7.2.1-7.2.2平行线的概念&平行的判定(九大题型)2025-2026学年人教版数学七年级下册

7.2.1-7.2.2平行线的概念平行的判定(九大题型) 1．下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质，逐一判断各选项的正确性，注意细节条件是解题的关键． 【详解】解：A选项：∵平行线定义要求在同一平面内，不相交的两条直线可能不在同一平面， ∴A错误； B选项：∵点B可能不在线段上，如等腰三角形中，但B不是中点， ∴B错误； C选项：∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身， ∴C错误； D选项：∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴D正确． 故选：D． 2．有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线、距离和直线位置关系等概念的正确理解． 对照对顶角、平行线、垂线、两点间距离、直线位置关系的概念，逐一判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； ②过一点不一定有平行线，正确表述需指定过直线外一点，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④两点之间的距离是两点间线段的长度，不是线段本身，错误，不符合题意； ⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有平行和相交，错误，不符合题意． ∴只有③正确，共1个． 故选：A． 3．下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点B为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质，根据平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质分别判断即可． 【详解】解：∵平行线定义要求在同一平面内，不相交的两条直线可能不在同一平面，∴A错误； ∵点B可能不在线段上，∴B错误； ∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，∴C错误； ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴D正确； 故选：D． 4．下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的定义，逐一判断每个选项中的图形是否符合“直线与平行”的条件． 【详解】解：A、是曲线，不是直线，不满足平行线的定义，不符合题意； B、与是两条不相交的直线，符合平行线的定义，符合题意； C、和都是曲线，不是直线，不符合题意； D、与相交且形成直角，是互相垂直的直线，不是平行线，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点平行线的定义，解题关键是准确识别图形中的线是否为直线，以及是否满足“不相交”的条件． 5．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论． 【详解】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意； ②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意； ④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意； ∴ 错误的有①和④，共个． 故选：B． 6．下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线，解题关键是熟练掌握平行线的定义． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，观察各个选项中的图形，进行判断即可． 【详解】解：A、双杠的两根横杠在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； B、电梯扶手在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； C、彩虹是弧形的，并不是直线，不满足平行线是直线的条件，所以不包含平行线，符合题意； D、拉直的电线在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； 故选：C． 7．如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【分析】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【详解】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2）解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 8．如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的定义． 9．观察如图所示的长方体，与棱平行的棱是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形，平行线的判定；解题的关键是理解题意．根据长方体的特征，即可得到与棱平行的棱． 【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有棱、棱、棱， 故选：B． 10．如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可． 【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    11．如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． (1)按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； (2)线段________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查了画平行线，垂线，线段，点到直线的距离，垂线段最短等知识点． （1）根据题意即可画平行线，垂线，线段； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，，，，即为所求； （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并标注相关字母． (1)画直线； (2)过点C画线段，使，且； (3)过点A画直线的垂线段，垂足为点E； (4)点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)垂线段最短 【分析】本题考查了画直线，平行线，垂线，垂线段最短． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据线段的特征画图即可； （3）结合网格，过点A画垂线即可． （4）根据垂线段最短，并结合题干信息即可求解 【详解】（1）解：直线即为所求； （2）解：线段即为所求； （3）解：线段即为所求； （4）点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是垂线段最短 故答案为：垂线段最短． 13．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查画垂线和平行线： （1）找到线段的中点，利用网格特点，过中点作线段的垂线即可； （2）利用网格特点，画垂线即可； （3）利用网格特点，画平行线即可. 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 14．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 15．如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 16．下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则点是的中点 【答案】C 【分析】本题考查平行公理、线段性质和中点定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 选项A需考虑点是否在直线外；选项B混淆了相等角与对顶角的关系；选项C是公理，正确；选项D忽略点是否在线段上． 【详解】解：A、∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但选项A未指定“直线外一点”，∴ A错误； B、∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），∴ B错误； C、∵两点之间所有连线中线段最短，这是几何公理，∴ C正确； D、∵点是中点需满足点在线段上且，但选项D未指定点在线段上，∴ D错误； 故选：C． 17．下列说法中，正确的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平角是一条直线 D．若，则与是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查几何基本概念，包括线段的性质、平行公理、平角的定义和对顶角的性质，熟记相关几何概念是解决问题的关键． 由两点之间线段最短、平行公理、平角定义及对顶角定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、根据两点之间线段最短可知选项说法正确，符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项说法未指定点是否在直线外，选项说法错误，不符合题意； C、平角是由两条射线组成的角，不是一条直线，选项说法错误，不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 18．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 19．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 【答案】 垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 20．a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理， 根据平行公理及推论求解即可． 【详解】解：∵， ∴. 故选：B． 21．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 22．如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【答案】(1)能画1条 (2)见解析；平行 【分析】（1）依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的基本事实，确定过点B画直线a平行线的条数； （2）先按同样方法过点C画直线a的平行线，再利用平行于同一条直线的两条直线互相平行的推论，判断两条线的关系． 【详解】（1）解：如图，直线b即为所求．能画1条． （2）解：如图，直线c即为所求．它与过点B且与直线a平行的直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的基本事实与推论，掌握过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行、平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 23．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（ ），点，分别在和上，且 ，此时张萌判断出 ，则张萌判断出该结论的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 24．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 25．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 26．我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 27．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 28．如图，点A在射线上，点C在射线上，．求证：．请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），（       ） ∴______，（    ） ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 【答案】；同角的补角相等；；等量代换；同位角相等、两直线平行 【分析】本题主要考查了作线段、线段的和差、补角的性质、平行线的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据补角的性质、等量代换、平行线的判定逐步分析即可解答． 【详解】证明：∵（已知），（邻补角的性质） ∴，（同角的补角相等） ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等、两直线平行）． 故答案为：邻补角的性质；；同角的补角相等；；等量代换；同位角相等、两直线平行． 29．按要求解答： (1)如下图，，与的位置关系是什么？请说明理由； (2)一个角的余角比这个角的补角的一半少，求这个角的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、补角与余角的定义以及一元一次方程的应用，掌握同位角相等，两直线平行的判定方法和余角、补角的代数表示是解题的关键． （1）利用同角的补角相等推出同位角相等，再根据同位角相等，两直线平行判定与的位置关系； （2）设这个角的度数为，分别表示出它的余角和补角，根据题目中的数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，， ∴， ． （2）解：设这个角的度数为． 由题意，得， 解得． 故这个角的度数为． 30．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图①的方格纸中过点作直线，使； (2)在图②的方格纸中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 本题考查作图应用与设计，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．（1）取格点，作直线即可． （2）取格点，作射线即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求． （2）解：（答案不唯一）如图②，即为所求． 31．如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 32．如图，，，，则的度数为 时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 33．如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 34．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 35．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 36．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 37．如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 38．如图，点，，分别在，，上，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 39．如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 40．如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴直线，故此选项不合题意； B、，不能得出直线，故此选项符合题意； C、∵，∴直线，故此选项不合题意； D、∵，∴直线，故此选项不合题意； 故选：B． 41．下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、平行线的判定与性质、对顶角等概念，需根据各个概念逐项判断正误即可． 【详解】①∵当时，，∴①错误； ②∵垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（需在同一平面内），∴②错误； ③∵若，，则（平行线的传递性），当b、c不重合时成立，∴③正确； ④∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴④错误； ⑤∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但“过一点”未指定点是否在直线上，∴⑤错误； ⑥∵两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，∴⑥错误； 综上，只有③正确，共1个； 故选A． 42．小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】此题考查了平行线与垂线的关系，注意找到规律：四个一循环，是解此题的关键. 首先根据题意判断与，，，的关系，即可得到规律：四个一循环，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得：， 与的位置关系为平行 故答案为：平行. 43．若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查直线之间的垂直关系，需考虑直线是否在同一平面内． 【详解】解： ，， 当直线在同一平面内时，垂直于同一直线的两直线平行，即， 当直线不在同一平面内时，a与c不一定平行， 因此，与的关系是不确定的． 故选：D． 44．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；据此逐个判断得结论． 【详解】解：A：若，，则，故该说法错误，不符合题意； B：若，，则，故该说法错误，不符合题意； C：若，，则，故该说法错误，不符合题意； D：若，，则，故该说法正确，符合题意， 故选：D． 45．在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴． …… 可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.1-7.2.2平行线的概念&平行的判定(九大题型) 目录 一、新课标要求 1 二、平行线的概念 1 三、平行线的判定方法 1 四、知识点总结 1 五、重难点解析 2 六、视野拓展 2 题型一、平面内两直线位置关系 2 题型二、立体图形中的平行关系 3 题型三、平行作图 4 题型四、平行公理的应用 6 题型五、平行公理推论的应用 7 题型六、判定：同位角相等，两直线平行 8 题型七、判定：内错角相等，两直线平行 10 题型八、判定：同旁内角互补，两直线平行 11 题型九、在同一平面内，同时垂直与同一条直线，两直线平行 12 一、新课标要求 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，七年级学生需要： 1. 理解平行线的概念，掌握平行线的基本性质 2. 掌握平行线的判定方法，并能运用这些方法解决简单的几何问题 3. 通过观察、操作、推理等活动，发展空间观念和几何直观 4. 体会几何知识在现实生活中的应用，培养解决问题的能力 5. 初步形成逻辑推理能力和严谨的数学思维习惯 二、平行线的概念 1. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 平行线的表示：用符号"∥"表示，如直线AB平行于直线CD，记作：AB∥CD。 3. 平行线的基本性质： 性质1：平行公理过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 性质2：传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 若 a∥b 且 b∥c，则 a∥c 三、平行线的判定方法 1. 判定方法1：同位角相等，两直线平行 如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，那么这两条直线平行。 2. 判定方法2：内错角相等，两直线平行 如果两条直线被第三条直线所截，且内错角相等，那么这两条直线平行。 3. 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行 如果两条直线被第三条直线所截，且同旁内角互补，那么这两条直线平行。 若 ∠5 + ∠6 = 180°，则 a∥b 四、知识点总结 1. 核心概念： 平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 平行线的传递性：平行于同一直线的两条直线互相平行 2. 判定方法总结： 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 平行于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一直线的两条直线互相平行（同一平面内） 3. 重要定理与推论： 平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 平行线的判定与性质关系：判定是"由角定线"，性质是"由线定角"。 五、重难点解析 1. 重点内容： 平行线的三种判定方法及其应用 平行线的性质与判定的区别与联系 平行公理及其推论的理解 利用平行线的判定和性质解决简单的几何证明题 2. 难点突破： 判定方法的选择：在复杂图形中，如何选择合适的判定方法证明两直线平行 角度计算：综合运用平行线的性质和判定进行角度计算 证明步骤：几何证明题的逻辑推理和步骤书写规范 实际应用：将平行线知识应用于解决实际问题 六、视野拓展 1. 平行线在现实生活中的应用： 建筑设计：平行线原理应用于建筑结构的稳定性设计 道路规划：平行车道设计提高交通效率 工程测量：利用平行线原理进行精准测量 艺术设计：平行线构成视觉平衡与美感 2. 平行线的数学史： 平行公理是欧几里得《几何原本》中的第五公设，也称为平行公设。在很长一段时间里，数学家们试图证明它可以从其他公理推导出来，但最终发现它是独立的，从而导致了非欧几何的诞生。 3. 思维拓展：非欧几何中的平行线 欧几里得几何：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 双曲几何：过直线外一点，至少存在两条直线与已知直线平行。 题型一、平面内两直线位置关系 1．下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点B为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 5．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型二、立体图形中的平行关系 6．下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 7．如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方中可以找出几对互相垂直的边？ 8．如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 9．观察如图所示的长方体，与棱平行的棱是（    ） A． B． C． D． 10．如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    题型三、平行作图 11．如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． (1)按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； (2)线段________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并标注相关字母． (1)画直线； (2)过点C画线段，使，且； (3)过点A画直线的垂线段，垂足为点E； (4)点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是______． 13．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 14．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 15．如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 16．下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则点是的中点 题型四、平行公理的应用 17．下列说法中，正确的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平角是一条直线 D．若，则与是对顶角 18．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 19．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 20．a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 题型五、平行公理推论的应用 21．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 22．如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 23．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（ ），点，分别在和上，且 ，此时张萌判断出 ，则张萌判断出该结论的理由是 ． 24．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 25．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 题型六、判定：同位角相等，两直线平行 26．我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 27．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 28．如图，点A在射线上，点C在射线上，．求证：．请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），（       ） ∴______，（    ） ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 29．按要求解答： (1)如下图，，与的位置关系是什么？请说明理由； (2)一个角的余角比这个角的补角的一半少，求这个角的度数． 30．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图①的方格纸中过点作直线，使； (2)在图②的方格纸中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，作． 题型七、判定：内错角相等，两直线平行 31．如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 32．如图，，，，则的度数为 时，． 33．如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 34．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型八、判定：同旁内角互补，两直线平行 36．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 37．如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 38．如图，点，，分别在，，上，若，则 ；若，则 ． 39．如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 40．如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 题型九、在同一平面内，同时垂直于同一条直线，两直线平行 41．下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 42．小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为 ． 43．若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 44．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 45．在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $