专题01 球的切接问题（专项训练）数学北师大版必修第二册

专题01球的切接问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01墙角模型 题型02对棱相等模型 题型03柱体模型 题型04线面垂直模型 题型05高过球心模型 题型06面面垂直模型 题型07二面角模型 题型08台体模型 题型09内切球模型 题型10棱切球模型 题型11切接最值问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01墙角模型 1.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·高三·天津滨海新·期末）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·江西九江二模）已知三棱锥且平面，其外接球体积为（     ） A． B． C． D． 题型02对棱相等模型 4.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度都相等，且△ABC的边长分别为，3，4，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为 . 6.已知正四面体的棱长为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ． 题型03柱体模型 7.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球的半径为 A． B． C． D． 8.已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 9.所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 题型04线面垂直模型 10.已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（   ） A． B． C． D． 11.在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，，则该四面体的外接球的半径为 A．1 B． C．2 D．4 12.在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型05高过球心模型 13.已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 14.在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 15.若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为 . 题型06面面垂直模型 16.三棱锥中，，均为边长为2的等边三角形，平面平面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 17.在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 18.在矩形中，为的中点，将沿折起，把折成，使平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 . 题型07二面角模型 19.（2025·高三·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 20.已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 21.（2025·高一·重庆·期中）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 ． 题型08台体模型 22.已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 23.已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 24．已知正三棱台的上、下底面边长分别为，侧棱与底面所成角的正切值为3，则其外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型09内切球模型 25.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1是一块石材,测量可得∠ABC=90°,AB=6,BC=8,AA1=13.若将该石材切削、打磨,加工成几个大小相同的健身手球,则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(　　) A.,4 B.,3 C.6π,4 D.,3 26.（2025·安徽淮北·一模）半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（    ） A． B． C． D． 27.已知圆锥的底面半径为3，侧面母线长为5，设该圆锥内半径最大的球的体积为，圆锥的体积为，则 . 题型10棱切球模型 28.（2025·山西运城·一模）一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 29.（2025·高三·江苏连云港·阶段练习）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 . 30.若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 . 题型11切接最值问题 31．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 32．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 33．在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 4．【多选】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 5．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 8．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01球的切接问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01墙角模型 题型02对棱相等模型 题型03柱体模型 题型04线面垂直模型 题型05高过球心模型 题型06面面垂直模型 题型07二面角模型 题型08台体模型 题型09内切球模型 题型10棱切球模型 题型11切接最值问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01墙角模型 1.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体， 显然四棱锥的外接球即为长方体的外接球， 所以外接球球心在中点处， 又，故外接球半径， 所以.故选：D. 2.（2025·高三·天津滨海新·期末）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为，则， 由于三棱锥的表面积为，且各侧面均为等边三角形， 所以，可得， 所以正方体外接球半径为，故体积为. 故选：B 3.（2025·江西九江二模）已知三棱锥且平面，其外接球体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题,因为,所以, 设,则由,可得,解得, 可将三棱锥还原成如图所示的长方体, 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以, 所以外接球的体积，故选A 题型02对棱相等模型 4.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 为三棱锥外接球的球心，， ，，同理可得：， ，， ，为中点，，同理：， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 设，则， 解得：，球的表面积. 故选：A. 5.（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度都相等，且△ABC的边长分别为，3，4，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为 . 【答案】 【解析】将三棱锥补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，可以求出a2+b2+c2＝18，从而确定外接球的直径，进而得到外接球的体积.∵三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度都相等， ∴该三棱锥可以补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为， 设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 且不妨假设，b2+c2＝32＝9，a2+c2＝42＝16， ∴a2+b2+c2＝18， ∴三棱锥外接球的直径为， ∴外接球的体积为. 6.已知正四面体的棱长为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ． 【答案】/ 【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形， 所以，又正方体的面对角线可构成正四面体， 正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1， 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球， 所以外接球的直径为，半径为， 所以球O的体积为． 题型03柱体模型 7.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球的半径为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】有题意可知：为直角三角形，故球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点,（如图）即线段的中点为球心，那么半径，就是故选：D 8.已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 9.所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 【答案】/ 【解析】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为， 如图，连接，则为的中点，连接， 则为球的半径，设圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 又，所以， 所以球的表面积为. 题型04线面垂直模型 10.已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，，， 所以，所以. 设外接圆半径为，则. 又平面，且，设三棱锥的外接球半径为， 则. 所以三棱锥的外接球表面积为：. 故选：D 11.在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，，则该四面体的外接球的半径为 A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为SA⊥平面ABC，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心垂直于底面ABC的直线与中截面的交点O， 由，设的外接圆的半径为，则，所以， 所以外接球的半径2， 故选：C 12.在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为等腰三角形且面积为，所以，又， 所以，所以，设的外心为， 可得，过作平面的垂线， 则球心在直线上，设球心为，可得在的垂直平分线上， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 题型05高过球心模型 13.已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 14.在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，外接球的半径为，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 15.若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为 . 【答案】 【解析】如下图，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题设，球体半径，则， 所以，，， 中边上的高为， 故正四棱锥的侧面积为. 题型06面面垂直模型 16.三棱锥中，，均为边长为2的等边三角形，平面平面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取中点，连接，则，， 由平面平面，平面平面，平面，平面， 得平面，平面，取的外心，的外心， 分别过作平面、平面的垂线交于点，即为球心，连接， 于是，四边形为平行四边形，，， 因此三棱锥的外接球半径，有， 所以三棱锥的外接球表面积. 故选：C 17.在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，取的中点，连接，，因为，， 所以，因此点就是球心，又， 故是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 设球半径为，则，，则，， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的表面积为.    故选：A. 18.在矩形中，为的中点，将沿折起，把折成，使平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】因为，，为的中点， 则有，， 所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面. 所以平面， 又为等腰直角三角形，所以其外接圆的半径， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积. 题型07二面角模型 19.（2025·高三·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意得，. 记矩形的对角线与交于点，则翻折过程中点到四点的距离不变， 即点是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故选：A. 20.已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积，故选C 21.（2025·高一·重庆·期中）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 ． 【答案】 【解析】 取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角，平面， 所以平面， 因为，，所以，, ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，解得， 所以该球的体积为. 题型08台体模型 22.已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图. 易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为， 则球心到下底面圆的距离为，由勾股定理得，解得， 则外接球的半径，表面积为. 故选：A. 23.已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得正四棱锥的高， 如下图, 设正四棱台的外接球球心为,则点在上， 设，外接球半径为， 则, 即， 解得，则， 则外接球的表面积为， 故选: 24．已知正三棱台的上、下底面边长分别为，侧棱与底面所成角的正切值为3，则其外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设正三棱台的上、下底面的外接圆圆心分别为， 连接，则为正三棱台的高． 因为正三棱台的上、下底面边长分别为， 所以． 因为侧棱与底面所成角的正切值为3，所以， 过作，垂足为，易得四边形为矩形，所以， 则， 故正三棱台的高， 易知球心在线段或其延长线上，设外接球的半径为， 连接． 当球心在线段上时，，得， 此时点与重合， 当球心在线段的延长线上时，，无解， 所以正三棱台外接球的体积为． 故选:D．    题型09内切球模型 25.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1是一块石材,测量可得∠ABC=90°,AB=6,BC=8,AA1=13.若将该石材切削、打磨,加工成几个大小相同的健身手球,则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(　　) A.,4 B.,3 C.6π,4 D.,3 【答案】D 【解析】依题意知,当健身手球与直三棱锥的三个侧面均相切时,健身手球的体积最大. 易知AC==10,设健身手球的最大半径为R,则×(6+8+10)×R=×6×8,解得R=2. 则健身手球的最大直径为4. 因为AA1=13,所以最多可加工3个健身手球.于是一个健身手球的最大体积V=πR3=π×23=. 26.（2025·安徽淮北·一模）半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】三个小球的球心、、构成边长为的正三角形，则其外接圆半径为． 设半球的球心为，小球与半球底面切于点． 如图，经过点、、作半球的截面，半圆的半径，于点． 则．在中，由，故选D 27.已知圆锥的底面半径为3，侧面母线长为5，设该圆锥内半径最大的球的体积为，圆锥的体积为，则 . 【答案】 【解析】由题知，该圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球， 过圆锥顶点与底面圆直径作纵截面， 易得圆锥高为.故纵截面面积. 故设内切球半径. 故，， 故. 题型10棱切球模型 28.（2025·山西运城·一模）一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示：    因为正四棱锥底边边长为，高为， 所以 ， 到 的距离为， 同理到 的距离为1， 所以为球的球心，所以球的半径为：1， 所以球的表面积为，故选B 29.（2025·高三·江苏连云港·阶段练习）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点， 则为的中点，设， 由题意易知， 则， 因为， 所以. 30.若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 . 【答案】 【解析】设，外接球的半径为， 该多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得， 如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即， 根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球， 故，即， 故该多面体的棱切球的表面积为． 题型11切接最值问题 31．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】设长方体的外接球半径为，且， 因为外接球表面积为，故，即， 又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积的最大值为. 故选：C． 32．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等， 所以点O是鳖臑外接球的球心，三棱锥的外接球的表面积为， 得外接球半径，所以. 又，所以， 所以， 即，当且仅当时，取等号， 所以三棱锥的体积的最大值为， 故选：D 33．在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球， 其直径为，即， 又，所以， 则，于是由正弦定理，的外接圆半径为， 故球心到面的距离为. 所以点到面距离的最大值是. 故选：C. 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即， 设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，， 故或，即或，解得符合题意， 所以球的表面积为．故选A．    2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵球的体积为，所以球的半径, 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. 3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立.故选：C 法二：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 4．【多选】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【解析】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 5．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 【答案】 【解析】圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 6．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.综上，. 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 【答案】2 【解析】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 【答案】12 【解析】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图， 由题意可知，为球心，在正方体中，， 即， 则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $