第6章 立体几何初步（单元自测·提升卷）数学北师大版必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 立体几何初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D． 2．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（　　）    A．1 B． C． D． 3．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 4．若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 5．已知圆台的上､下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 7．“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 8．如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大体对角线长为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知、是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（    ）    A．当时，四边形是一个正方形 B．当时， C．当时，四点共面 D．当时，直线相交于一点 11．如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．如图，已知正四棱锥，点为侧棱PA的中点.则在此棱锥侧面上，从点出发绕其一圈到点的路径中，最短路径的长度为 . 13．已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 14．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，平面，，，，且，. (1)求证：平面； (2)求证：. 16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为线段的中点，． (1)求证：； (2)求点E到平面的距离． 17．（本小题满分15分）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 18．（本小题满分17分）图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. (1)求证：； (2)记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小. 19.（本小题满分17分）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且． (1)求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和； (2)若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 立体几何初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D． 2．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（　　）    A．1 B． C． D． 3．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 4．若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 5．已知圆台的上､下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 7．“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 8．如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大体对角线长为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知、是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（    ）    A．当时，四边形是一个正方形 B．当时， C．当时，四点共面 D．当时，直线相交于一点 11．如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．如图，已知正四棱锥，点为侧棱PA的中点.则在此棱锥侧面上，从点出发绕其一圈到点的路径中，最短路径的长度为 . 13．已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 14．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，平面，，，，且，. (1)求证：平面； (2)求证：. 16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为线段的中点，． (1)求证：； (2)求点E到平面的距离． 17．（本小题满分15分）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 18．（本小题满分17分）图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. (1)求证：； (2)记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小. 19.（本小题满分17分）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且． (1)求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和； (2)若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 立体几何初步·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D A D B B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）因为，平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以. 16．（本小题满分15分） 【解】（1）证明：平面，平面，， 又底面ABCD为正方形，， 又，且平面， 平面PAC， 平面PAC，． （2）E为线段AB的中点， 若点A到平面PBD的距离为d，则点E到平面PBD的距离为． 由题易知， ． ，，解得． 点E到平面的距离为． 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）因为，， ， 所以，所以，即， 图2中，， 则,所以，又， 又为平面内两条相交直线， 所以面，又在面， 所以又， 为平面内两条相交直线， 所以面，又在面内， 所以. （2） 以为临边，构造矩形,连接，易知过点， 因为分别为的中点， 所以，又在平面内，在平面外，所以平面, 即点就是点， 由（1）知面，在面内， 所以，又， 是平面内两条相交直线， 所以面，在面内， 所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为, 所以， 所以二面角的大小为. 19.（本小题满分17分）设 【解】（1）在直四棱柱中,，底面ABCD为菱形， 由离散曲率的定义知：的离散曲率相等，的离散曲率相等， 所以处的曲率为，而处的曲率为，又， 所以、两处的曲率和为， 故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和. （2）由题设，处的曲率，故， 所以直四棱柱底面面积为， 故直四棱柱高为1，故体积为， 令，，可得，，即，上递增； 令，，可得，，即，上递减； 所以增区间为，减区间为，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 立体几何初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】依题意可知，半圆的弧长为，圆心角的弧度数为， 由弧长公式可得该圆锥的母线长为.故选：C 2．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（　　）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形， 所以， 所以，， 易知，所以.故选：D．   3．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【解析】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交.故选：D. 4．若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，. 设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以.故选：A 5．已知圆台的上､下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆台的母线长为，则圆台的表面积，即， 故圆台的高为，根据线面角定义求出母线与底面所成角， 所以圆台的母线与底面所成的角的正切值为．故选：D． 6．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以.故选：B. 7．“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 【答案】B 【解析】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，，所以． 故选：B. 8．如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大体对角线长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设储物盒所在球的半径为，如图， 小球最大半径满足，所以， 正方体的最大棱长满足，解得：， 所以正方体的最大体对角线长为 ∴.故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知、是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【解析】对于A选项，若，，则或与相交，故A错误； 对于B选项，因为，，由面面垂直的判定定理可知，故B正确； 对于C选项，因为，，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于D，若，则存在直线，使得， 因为，所以，又，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（    ）    A．当时，四边形是一个正方形 B．当时， C．当时，四点共面 D．当时，直线相交于一点 【答案】BCD 【解析】因为分别是的中点，所以， 当时，，所以， 四边形是一个平行四边形，且，则， 所以四边形是一个菱形，则， 不能得出四边形是一个正方形，所以A错误，B正确； 对于C，当时，，，则， 所以四点共面，C正确； 对于D，当时，，但，而， 所以但不相等，所以四边形是一个梯形， 假设相交于点，因为平面，平面， 又平面平面，所以， 从而可得直线相交于一点，D正确， 故选：BCD. 11．如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 【答案】ACD 【解析】因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故C正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．如图，已知正四棱锥，点为侧棱PA的中点.则在此棱锥侧面上，从点出发绕其一圈到点的路径中，最短路径的长度为 . 【答案】 【解析】如图，将棱锥的侧面展开到一个平面内． 由题意可知，，， 故最短路径为， 即所求最短路径的长度为． 13．已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如下图， 要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则不能与重合， 假设能与重合，若与重合时线段AB长度最小为3； 若与重合时线段AB长度最大为， 综上，线段AB长度的取值范围是. 14．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    【答案】 【解析】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，平面，，，，且，. (1)求证：平面； (2)求证：. 【解】（1）因为，平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以. 16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为线段的中点，． (1)求证：； (2)求点E到平面的距离． 【解】（1）证明：平面，平面，， 又底面ABCD为正方形，， 又，且平面， 平面PAC， 平面PAC，． （2）E为线段AB的中点， 若点A到平面PBD的距离为d，则点E到平面PBD的距离为． 由题易知， ． ，，解得． 点E到平面的距离为． 17．（本小题满分15分）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 【解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 18．（本小题满分17分）图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. (1)求证：； (2)记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小. 【解】（1）因为，， ， 所以，所以，即， 图2中，， 则,所以，又， 又为平面内两条相交直线， 所以面，又在面， 所以又， 为平面内两条相交直线， 所以面，又在面内， 所以. （2） 以为临边，构造矩形,连接，易知过点， 因为分别为的中点， 所以，又在平面内，在平面外，所以平面, 即点就是点， 由（1）知面，在面内， 所以，又， 是平面内两条相交直线， 所以面，在面内， 所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为, 所以， 所以二面角的大小为. 19.（本小题满分17分）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且． (1)求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和； (2)若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间． 【解】（1）在直四棱柱中,，底面ABCD为菱形， 由离散曲率的定义知：的离散曲率相等，的离散曲率相等， 所以处的曲率为，而处的曲率为，又， 所以、两处的曲率和为， 故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和. （2）由题设，处的曲率，故， 所以直四棱柱底面面积为， 故直四棱柱高为1，故体积为， 令，，可得，，即，上递增； 令，，可得，，即，上递减； 所以增区间为，减区间为，. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $