专题02 立体几何初步解答题压轴题（专项训练）数学北师大版必修第二册

专题02立体几何初步解答题压轴题 目录 A题型建模・专项突破 题型01平行关系的证明 题型02垂直关系的证明 题型03平行与垂直的综合问题 题型04距离问题 题型05探索性问题 题型06最值范围问题 题型07翻折问题 题型08新定义创新问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01平行关系的证明 1．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别是和的中点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解】（1）∵在中，、分别是和的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面． （2）∵平面，∴是三棱锥的高， ∵四边形是正方形，， ∴三棱锥的体积为． ∴三棱锥的体积为． 2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【解】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 3．由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 4.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： （1）BE∥平面DMF； （2）平面BDE∥平面MNG. 【证明】（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点. 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. （2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG， 又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点，N为AD的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE∥平面MNG. 题型02垂直关系的证明 5．如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．求证：平面平面． 【解】证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 6．已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 【解】（1）是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又平面, . （2）由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 7．如图，在长方体中，已知.    (1)证明:平面平面； (2)已知点是线段上的动点，求四面体的体积. 【解】（1）在长方体中，， 所以底面是正方形，则 又因为平面，平面 所以 由于， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面 （2）因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离 所以 因为， 又因为，即点到平面的距离为. 所以. 8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点. (1)求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若点E,F分别为BC,PC的中点,求证:平面DEF⊥平面ABCD. 【证明】(1)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点, 所以BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊂平面ABCD, 所以BG⊥平面PAD. (2)如图,连接PG, 因为△PAD为正三角形,G为线段AD的中点, 所以PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD, 又PG∩BG=G,PG,BG⊂平面PGB, 所以AD⊥平面PGB. 因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB. (3)如图,连接DE,EF,DF. 在△PBC中,FE∥PB, 在菱形ABCD中,GB∥DE. 而FE⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,PB⊂平面PGB,GB⊂平面PGB,PB∩GB=B,所以平面DEF∥平面PGB. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,PG⊥AD, 所以PG⊥平面ABCD. 又PG⊂平面PGB, 所以平面PGB⊥平面ABCD, 所以平面DEF⊥平面ABCD. 题型03平行与垂直的综合问题 9．如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：. 【解】（1）连接，交于点，连接， 四边形是正方形，为中点， 又为中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 四边形为正方形，， ，平面，平面， 平面，. 10．在如图所示的几何体中，四边形为梯形，，四边形为正方形． (1)若，分别是，的中点，求证：平面； (2)若为的中点，平面平面，求证：平面． 【解】（1）连接，因为四边形为正方形，是的中点，所以是的中点， 又是的中点，所以，又，所以， 又平面平面，所以平面. （2）因为，为的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又平面， 所以平面. 11．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【解】（1）由于分别为棱的中点，故， 又平面，且平面， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面， 故平面， 12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 【证明】(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB∥CD. 又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC， 所以AB∥平面PDC. 又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF， 所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF， 所以AB⊥AF.又AB⊥AD， 由点E在棱PC上(异于点C)， 所以点F异于点D， 所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD. 题型04距离问题 13.如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【解】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 14．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 【解】（1）由已知，四边形为正方形，且平面， 所以即四棱锥的高， 所以， 即四棱锥的体积为. （2）根据已知，连接，作图如下. 由（1）知，又为正方形的对角线， 所以， 又，即是等边三角形，所以， 设点到平面的距离为， 则，解得， 即点到平面的距离为. 15．如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【解】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    16．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求： (1)平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离. (2)点D1到直线AC的距离. (3)直线AB与面A1DCB1的距离. 【解】（1）因为平面ADD1A1与平面BCC1B1平行，故平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离即 （2）连接，由题意，，，.因为为等腰三角形，故，设点D1到直线AC的距离为 ，则，解得，即点D1到直线AC的距离为 （3）连接，交于，因为长方体中，故正方形，故，且平面，又平面，故，又，故平面，故直线AB与面A1DCB1的距离为. 题型05探索性问题 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积． 【解】（1）存在，当G为PA的中点，点D，C，E，G共面． 证明如下： 取PA的中点G，连接EG， 又∵点E是PB的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段PA上存在一点G，使得点D，C，E，G共面． （2）∵E为PB的中点，∴，则， ∵底面直角梯形中，，，ABAD，∴， 而PC⊥底面ABCD，且， ∴， 则三棱锥的体积为. 18.如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【解】（1）在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. （2）设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 19.如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，， 所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 20.如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点． (1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 【解】(1)证明：因为四边形AA1D1D为正方形，A1D∩AD1＝O，所以O为AD1的中点． 又OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE⊂平面ABD1， 所以OE∥BD1. 又O为AD1的中点， 所以E为AB的中点． (2)存在点E，当AE＝时，平面D1DE⊥平面AD1C，理由如下： 设AC∩DE＝F， 因为四边形AA1D1D为正方形， 所以D1D⊥AD， 又平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D⊂平面AA1D1D， 所以D1D⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，所以D1D⊥AC. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1， 当AE＝时，在Rt△ADE中， tan ∠ADE＝， 在Rt△ABC中，tan ∠BAC＝， 所以∠ADE＝∠BAC， 又∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°， 所以∠ADE＋∠DAC＝90°， 则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE， 又DE∩DD1＝D，DE，DD1⊂平面D1DE， 所以AC⊥平面D1DE. 又AC⊂平面AD1C， 所以平面D1DE⊥平面AD1C. 所以存在点E且AE＝. 题型06最值范围问题 21.在三棱柱中，，，，，分别为的中点. (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 【解】（1）三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，所以，且， 又因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由于面，面，所以面， 在中，，且，同理，且， 所以，又由于面，面，所以面， 又面，，平面， 所以平面∥平面； （2）连接 ， ， 因为 ，所以 ，又因为 ，且，所以 ， 因为 ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ，因为 平面 ， 所以 ，在 中， ， ， ， 由余弦定理求得 ， 则 ， ， 因为，所以 ，解得 ， 在，， ，可知，又， 在中，，因此 ． 由（1）知， ，且 ， 平面 ，且 ， 所以 平面， 因为 平面 ，因此平面 平面 ． （3）设，，， 所以到平面的距离为， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在中，， 所以到的距离为， 设二面角的平面角为，. 22.如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． (1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少? (2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? (3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动） 【解】（1）记水面与棱分别交于点， 当侧面水平放置时，水是以为底，高为8的直棱柱， 因为，分别为棱的中点， 所以，所以水的体积为， 当底面ABC水平放置时，设水面高为， 则，解得， 即当底面ABC水平放置时，水面高为6. （2）因为三棱柱体积为， 所以三棱锥的体积为， 空气部分的体积为， 因为，所以当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图， 由得， 记的中点为，连接，则， 因为，所以， 又平面，平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以直线在平面内的投影为， 所以为直线与水平面所成角， 又，所以， 所以， 因为，所以水面到地面的距离为. （3）由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图： 记的中点分别为，在上，且，， 易知，为正三角形，设， 则，所以， 整理得①， 又因为平面，平面，平面平面， 所以与的交点必在上，所以为棱台， 所以， 整理得②， 联立①②可得，， 因为，所以为平行四边形， 所以， 易知为等腰梯形，所以为等腰梯形的高， 所以水面面积， 则 当水面刚好过点时，，解得， 则，， 由题意可知，则， 记，， 由二次函数性质可知，，即， 所以，所以， 即水面面积S的取值范围为. 题型07翻折问题 23．如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【解】（1）依题意，，平面，平面， 故平面. （2）在四边形中，，为中点，则， 得到四边形为平行四边形，，而，则， 在图②中，，而平面， 所以平面. 24．在直角三角形中，，是的中点，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.    (1)求三棱锥的体积； (2)是线段上一个动点，且. ①当时，求二面角的余弦值： ②当与平面所成角的正弦值为时，则的值为 . 【解】（1）由题可得， 取中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以； （2）①三角形中，， 则，可得， 由，则， 则，则， 又因为平面平面，平面， 平面平面，可得平面， 又平面，可得平面平面， 则二面角为直二面角，其余弦值为0； ②，连接， 三角形中，，，， 则 ， 则，又，则， 设到平面的距离为，则， 则，与平面所成角的正弦为， 则，则， 三角形中，， 则， 三角形中，， 则，则， 解得或3，由可得.    25．如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥. (1)若，在面上的射影恰好在上，求二面角平面角的余弦值； (2)若二面角为直二面角，当取到最小值时，求的值及点到平面的距离. 【解】（1）过点作的垂线交于点，交于点，如下图所示： 翻折后仍有， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以为二面角所成的平面角. 由在面上的射影恰好在上得平面， 所以， 由可知，因为， 所以； 又易知， 所以，可得，所以； 所以， 即二面角平面角的余弦值为 （2）过点作的垂线交于点，如下图所示： 设， 由二面角为直二面角可知平面平面， 平面平面，， 又平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 则有， 可得， 又， 所以，； 当时，取到最小值； . 所以，可得，所以 （注：，，由角平分线定理得也可） 则有, ，解得. 即点到平面的距离为. 题型08新定义创新问题 26．如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：． (1)如图2，在三棱锥中，点M是点B在平面APC中的投影，，连接MD，，，，，． ①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值； (2)当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理． 【解】（1）由题意得： ①∵，，∴； ②， 因，,则， ∵点M是点B在面ABC上的投影，∴面PAC, ∴ , 故当时，的最大值为. （2） 过射线PC上一点H在面PAC作交PA于点M，在面PBC内作交PB于点N， 连接MN，则是二面角的平面角， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式相减得：， 则：， 两边同除以，得 ，得证. 27．空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数. 【解】（1）证明：因为在直三棱柱中，平面，平面， 所以， 所以点的曲率为，得， 因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 设，则， 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为， 所以在中，， 所以二面角的余弦值为； （3）证明：设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号， 设第号（）多边形有条边， 则多面体共有条棱， 由题意，多面体共有个顶点， 号多边形的内角之和为， 所以所有多边形的内角之和为， 所以多面体的总曲率为 所以简单多面体的总曲率为. 1.（2023·全国乙卷T19节选）如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，．求证：//平面； 【证明】连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即， 则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. 2.(2023·全国甲卷T18)如图所示，在三棱柱ABC -A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1 -BB1C1C的高． 【解】(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC， 又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)如图所示，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H， 由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C， 又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1， A1H⊂平面ACC1A1， 所以A1H⊥平面BB1C1C， 即四棱锥A1 -BB1C1C的高为A1H. 由题意知AB＝A1B，BC＝BC， ∠ACB＝∠A1CB＝90°， 则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1， 又AA1＝2，∠ACA1＝90°， 所以A1C1＝CA1＝. 在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线， 所以A1H＝CC1＝1， 故四棱锥A1 -BB1C1C的高为1. 3.（2022·全国甲卷T19）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 【解】（1）如图所示： 分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面． （2）如图所示： 分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍． 因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积 ． 4．（2024·全国甲卷T19）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【解】（1）由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 5.（2021·全国甲卷T19）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知D为棱上的点，证明：. 【解】（1）由于，，所以， 又AB⊥BB1，，故平面， 则，为等腰直角三角形， ，. （2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结， 正方形中，为中点，则， 又， 故平面，而平面， 从而. 6．（2022·全国乙卷T18）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【解】（1）由于，是的中点，所以. 由于，所以， 所以，故， 由于，平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2）依题意，，三角形是等边三角形， 所以， 由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以. ，所以， 由于，平面，所以平面. 由于，所以， 由于，所以， 所以，所以， 由于，所以当最短时，三角形的面积最小 过作，垂足为， 在中，，解得， 所以， 所以 过作，垂足为，则，所以平面，且， 所以， 所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02立体几何初步解答题压轴题 目录 A题型建模・专项突破 题型01平行关系的证明 题型02垂直关系的证明 题型03平行与垂直的综合问题 题型04距离问题 题型05探索性问题 题型06最值范围问题 题型07翻折问题 题型08新定义创新问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01平行关系的证明 1．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别是和的中点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 3．由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 4.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： （1）BE∥平面DMF； （2）平面BDE∥平面MNG. 题型02垂直关系的证明 5．如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．求证：平面平面． 6．已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 7．如图，在长方体中，已知.    (1)证明:平面平面； (2)已知点是线段上的动点，求四面体的体积. 8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点. (1)求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若点E,F分别为BC,PC的中点,求证:平面DEF⊥平面ABCD. 题型03平行与垂直的综合问题 9．如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：. 10．在如图所示的几何体中，四边形为梯形，，四边形为正方形． (1)若，分别是，的中点，求证：平面； (2)若为的中点，平面平面，求证：平面． 11．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 题型04距离问题 13.如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 14．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 15．如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 16．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求： (1)平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离. (2)点D1到直线AC的距离. (3)直线AB与面A1DCB1的距离. 题型05探索性问题 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积． 18.如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 19.如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20.如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点． (1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 题型06最值范围问题 21.在三棱柱中，，，，，分别为的中点. (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 22.如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． (1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少? (2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? (3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动） 题型07翻折问题 23．如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 24．在直角三角形中，，是的中点，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.    (1)求三棱锥的体积； (2)是线段上一个动点，且. ①当时，求二面角的余弦值： ②当与平面所成角的正弦值为时，则的值为 . 25．如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥. (1)若，在面上的射影恰好在上，求二面角平面角的余弦值； (2)若二面角为直二面角，当取到最小值时，求的值及点到平面的距离. 题型08新定义创新问题 26．如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：． (1)如图2，在三棱锥中，点M是点B在平面APC中的投影，，连接MD，，，，，． ①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值； (2)当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理． 27．空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数. 1.（2023·全国乙卷T19节选）如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，．求证：//平面； 2.(2023·全国甲卷T18)如图所示，在三棱柱ABC -A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1 -BB1C1C的高． 3.（2022·全国甲卷T19）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 4．（2024·全国甲卷T19）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 5.（2021·全国甲卷T19）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知D为棱上的点，证明：. 6．（2022·全国乙卷T18）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $