹角 【预设的答案】 几何元素及其表示 向量及其运算 平行 直线 垂直 直线 长度 的长度 夹角 【设计意图】从向量的线性运算和数量积运算具有的几何背景出发，建立平面几何元素与平面向量之间的对应关系. 【数学情境】如图，是的中位线，用向量方法证明：. 【设计意图】创设数学情境，通过线段（直线）平行与向量共线关系的实例，让学生感受在数学学习中，利用平面向量研究平面几何中平行关系这一类问题. 问题2：如果两个向量共线，那么向量所在直线的位置关系是怎样的？如何利用平面向量证明线段（直线）平行？ 【活动预设】启发学生初步感知用平面向量表示几何图形中的元素，并借助向量运算研究图形中的几何元素之间的关系. 1.2探究典例，形成思路 活动：用向量方法证明：. 【活动预设】感受在证明的过程中，如果直接建立两个所求向量之间的关系不好表示，那么需要考虑联系这两个向量的桥梁：基底！因此可以选取一组基底，用分别表示,就建立了二者的关系，从而证明. 【设计意图】让学生感受利用向量解决平面几何问题的思路，用基底法表示所求向量是向量表示的一种方法. 1.3具体感知，理性分析 问题3：如何用向量方法证明三点共线呢？ 【活动预设】 （1）向量共线与线段平行、重合的关系是什么？ （2）类比：向量共线证明线段平行的方法，先证，再说明没有公共点. 【设计意图】从引例中的具体问题入手，进一步让学生体会用向量运算研究图形中的几何元素之间的关系. 问题4：用向量方法解决平面几何问题的基本思路和步骤是什么？ 【预设的答案】几何图形到向量恰当的向量运算向量到几何关系 【设计意图】 在数学实践活动中归纳总结用向量方法解决平面几何问题的基本思路. 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决．下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用． 有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标． 1、 应用新知 例1如图6.4-1，是的中位线，用向量方法证明：， 分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度．如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用，表示，，证明即可． 证明：如图6.4-2，因为是的中位线，所以，， 从而， 又，所以．于是，． 平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 【变式】在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 例2如图6.4-3，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗? 分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系． 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图6.4-4，取为基底，设，，则，． 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ，． 上面两式相加，得． 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：． 你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？ 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误. 【详解】，即A不正确； 连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示 由其性质有 ∴，即B不正确； ，即C正确； 同理 ，即 ∴，即D不正确； 故选：C. 1.（24-25高一下·广东佛山·期中）在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【知识点】向量在几何中的其他应用、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量的减法法则可得，化简可得，即可得出结果. 【详解】 由题意可知：， 故，则， 故，即△ABC为直角三角形. 故选：D 2.（24-25高一下·河南·月考）在中，若 ，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用、数量积的运算律 【分析】应用向量数量积的运算律得，即，即可得三角形的形状. 【详解】由题设，则， 而的数量关系无法确定，所以一定是直角三角形，且. 故选：A 3.（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 4.（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 5.（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、用向量解决线段的长度问题 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 6.（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知的外接圆的半径为2，，点G满足，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量在几何中的其他应用 【分析】取的中点，连接，根据可得点为的重心，根据，可得，从而可得，再利用正弦定理求出，最后由三角形面积公式得到答案. 【详解】如图，取的中点，连接. 因为，所以， 所以， 又为公共点，所以共线，且， 所以点为的重心， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得，所以. 所以. 故选：C. 7.（2025高三·全国·专题练习）已知的三个顶点及平面内一点满足，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、向量在几何中的其他应用 【分析】根据给定的向量等式，化简得出，可得是的重心. 【详解】在中，因， 设为的中点，而，，所以是靠近的三等分点， 则是的重心； 故选：C.    8.（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】取的中点，将的表达式利用极化恒等式化简，再由三点共线可求出最大值. 【详解】取的中点，的中点，连接，如下图所示： 易知， 所以． 因为，当且仅当三点共线时等号成立． 所以的最大值为2． 故选：B． 9.（2025·广东·模拟预测）已知向量满足，则 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、用向量解决夹角问题 【分析】数形结合，利用向量的几何意义求解. 【详解】如图： 设，，作平行四边形，则，， 因为，即，所以平行四边形为矩形. 又，所以. 所以. 故答案为： 10.（25-26高三上·福建厦门·期中）已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量与几何最值 【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解． 【详解】在中，由，可得， 根据，得，， 以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，则， 设为平面内满足的点， 则有，， 则， 由于P在单位圆上，可设，， 则， 故的取值范围为 故选:A 1.（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【知识点】三角形的心的向量表示、向量在几何中的其他应用、根据向量关系判断三角形的心 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 2.（2025高三·全国·专题练习）设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】由，确定点位置，将面积问题转化成边长之比，进而可求解. 【详解】如图，，， 设，则，故点，，三点共线， ，．    故选：C 3.（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 4.（2026·陕西西安·三模）设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、向量与几何最值 【分析】过作，交直线AB于点，根据数量积公式，可得，根据圆的几何性质，可得的最大值，分析即可得答案. 【详解】由题画出图形，则向量的夹角为锐角时适合题意，过作，交直线AB于点， 则， 故当取得最大值时，的值最大. 设圆心为，因为圆的半径为1，故是边长为1的等边三角形， 且当与圆相切时，的值最大， 过O作，交AB于D，连接OC，则四边形ODHC为矩形， 所以，则，即的最大值为 故的最大值为. 故选：B 1. 知识清单： · (1) 几何元素与向量运算的对应关系（平行、垂直、长度、夹角）； · (2) 向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（转化、运算、还原）； · (3) 两种核心方法：基底法（适用于无坐标系场景，需选取合适基底）、坐标法（适用于易建系场景，将几何问题代数化）。 1. 方法归纳：化归与转化思想、数形结合思想、分类讨论思想（方法选择时）。 1. 常见误区： · (1) 向量表示时忽略方向，导致运算错误； · (2) 选取基底时未考虑“已知模或夹角”，增加运算难度； · (3) 向量运算结果未还原为几何结论，或还原时混淆向量关系与几何关系。 1. 核心技巧： 问题类型 所用知识 公式/定理依据 平行、三点共线 向量共线定理 a∥b⇔a＝λb（b≠0）；坐标表示：x₁y₂－x₂y₁＝0（a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)） 垂直 数量积运算性质 a⊥b⇔a·b＝0；坐标表示：x₁x₂＋y₁y₂＝0（a,b为非零向量） 夹角计算 数量积定义 cos〈a，b〉＝＝ 长度计算 数量积的模长公式 1.教材第39页练习第1,3题. 2.教材第41页练习第1,2题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第39页） 1．证明：等腰三角形的两个底角相等． 1．解析：在中，设，，且，由，得，，把上述两式两边分别平方，得，，由于，所以，即，．因此． 2．如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，求的余弦值． 2．解析：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，．于是，，并且的大小等于，的夹角．因为，，． 所以． 3．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，．设，，求的值． 3．解析：因为，，所以，， 注意到点是的中点，所以， 整理得，又，，三点共线，所以， 则有，因为与不共线，所以， 因此． 1. 教学中应注重引导学生经历“观察—转化—运算—还原”的完整过程，避免直接灌输解题步骤，让学生在实践中体会向量方法的本质； 1. 针对基底法和坐标法，可通过对比例题让学生自主总结适用场景，鼓励学生根据题目特点灵活选择，不要局限于单一方法； 1. 对于学困生，可先从简单的平行、垂直问题入手，强化向量表示和基本运算，再逐步过渡到长度、夹角等复杂问题； 1. 可适当补充向量方法与几何法、解析法的对比例题，让学生感受向量方法“以算代证” “简化运算”的优势，增强学习主动性。 学科网（北京）股份有限公司 $