二项分布、超几何分布与正态分布 导学案-2026届高三数学一轮复习

二项分布、超几何分布与正态分布（学案） 【学习目标】 理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.. 【导】（熟读课本，填写知识） 1.二项分布 (1)伯努利试验 只包含　　　　可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为　　　　. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=　　　　　　　　，k=0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作　　　　　　. (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)=　　　　，D(X)=　　　　　　. ②若X~B(n，p)，则E(X)=　　　　，D(X)=　　　　　　. 2.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=　　　　　　　　　，k=m，m+1，m+2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 3.正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为　　　　　. (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线　　　　对称；  ②曲线在　　　　处达到峰值；  ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7； ②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5； ③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)=　　　　，D(X)=　　　　. 重要结论和提醒： 1.若X~N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)=μ，D(X)=σ2. 2.“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P=pk(1-p)n-k，有指定的k次发生的概率P=pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n). 3.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 4.超几何分布有时也记为 X~H(n，M，N)，其均值E(X)=，方差D(X)=. 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.(　　) (2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.(　　) (3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.(　　) (4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.(　　) 2.已知随机变量ξ~B(4，p)，若E(ξ)=2，则P(ξ=3)等于(　　) A. B. C. D. 3.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X=1)=　　　　. 4.已知随机变量X~N(μ，σ2)，若P(X<2)=0.2，P(X<3)=0.5，则P(X<4)的值为　　　　　　. 【思】 题型一　二项分布 考向一：二项分布的期望 例1　(2024·大庆模拟)2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为. (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率； (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望. 跟踪训练1　某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动.以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差. 考向二：二项分布的性质 典例2 (2024·河北唐山一模) 某项测试共有8道题，每道题答对得5分，不答或答错得0分.某人答对每道题的概率都是，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X. (1)求此人得分的期望； (2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由. 跟踪训练2 (1)经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则以下说法正确的是 A.X的可能取值为1，2，3，4，5 B.P(X=2)= C.X=3的概率最大 D.X服从超几何分布题型 题型二：　超几何分布 例3　为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 合计 农村 40 城市 60 合计 100 60 160 从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是. 在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望. 跟踪训练3　(2024·聊城模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望. 题型三：　正态分布 例3　(1)(多选)(2024·南京模拟)已知三个密度函数fi(x)=(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示，则(　　) A.μ1=μ2>μ3 B.σ1=σ2<σ3 C.若X~N(1，)，P(X<2)=0.7，则P(0<X<2)=0.4 D.若X~N(μ2，)，Y~N(μ3，)，则存在实数x0，使得P(X<x0)=P(Y<x0) (2)(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 跟踪训练3　(2024·洛阳质检)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为=110.据此估计这20 000名优秀考生数学成绩的标准差s； (2)根据以往经验，可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ和σ可以分别用(1)中的和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y=5X-10，试估计这20 000名优秀考生中总成绩Y∈[600，660]的人数. 另：≈2.4； 若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. 【议】1.核对答案，讨论前面问题中的疑惑； 2.通过例1，讨论总结解决二项分布问题的关键步骤有哪些; 3.通过题型二，讨论超几何分布描述的是什么样的问题，超几何分布的特征有哪些？ 4.哪些问题转化成二项分布问题解决 5.通过例3，解决正态分布问题的三个关键点是什么？ 【展】考点一例1;例2；例3;跟踪3 【评】根据“议”，“展”，精准点评 当堂检测： 甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是 A.若从甲盒中一次性取出2个球，记X表示取出白球的个数，则P(X=1)= B.若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为 C.若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为 D.若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记B：从乙盒中取出的1球为白球，则P(B)= 二项分布、超几何分布与正态分布（学案）答案 落实主干知识 1.(1)两个　n重伯努利试验 (2)pk(1-p)n-k　X~B(n，p) (3)①p　p(1-p)　②np　np(1-p) 2. 3.(1)X~N(μ，σ2)　(2)①x=μ ②x=μ　(4)μ　σ2 自主诊断 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　 2.B　3.　4.0.8 例1　解　(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A， 则P(A)=P()= 设“学生肥胖”为事件B，则 P(B|A)=P(B|)= 由全概率公式可得P(B) =P(B|A)P(A)+P(B|)P() =+= 所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为. (2)由题意可知，X~B且X的可能取值为0，1，2，3，则有 P(X=0)== P(X=1)== P(X=2)== P(X=3)== X 0 1 2 3 P 所以X的分布列为 X的数学期望E(X)=3×=. 跟踪训练1　解　(1)依题意，列出2×2列联表如下： 性别 体育活动 合计 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 男 30 20 50 女 40 10 50 合计 70 30 100 零假设为H0：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关. 因为χ2==≈4.762>3.841=x0.05， 根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. (2)由题意得，50名男生中课间经常进行体育活动的频率为= 所以在本校男生中随机抽取1人为课间经常进行体育活动者的概率为 由题意得X~B 则P(X=k)=k=0，1，2，3，4， 可得P(X=0)== P(X=1)== P(X=2)== P(X=3)== X 0 1 2 3 4 P P(X=4)== X的分布列为 X的数学期望为E(X)=np=4×= X的方差为D(X)=np(1-p)=4×=. 例2　解　(1)设城市学校共有x所， 因为从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是所以= 解得x=80，即城市学校有80所， 经常应用 偶尔应用或者不应用 合计 农村 40 40 80 城市 60 20 80 合计 100 60 160 补全列联表如下： 零假设为H0：智慧课堂的应用与区域无关， χ2===≈10.667>7.879， 所以根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为智慧课堂的应用与区域有关. (2)在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2∶3，所以抽取的样本中有2个是农村学校，3个是城市学校，再从样本中抽取2个，则X的可能取值为0，1，2. P(X=0)== P(X=1)== P(X=2)==. X 0 1 2 P 所以X的分布列为 X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=. 跟踪训练2　解　(1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94. 因为20×25%=5， 所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为=75. (2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分； 分公司B中75分以下的有62分，70分，73分， 所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人. 所以X的所有可能取值为1，2，3. P(X=1)== P(X=2)== P(X=3)== 所以X的分布列为 X的数学期望 E(X)=1×+2×+3×=. 例3　(1)BCD　[根据正态曲线关于x=μ对称，且μ越大曲线越靠近右边，则μ1<μ2=μ3，故A错误； 又σ越小数据越集中，曲线越瘦高，则σ1=σ2<σ3，故B正确； X~N(1)，P(X<2)=0.7， 则P(1<X<2)=0.7-0.5=0.2，所以P(0<X<2)=2×0.2=0.4，故C正确； 若X~N(μ2)，Y~N(μ3)，μ2=μ3，则存在实数x0=μ2=μ3，使P(X<x0)=P(Y<x0)，D正确.] (2)BC　[依题可知=2.1，s2=0.01， 所以Y~N(2.1，0.12)，故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误； 因为X~N(1.8，0.12)， 所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3， 所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7， 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158 7， 所以B正确，A错误.] 跟踪训练3　解　(1)抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2=(80-110)2×0.02+(90-110)2×0.09+(100-110)2×0.22+(110-110)2×0.33+(120-110)2×0.24+(130-110)2×0.08+(140-110)2×0.02=150. 故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150，标准差s==5≈5×2.4=12. (2)由(1)知μ可用=110来估计，σ2可用s2=150来估计. 故X~N(110，150). σ==5≈12. 又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)= ≈=0.135 9， 故P(122≤X≤134)≈0.135 9. 又Y=5X-10， 所以P(600≤Y≤660) =P(600≤5X-10≤660)=P(122≤X≤134)≈0.135 9. 故这20 000名优秀考生中总成绩在[600，660]的人数约为20 000×0.135 9=2 718. 学科网（北京）股份有限公司 $