第6章 立体几何初步（单元自测·基础卷）数学北师大版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 立体几何初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【解析】对于A，根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，故A错误； 对于B，棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，故B错误； 对于C，圆锥的轴截面都是等腰三角形，故C正确； 对于D，由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，故D错误.故选：C. 2．下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 【答案】D 【解析】如图，可知七棱柱共有14个顶点，21条棱，9个面.故选：D. 3．将直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，半圆弧扫过区域的面积为（   ） A．12 B．9 C．3 D． 【答案】C 【解析】因为直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，所得曲面的面积为整个球表面积的，所以半圆弧扫过区域的面积为，故选：C 4．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（ ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】依题意，矩形的面积， 而斜二测画法中直观图面积是原图形面积的， 所以的面积为.故选：D 5．已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【解析】直线、和平面、，且、， 若与相交，记，由于、， 所以、，则与相交， 所以“与相交”能得到与相交， 但“与相交”，则与可能异面，如图， 平面为，平面为，， 、，， 若与不重合，则直线、为异面直线， 所以“与相交”是“与相交”的充分不必要条件.故选：C. 6．如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【解析】由平面，平面，平面， 得平面平面，平面平面，平面与平面不垂直； 由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，平面与平面不垂直； 假定平面平面，在平面内过点作于，连接， 由是斜边，得不与点重合，由平面平面， 得平面，而平面，则，又平面， 于是平面，又平面，则，由平面，平面， 得，而平面，因此与矛盾，即平面与平面不垂直，    所以平面平面，平面平面，平面平面，共有3对.故选：C 7．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过顶点A且与平面平行的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】  如图，设分别是棱的中点，连接， 则，因平面， 平面，则平面， 又因，则有，可得， 则，又平面， 平面，故得平面， 又平面，所以平面平面， 则截该正方体所得截面即为，因， 故的面积为．故选：A. 8．一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为，体积为高， 设球的半径为，由图可得，解得， 故球的表面积的最小值为故选C    二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（   ） A．底面半径为1 B．表面积为 C．体积为 D．外接球与内切球半径比值为2 【答案】ABD 【解析】设圆锥的底面圆半径为，依题意，圆锥的母线长为，且，解得，故A正确； 圆锥的表面积为，故B正确； 因圆锥的高为，则其体积为，故C错误； 如图作出圆锥和外接球，内切球的轴截面，易知为正三角形，外接球和内切球的球心为同一点， 点为圆锥底面圆的圆心，则分别为外接球和内切球的半径，由正三角形的性质易得，故D正确.故选：ABD. 10．如图所示，平面平面，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，因为平面平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，设由与所确定的平面为， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，所以，即，解得，故B正确； 对于C，若，则，这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误； 对于D，，而由， 但与长度关系不确定，故D错误， 故选：AB. 11．在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】BCD 【解析】对于A中，若，则或相交，所以A错误； 对于B中，若，则或，又因为，则，所以B正确； 对于C中，因为，在平面内存在直线，使得， 又因为，所以，因为，所以， 又因为，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，因为，且，，所以， 又因为，且，，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD.    三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为 . 【答案】 【解析】设圆台的上下底面圆半径为，母线长， 则该圆台的侧面积为. 13.如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是 . 【答案】 【解析】如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以 14．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是 ． 【答案】9 【解析】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则， 当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． (1)求这种“笼具”的表面积； (2)求这种“笼具”的体积． 【解】（1）如图，取的中点，连接， 由正四棱锥知，所以，且, 又， 所以， 所以， 故正四棱锥的侧面积为. 又长方体的侧面积为，底面积为， 所以这种“笼具”的表面积为. （2）连接，，设，的交点为，连接，易知平面， 又平面，所以， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为. 长方体的体积． 所以这种“笼具”的体积为. 16．（本小题满分15分）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 17.（本小题满分15分）已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 【解】（1）是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又平面, . （2）由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 【解】（1）如图：    取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. （2）取中点，连接，连接，同理可证， 则为与底面所成角的平面角. 为等边三角形，边长为2，， 在中，解得，在中，解得. 则. ， . 19.（本小题满分17分）如如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【解】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面； （2）如图所示，在（ⅱ）图中过点S作，垂足为O， 延长交于点E，连接． 由翻折知， 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 立体几何初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 2．下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 3．将直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，半圆弧扫过区域的面积为（   ） A．12 B．9 C．3 D． 4．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（ ） A．4 B． C．8 D． 5．已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 6．如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过顶点A且与平面平行的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C． D． 8．一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（   ） A．底面半径为1 B．表面积为 C．体积为 D．外接球与内切球半径比值为2 10．如图所示，平面平面，且，则（    ） A． B． C． D． 11．在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为 . 13.如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是 . 14．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． (1)求这种“笼具”的表面积； (2)求这种“笼具”的体积． 16．（本小题满分15分）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 17.（本小题满分15分）已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 19.（本小题满分17分）如如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 立体几何初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 2．下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 3．将直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，半圆弧扫过区域的面积为（   ） A．12 B．9 C．3 D． 4．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（ ） A．4 B． C．8 D． 5．已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 6．如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过顶点A且与平面平行的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C． D． 8．一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（   ） A．底面半径为1 B．表面积为 C．体积为 D．外接球与内切球半径比值为2 10．如图所示，平面平面，且，则（    ） A． B． C． D． 11．在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为 . 13.如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是 . 14．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． (1)求这种“笼具”的表面积； (2)求这种“笼具”的体积． 16．（本小题满分15分）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 17.（本小题满分15分）已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 19.（本小题满分17分）如如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 立体几何初步·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C D C C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AB BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）如图，取的中点，连接， 由正四棱锥知，所以，且, 又， 所以， 所以， 故正四棱锥的侧面积为. 又长方体的侧面积为，底面积为， 所以这种“笼具”的表面积为. （2）连接，，设，的交点为，连接，易知平面， 又平面，所以， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为. 长方体的体积． 所以这种“笼具”的体积为. 16．（本小题满分15分）由 【解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 17.（本小题满分15分） 【解】（1）是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又平面, . （2）由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 18.（本小题满分17分） 【解】（1）如图：    取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. （2）取中点，连接，连接，同理可证， 则为与底面所成角的平面角. 为等边三角形，边长为2，， 在中，解得，在中，解得. 则. ， . 19.（本小题满分17分） 【解】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面； （2）如图所示，在（ⅱ）图中过点S作，垂足为O， 延长交于点E，连接． 由翻折知， 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $