独立性、条件概率，全概率公式 学案-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统整合了相互独立事件、条件概率、全概率公式三大核心考点，以概念辨析、公式推导、综合应用为逻辑主线构建知识网络，通过“导”环节的课本阅读填空任务，引导学生自主梳理定义、性质及公式，形成层次分明的知识体系。 亮点在于自主诊断与分层进阶设计，开篇判断题帮助学生快速定位薄弱点，“思”环节按命题点分类例题，配合“议”“展”活动引导深度探究，培养数学思维与表达素养。当堂检测与选做递推数列题满足不同复习需求，助力学生自主提升，也为教师提供精准教学依据。

事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（学案） 学习目标 1.了解两个事件相互独立的含义. 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率. 【导】（阅读选择性必修三课本44-52页，填写必备知识） 1.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=　　　　　　　　成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与　　　　，与　　　，与也都相互独立. 2.条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=　　　　　　　为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)=　　　　　　　　；  ②概率的乘法公式：P(AB)=　　　　　　　　. (3)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)=　　　　；  ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=　　　　　　　　. ③设和B互为对立事件，则P(|A)=　　　　　　. 3.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=　　　　　　　　. 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于任意两个事件，公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(　　) (2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率.(　　) (3)抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚正面朝上”为事件B，则A，B相互独立.(　　) (4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(　　) 【思】题型一　相互独立事件 命题点1　事件相互独立性的判断 例1　(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 命题点2　相互独立事件的概率 例2　（1）甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为(　　) （2）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为(　　) 题型二　条件概率 命题点1　条件概率 例3　（1）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4×100米接力赛跑.记事件A为“甲同学不跑第一棒”，事件B为“乙同学跑第二棒”，则P(B|A)的值为(　　) （2）(多选题)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是(　　) A．P(A)＝ B．P(AB)＝ C．P(B|A)＝ D．＝ 命题点2　条件概率性质的应用 例4　(多选)下列结论中错误的是(　　) A.P(B|A)=P(A|B) B.P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A) C.P(AB)=P(B|A)P(A) D.P(B|A)P(A)≥P(A)+P(B) (2)(多选)一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在从箱子中不放回地取两次球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A，B表示事件“第一次取出白球”“第一次取出黑球”；分别用C，D表示事件“第二次取出的两球都为黑球”“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是(　　) A.P(C|B)= B.P(D|A)= C.P(B)= D.P(BC)= 题型三　全概率公式的应用 例5　(1)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(　　) A.0.155 B.0.175 C.0.016 D.0.096 (2)设5支枪中有2支未校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为　　　　. （选做）概率问题中的递推数列 在概率与统计的问题中，经常会出现概率统计与数列综合考查的问题，一般以压轴题的形式出现.主要有四种类型：(1)an＝pan－1＋q型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型. 典例　(多选)甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的.从一个人传球到另一个人称传球一次.若传球开始时甲持球，记传球n次后球仍回到甲手里的概率为Pn，则下列结论正确的是(　　) A.P2＝ B.P4＝ C. Pn＝(1－Pn－1) D.Pn＝ 议：1、例1（1）如何根据定义判断事件的独立性？四个事件的概率如何求？ 2、例3，例4的详细分析过程 3、通过例5讨论求全概率的过程 展：口答例1（1）（2），例2，板演例5 当堂检测 1、 假设，，且，相互独立，则______；______. 2.某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2，6，9，3名，又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32.今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________． 学科网（北京）股份有限公司 $