第四单元 分数的意义和性质讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学五年级下册

第四单元 分数的意义和性质 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、分数的意义 2 二、分数与除法的关系 2 三、真分数和假分数 2 四、分数的基本性质 3 五、约分 3 六、通分 4 七、分数与小数的互化 5 考点讲练 5 考点一：分数的意义 5 考点二：分数与除法的关系 7 考点三：求一个数是另一个数的几分之几 9 考点四：真分数、假分数、带分数的认识 11 考点五：假分数与带分数或整数的互化 13 考点六：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 16 考点七：分数的基本性质 18 考点八：质因数的含义 19 考点九：分解质因数 21 考点十：公因数与最大公因数 24 考点十一：用最大公因数解决问题 26 考点十二：互质数的认识 28 考点十三：约分 30 考点十四：公倍数与最小公倍数 33 考点十五：用最小公倍数解决问题 36 考点十六：同分母分数的大小比较 38 考点十七：同分子分数的大小比较 40 考点十八：通分的认识及应用 42 考点十九：异分母异分子分数大小比较 45 考点二十：分数和小数的互化 49 综合训练 52 知识梳理 一、分数的意义 1.分数的定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 单位“1”：可以是一个物体（如一个苹果）、一个计量单位（如1米），也可以是由多个物体组成的一个整体（如一堆苹果、一个班级的学生）。 例子：把一个蛋糕平均分成4份，每份是这个蛋糕的，3份是这个蛋糕的$ 2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。 特点：一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，就有几个这样的分数单位。 例子：它有5个这样的分数单位。 二、分数与除法的关系 1.关系公式：。 注意：分数是一个数，除法是一种运算，二者意义不同，但结果可以用分数表示。 例子：米。 2.求一个数是另一个数的几分之几：用“一个数÷另一个数”，结果用分数表示。 例子：男生有20人，女生有25人，男生人数是女生人数的。 三、真分数和假分数 1.真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 例子：都小于1。 2.假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于1。 例子： 3.带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。 形式：整数部分+真分数部分，。 4.假分数与带分数（或整数）的互化 假分数化带分数（或整数）：用分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，分母不变；若没有余数，则结果为整数。 例子： 带分数化假分数：整数部分×分母+分子作分子，分母不变。 例子： 四、分数的基本性质 1.性质内容：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 字母表示： 2.性质应用：可用于分数的化简（约分）、通分，或解决“分数大小不变”的问题。 例子：。 五、约分 1.公因数与最大公因数 公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。 最大公因数：公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 找最大公因数的方法： 列举法：列出两个数的所有因数，找出公有的因数，其中最大的就是最大公因数。 例子：找12和18的最大公因数。12的因数：1、2、3、4、6、12；18的因数：1、2、3、6、9、18；公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 分解质因数法：把两个数分解成质因数相乘的形式，公有质因数的乘积就是最大公因数。 例子：12 = 2×2×3，18 = 2×3×3，公有质因数为2和3，最大公因数=2×3=6。 短除法：用两个数公有的质因数依次去除，直到商互质，所有除数的乘积就是最大公因数。 2.约分的定义：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 3.最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数（或既约分数）。 例子：（分子分母公因数有1、2）不是最简分数。 4.约分的步骤： 步骤1：找出分子和分母的最大公因数； 步骤2：用分子和分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分数。 例子： 六、通分 1.公倍数与最小公倍数 公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。 最小公倍数：公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 找最小公倍数的方法： 列举法：列出两个数的倍数，找出公有的倍数，其中最小的就是最小公倍数。 例子：找4和6的最小公倍数。4的倍数：4、8、12、16…；6的倍数：6、12、18…；公倍数有12、24…，最小公倍数是12。 分解质因数法：把两个数分解成质因数相乘的形式，公有质因数与各自独有质因数的乘积就是最小公倍数。 例子：4 = 2×2，6 = 2×3，最小公倍数=2×2×3=12。 短除法：用两个数公有的质因数依次去除，直到商互质，所有除数和商的乘积就是最小公倍数。 2.通分的定义：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 3.通分的步骤： 步骤1：找出几个分数分母的最小公倍数，作为公分母； 步骤2：根据分数的基本性质，把每个分数的分子和分母同时乘一个适当的数，使分母都变成公分母。 例子 4.通分的应用：比较异分母分数的大小（通分后比较分子大小，分子大的分数大）。 例子： 七、分数与小数的互化 1.分数化小数：用分子除以分母，除不尽时按“四舍五入”法保留一定的小数位数（或用循环小数表示）。 有限小数：分子能被分母除尽，如 2.小数化分数 有限小数化分数：看小数位数，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……，能约分的要约成最简分数。 例子： 3.分数与小数大小比较：可将分数化成小数，或小数化成分数后比较。 例子： 考点讲练 考点一：分数的意义 【典例精讲】一根绳子剪成两段，第一段占全长的，第二段正好是米，则（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段同样长 D．无法比较 【答案】B 【分析】把整个绳子当作单位“1”，分成两段后第二段占比＝1－第一段占比，比较两段绳子的占比大小，占比较大即绳子长度更长。 【详解】，即第一段绳子占比小于第二段绳子占比，即第二段绳子更长。 故答案为：B 【变式训练】 虽然图中的涂色部分和每小段的大小、形状都不一样，但是它们都表示把单位“1”( )，所以它们都可以用分数( )来表示。 【答案】 平均分成4份，涂色部分或“？”都表示其中的1份 【分析】一个物体、一个计量单位或者一些物体等都可以看成一个整体。一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫作单位“1”。把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。据此分析解答。 【详解】 虽然图中的涂色部分和每小段的大小、形状都不一样，但是它们都表示把单位“1”平均分成4份，涂色部分或“？”都表示其中的1份，所以它们都可以用分数来表示。 【变式训练】的分数单位是( )，它里面有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位是1。 【答案】 2 1 【分析】根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。因此，这个分数表示把单位“1”平均分成3份，取其中的2份，所以分数单位是，有2个这样的分数单位，1＝，即有3个这样的分数单位，所以再加上1个这样的分数单位是1。 【详解】根据分析，的分数单位是，它里面有2个这样的分数单位，再加上1个这样的分数单位是1。 【变式训练】要从盒子里随意摸一个球，使摸到红球的可能性是，现在盒子里放了2个红球，还要放（    ）个其它颜色的球。 A．2 B．4 C．6 【答案】B 【分析】由题意可知，使摸到红球的可能性是，说明红球的数量是总数量的，把盒子里球的总数量看作单位“1”，把单位“1”平均分成3份，红球的数量占其中的1份，盒子里有2个红球，那么盒子里一共有2×3＝6个球，其它颜色球的数量＝球的总数量－红球的数量，据此解答。 【详解】2×3－2 ＝6－2 ＝4（个） 分析可知，还要放4个其它颜色的球。 故答案为：B 考点二：分数与除法的关系 【典例精讲】把1根3米长的铁丝平均截成5段，每段的长度是( )米，每段占这根铁丝的( )。 【答案】 【分析】铁丝总长度为3米，平均截成5段，每段长度用总长度除以段数，即3÷5；把这根铁丝的总长度看作单位“1”，平均截成5段，求每段占这根铁丝的几分之几，用单位“1”除以总段数，即1÷5。 【详解】3÷5＝（米） 1÷5＝ 把1根3米长的铁丝平均截成5段，每段的长度是米，每段占这根铁丝的。 【变式训练】千克花生能榨千克花生油，1千克花生能榨( )千克花生油；榨1千克花生油需要( )千克花生。 【答案】 【分析】用花生油的重量千克除以使用的花生重量千克，即可求出1千克花生能榨几千克花生油； 用使用的花生重量千克除以能榨花生油的重量千克，即可求出榨1千克花生油需要几千克花生。 【详解】，即1千克花生能榨千克花生油； ，即榨1千克花生油需要千克花生。 【变式训练】某新型养殖基地产量是传统养殖产量的3倍，传统养殖产量是该新型养殖基地产量的( )。 【答案】 【分析】假设出传统养殖产量，则新型养殖基地产量＝传统养殖产量×3，传统养殖产量占该新型养殖基地产量的分率＝传统养殖产量÷新型养殖基地产量，据此解答。 【详解】假设传统养殖产量为a，则新型养殖基地产量为3a。 a÷3a＝ 所以，传统养殖产量是该新型养殖基地产量的。 【变式训练】把一根3米长的铁丝平均剪成8段，每段长( )米，每段占全长的( )。 【答案】 /0.375 【分析】铁丝长度÷段数＝每段长度；将铁丝长度看作单位“1”，1÷段数＝每段占全长的几分之几。据此解答。 【详解】（米） 所以把一根3米长的铁丝平均剪成8段，每段长米，每段占全长的。 考点三：求一个数是另一个数的几分之几 【典例精讲】小明用5克糖和水泡了一杯90克的糖水，后来觉得不够甜，又加了2克糖。现在糖的质量占糖水的几分之几？ 【答案】 【分析】将原来的5克糖加上2克，求出现在糖的质量。将90克的糖水加上2克糖，求出现在糖水的质量。将现在糖的质量除以糖水的质量，求出现在糖的质量占糖水的几分之几。 【详解】（5＋2）÷（90＋2） ＝7÷92 ＝ 答：现在糖的质量占糖水的。 【变式训练】梁山到北京大约560千米，小丽一家早晨8：00出发，爸爸以平均速度80千米/时开车行驶，中午12：00时，已行驶时间占需行驶总时间的几分之几？ 【答案】 【分析】出发时间是早晨8：00，到中午12：00，相差12：00－8：00＝4小时，即小丽一家已行驶4小时。梁山到北京的路程约560千米，平均时速为80千米/时，根据：时间＝路程÷速度，从梁山到北京的需行驶总时间为：560÷80＝7小时。计算已行驶时间占需行驶总时间的几分之几，用4除以7即可解答。 【详解】12：00－8：00＝4（小时） 560÷80＝7（小时） 4÷7＝ 答：已行驶时间占需行驶总时间的。 【变式训练】．五（1）班有男生17人，比女生的人数少6人。那么，男生的人数是女生人数的几分之几？是全班人数的几分之几？ 【答案】 男生的人数是女生人数的，是全班人数的。 【分析】用男生人数加6可得女生人数，再把男女生人数相加可得全班人数，根据求一个数是另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数计算即可。 【详解】（人） （人） 答：男生的人数是女生人数的，是全班人数的。 【变式训练】在2025年哈尔滨亚洲冬季奥运会上，中国体育代表团共获得85枚奖牌，位居奖牌榜首位，其中金牌有32枚。金牌数占奖牌总数的几分之几？ 【答案】 【分析】已知中国体育代表团共获得85枚奖牌，其中金牌有32枚，要求金牌数占奖牌总数的几分之几，根据分数与除法的关系，用金牌数量32除以奖牌总数量85，结果用分数表示即可。 【详解】 答：金牌数占奖牌总数的。 考点四：真分数、假分数、带分数的认识 【典例精讲】一个最简真分数，分子与分母的乘积是28，这样的真分数有( )个。 【答案】2 【分析】分子与分母只有公因数1的分数为最简分数。一个最简真分数，分子与分母的乘积是28，且分子小于分母，因此列出乘积是28的因数组合，再按要求组合即可。 【详解】由于28＝4×7＝1×28， 所以这个最简真分数可能是或。 因此，一个最简真分数，分子与分母的乘积是28，这样的真分数有2个。 【变式训练】的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，至少再加上( )个这样的分数单位就是一个假分数。 【答案】 5 3 【分析】分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，就有几个这样的分数单位；分子大于或等于分母的分数叫做假分数；用分母减去分子，就是至少再加上几个这样的分数单位就是一个假分数，据此解答。 【详解】它的分数单位是； 有5个这样的分数单位。 8－5＝3，至少再加上3个这样的分数单位就是一个假分数。 它的分数单位是，它有5个这样的分数单位，至少再加上3个这样的分数单位就是一个假分数。 【变式训练】a是一个不为0的整数，是假分数，也是假分数，a的取值有（    ）种可能。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】假分数是指分子大于或者等于分母的分数。因为是假分数，所以a大于等于9（a是不为0的整数）。因为是假分数，所以a小于等于11（a是不为0的整数）。即a需要满足9≤a≤11，且a是不为0的整数，所以a的取值为9、10、11，共3种可能。 【详解】是假分数，所以9≤a（a是不为0的整数）； 是假分数，所以a≤11（a是不为0的整数）； 即a需要满足9≤a≤11，所以a的取值为9、10、11，共3种可能。 故答案为：B 【变式训练】在（a是非0自然数）中，当a( )9时，它是真分数，当a( )9时，它是假分数。它的分数单位是( )，当a＝( )时，它等于最小的合数。 【答案】 ＜/小于 ≥/大于等于 36 【分析】真分数的分子小于分母，假分数的分子大于或等于分母，最小的合数是4，把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的叫分数单位。由此解答。 【详解】因为最小的合数是4。 在（a是非0自然数）中，当时，它是真分数，时，它是假分数。分数单位是，当时，它等于最小的合数。 考点五：假分数与带分数或整数的互化 【典例精讲】最小的合数与两位数中最小的质数组成的假分数是( )，化成带分数是( )。 【答案】 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，最小的合数是4，两位数中最小的质数是11，再根据“分子比分母大或分子和分母相等的分数叫作假分数”写出假分数，最后用假分数的分子除以分母，所得的商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变，据此解答。 【详解】分析可知，最小的合数是4，两位数中最小的质数是11，组成的假分数是。 11÷4＝2……3 所以，化成带分数是。 【变式训练】把下面的假分数化成整数或带分数，或把带分数化成假分数。                                                                  【答案】；；6；； 2；；；； 【分析】把假分数化成带分数的方法：用分子除以分母，得到的商和余数，商是带分数的整数部分，余数是带分数的分子，分母不变。当假分数的分子为分母的倍数时，能化成整数。 把带分数化成假分数的方法：用“带分数的整数部分×分母＋分子”得到假分数的分子，分母不变。 【详解】，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以。 【变式训练】的分数单位是( )，它由( )个这样的分数单位组成，化成带分数是( )，再加上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 【答案】 37 11 【分析】把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，表示其中一份的数叫作分数单位，假分数的分母是几，分数单位就是几分之一，假分数的分子是几，分数中就含有几个这样的分数单位；假分数化成整数或带分数时，假分数的分子除以分母，能整除的，所得的商就是整数；不能整除时，所得的商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变；最后根据最小的质数是2求出需要添加分数单位的个数，据此解答。 【详解】分析可知，的分数单位是，它由37个这样的分数单位组成。 37÷24＝1……13 最小的质数为2，2＝。 48－37＝11（个） 所以，化成带分数是，再加上11个这样的分数单位就是最小的质数。 【变式训练】把下面的假分数化成整数或带分数。                            【答案】4；；5；3；14；6 【分析】假分数化整数或带分数的方法是用分子除以分母，商为整数部分，余数作分子，分母不变。 【详解】 考点六：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 【典例精讲】如果是真分数，是假分数（x表示同一个数），那么x为( )。 【答案】7 【分析】在分数中，分子小于分母的分数为真分数；分子大于或等于分母的分数为假分数；据此解答。 【详解】根据真分数和假分数的定义，＜1，可得＜8； ≥1，可得≥7； 所以7≤＜8；满足条件。 【点睛】根据真分数与假分数的意义及所给分数的分母确定分子的取值是完成此类问题的关键。 【变式训练】分数，当( )时，它是这个分数的分数单位；当( )时，它是最大的真分数；当( )时，它是最小的假分数；当( )时，它的分数值是0。 【答案】 1 6 7 0 【分析】根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。分子小于分母的分数是真分数，分子大于或等于分母的分数是假分数。根据分数和除法的关系，如果分子为0，则分数值为0；据此解答。 【详解】分数，当时，它是这个分数的分数单位；当时，它是最大的真分数；当时，它是最小的假分数；当时，它的分数值是0。 【点睛】本题主要考查了分数单位、假分数、真分数的认识以及分数和除法的关系。 【变式训练】a＝( )时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是( )（填出所有可能）。 【答案】 8 1、2、4、8 【分析】分子等于或大于分母的分数就是假分数；若能化成整数，则b是8的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： a＝8时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是1、2、4、8。 【点睛】本题考查假分数和假分数化整数，明确假分数和假分数化整数的方法是解题的关键。 【变式训练】用数字卡片1、2、7、5组成的带分数中，最大的带分数和最小的带分数分别是多少？（每个数字都要用到，且每个数值只能用一次） 【答案】 ； 【分析】由整数和真分数合成的数叫做带分数，要组成的带分数最大，整数部分、分数部分都要最大，即整数部分是75，分数部分是；要组成的带分数最小，整数部分要最小，即整数部分是1，分数部分是；据此解答即可。 【详解】根据分析可知， 答：用数字卡片1、2、7、5组成的带分数中，最大的带分数是：，最小的带分数是。 考点七：分数的基本性质 【典例精讲】把的分子加上10，要使分数的大小不变，分母应变成( )。 【答案】30 【分析】原分数的分子是2，分子加上10后，新的分子为2＋10＝12。12÷2＝6，即分子乘6。根据分数的基本性质，分子乘6，分母也应乘6，所以用5乘6计算即可。 【详解】的分子是2，分母是5； 2＋10＝12 12÷2＝6 5×6＝30 要使分数的大小不变，分母应变成30。 【变式训练】的分母增加20，要使分数大小不变，分子应扩大到原来的（    ）倍。 A．4 B．5 C．10 D．15 【答案】B 【分析】的分母5增加20后变为5＋20＝25，25÷5＝5，即分母乘5，所以分母扩大到原来的5倍，根据分数的基本性质，因此分子也应扩大到原来的5倍。 【详解】5＋20＝25 25÷5＝5 所以分子应扩大到原来的5倍。 故答案为：B 【变式训练】的分母加上24，要使分数的大小不变，分子应该加上( )。 【答案】15 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此解答。 【详解】的分母加上24，即8＋24＝32，32÷8＝4，相当于分子乘4，即5×4＝20，20－5＝15。 所以要使分数的大小不变，分子应该加上15。 【变式训练】的分子增加9，要使分数的大小不变，它的分母应该增加( )。 【答案】15 【分析】分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变，先求出分子增加9相当于分子乘几，分母乘相同的数求出新的分母，最后求出新分母与原来分母的差，据此解答。 【详解】（3＋9）÷3×5－5 ＝12÷3×5－5 ＝4×5－5 ＝20－5 ＝15 所以，它的分母应该增加15。 考点八：质因数的含义 【典例精讲】1、3、7都是21的（    ） A．质因数 B．公因数 C．奇数 D．因数 【答案】D 【分析】1既不是质数也不是合数，所以排除了A是质因数的答案； 公因数是两个以上的数才有公因数，一个数没有公因数，排除了B是公因数的答案； 在数学上没有几个数叫做一个数的奇数的说法，排除了C答案； 根据因数的意义，1，3，7都是21的因数，据此解答。 【详解】A．1既不是质数也不是合数，所以1不是21的质因数； B．21是一个数，所以不能说1、3、7都是21的公因数； C．在数学上没有几个数叫做一个数的奇数的说法； D．1，3，7都是21的因数； 故答案为：D。 【点睛】本题主要考查质因数、因数、公因数、奇数的意义。 【变式训练】1和5都是20的（ ） A．因数 B．质因数 C．公因数 【答案】A 【详解】试题分析：根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可． 解：因为20的因数有1和5，而1既不是质数也不是合数， 所以1和5都是20的因数，而不是质因数． 故选A． 【点评】此题考查的是因数的意义，应根据其意义进行解答． 【变式训练】甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7，它们的最大公约数的质因数里应该（    ） A．有五个7 B．没有7 C．不能确定 【答案】B 【分析】两个数的最大公约数是两个数共有的全部质因数的积，甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7，则他们的最大公约数中没有质因数7。据此回答即可。 【详解】根据已知，甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7，可知甲数和乙数没有公约数7，故它们的最大公约数的质因数里没有7。 故答案为：B。 【点睛】本题考查了质因数的概念，关键要明白最大公因数的定义。 【变式训练】写出几个连续的自然数，使它们的积是15120。 【答案】5，6，7，8，9 【分析】对15120进行质因数分解，得到：15120＝2×2×2×2×3×3×3×5×7，为了得到连续的自然数，将质因数进行适当的组合。由于分解结果中包含5和7，这意味着连续的自然数至少需要覆盖5到7的范围。接下来，将其他因数进行组合，使其尽可能接近连续自然数的形式。6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，这样就可以得到几个连续的自然数分别是5，6，7，8，9，据此解答。 【详解】15120＝2×2×2×2×3×3×3×5×7 6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3 15120＝5×6×7×8×9 因此这几个连续的自然数分别是5，6，7，8，9。 考点九：分解质因数 【典例精讲】用短除法把下面各数分解质因数。 56        81 【答案】 56＝2×2×2×7；81＝3×3×3×3 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到。如4＝2×2，15＝3×5。其中每个质数都是这个合数的因数，叫这个合数的质因数，这个求质因数的过程叫作分解质因数。据此解答。 【详解】           56＝2×2×2×7；81＝3×3×3×3 【变式训练】将14，30，35，75这四个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。你知道怎样分组吗？请写出分组方法。 【答案】第一组数：14，75。 第二组数：30，35。 【分析】乘积相等的两组数，其质因数的种类和数量必须完全相同，因为乘积的本质是质因数的连乘。 分解质因数：将每个数拆为质数相乘的形式，明确所有质因数的构成； 统计质因数总量：计算所有数包含的每种质因数的个数，确保能平均分成两份； 匹配质因数到两组：根据质因数的数量，将数分配到两组，使每组的质因数种类、数量与总量的一半一致。 【详解】分解质因数：，，，； 通过上述可知，一共有10个质因数，且除了5以外，其它质因数都是成对出现，5出现了4个，所以一组应该有2个5，所以每组需含2、3、5、5、7； 分组：一组：14（含2、7），75（含3、5、5）； 另一组：30（含2、3、5），35（含5、7）。 14×75＝1050；30×35＝1050。 【点睛】解决“数分组使乘积相等”问题的核心技巧是“质因数均分法”：先分解所有数的质因数，明确质因数的“库存”；按“每种质因数数量均分”的原则，将数分配到两组——只要两组质因数完全一致，乘积必然相等。 【变式训练】高新二小利用假期修缮校舍。给一间长80分米，宽55分米的教室内铺同样大小的正方形地砖，铺的时候地砖要完整而没有剩余，地砖边长最大是几分米？ 【答案】5分米 【分析】根据题意，给长80分米，宽55分米的教室地面铺正方形地砖，地砖要完整而没有剩余，则地砖的边长是80和55的公因数；求地砖的最大边长，就是求80和55的最大公因数；先把80和55分解质因数，然后把它们的公有质因数的连乘，积就是这两个数的最大公因数，据此解答。 【详解】80＝2×2×2×2×5 55＝5×11 80和55的最大公因数是5； 即地砖边长最大是5分米。 答：地砖边长最大是5分米。 【变式训练】一张长方体纸板，长1.2米，宽9分米，把它剪成同样的小正方形，要求边长最大，无剩余纸片，至少可以剪多少个小正方形？ 【答案】12个 【分析】把一张长方形纸板剪成同样的小正方形且没有剩余，说明小正方形的边长是长、宽的公因数。要求边长最大，就是求长、宽的最大公因数。用分解质因数的方法求出长、宽的最大公因数，再分别求出长、宽各可以剪几个，最后相乘就是至少可以剪的个数。注意单位的换算：1米＝10分米。 【详解】1.2米＝12分米 12＝2×2×3 9＝3×3 12和9的最大公因数是3。 即剪成小正方形的边长最大是3分米。 12÷3＝4（个） 9÷3＝3（个）         一共：4×3＝12（个） 答：至少可以剪12个小正方形。 考点十：公因数与最大公因数 【典例精讲】下列（    ）的最大公因数是4。 A．1和4 B．2和4 C．4和8 D．6和24 【答案】C 【分析】如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是两个数中的较小数，据此解答。 【详解】A．1和4是互质数，所以1和4的最大公因数是1； B．4÷2＝2，4是2的倍数，所以2和4的最大公因数是2； C．8÷4＝2，8是4的倍数，所以4和8的最大公因数是4； D．24÷6＝4，24是6的倍数，所以6和24的最大公因数是6。 故答案为：C 【变式训练】找出各分数分子和分母的最大公因数。 ( )       ( )      ( )       ( )   【答案】 1 8 15 16 【分析】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数；两个数互质，则最大公因数是1。 【详解】因为5和9互质，所以5和9的最大公因数是1； 因为，，所以16和24的最大公因数是8； 因为，，，所以30和45的最大公因数是15； 因为，64是16的倍数，所以16和64的最大公因数是16。 【变式训练】下面算式中，m、n均是不为0的自然数，m、n一定为互质数的是（    ）。 A．m＋n＝8 B．m－n＝1 C．m×n＝8 D．m÷n＝3 【答案】B 【分析】公因数只有1的两个非零自然数是互质数。相邻的两个自然数的公因数只有1。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A．m＋n＝8，当m＝6，n＝2时，6和2不是互质数，该选项不符合要求。 B．m－n＝1，可知m和n是相邻的两个自然数，所以m和n一定是互质数，该选项符合要求。 C．m×n＝8，当m＝2，n＝4时，2和4不是互质数，该选项不符合要求。 D．m÷n＝3，当m＝15，n＝5时，15和5不是互质数，该选项不符合要求。 故答案为：B 【变式训练】已知A＝3×3×5×7，B＝2×3×5×11，A和B的最大公因数是（    ）。 A．3 B．5 C．15 D．30 【答案】C 【分析】根据最大公因数的定义，找出A和B公有的质因数，再将这些公有的质因数相乘，得到最大公因数。A＝3×3×5×7，其质因数为3、3、5、7；B＝2×3×5×11，其质因数为2、3、5、11。A和B公有的质因数是3和5。公有的质因数相乘，可得最大公因数为3×5＝15。 【详解】A和B公有的质因数是3和5。 3×5＝15 A和B的最大公因数是15。 故答案为：C 考点十一：用最大公因数解决问题 【典例精讲】动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【答案】 24只 【分析】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 【详解】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 【点睛】先根据已知条件求出实际可平均分的猫粮袋数和鱼干条数，再通过求这两个数的最大公因数确定小猫的最多数量。 【变式训练】把一张长60cm、宽48cm的长方形纸剪成大小相等的正方形，且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？可以剪多少个这样的正方形？ 【答案】（1）12厘米 （2）20个 【分析】 （1）要把长方形纸剪成大小相等且没有剩余的正方形，正方形的边长必须是60和48的公因数，求最长边长就是求60和48的最大公因数. （2）用长方形的长和宽分别除以最大公因数，再将所得的商相乘，即可求出可以剪多少个这样的正方形。 【详解】（1）60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 60和48的最大公因数是12。 答：正方形的边长最长是12厘米。 （2） （个） 答：可以剪20个这样的正方形。 【变式训练】刘老师把49个苹果和29个梨平均分给班上的每位小朋友，结果苹果多出4个，梨少了1个。这个班最多有多少位小朋友？ 【答案】15位 【分析】根据题意可知：如果苹果有（个），梨有（个），那么正好平均分完，求这个班最多有几位小朋友，即求45和30的最大公因数，把45和30进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数。由此解答即可。 【详解】（个） （个） 所以45和30的最大公因数是，即最多有15位小朋友。 答：这个班最多有15位小朋友。 【点睛】本题考查学生解决稍复杂的应用题的能力，本题中水果不能平均分，先转化成平均分，进一步转化成求两个数的最大公因数，从而使问题得以解决。 【变式训练】小亮家储藏室的长方形地面长48分米，宽36分米，如果用一种边长是整分米数的正方形地砖将储藏室铺满（用的地砖必须都是整块的），至少需要多少块地砖？ 【答案】12块 【分析】由题意可知，正方形地砖的边长同时是长方形地面长和宽的因数，需要地砖的块数最少时正方形地砖的边长最大，求出48和36的最大公因数就是正方形地砖的最大边长，“”“”，需要地砖的块数＝长方形的面积÷正方形的面积，据此解答。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数：2×2×3＝12 （48×36）÷（12×12） ＝1728÷144 ＝12（块） 答：至少需要12块地砖。 考点十二：互质数的认识 【典例精讲】在10的所有因数中，互质的数共有( )对。 【答案】4 【分析】互质是指两个数的公因数只有1。先找出10的所有因数，再列出所有的数对，判断每对数是否互质，最后统计互质数对的数量即可。 【详解】10的因数有1、2、5、10。 从四个因数中任取2个数，可以组成的数对有1和2，1和5，1和10，2和5，2和10，5和10，共6对。 1和2的公因数只有1，互质； 1和5的公因数只有1，互质； 1和10的公因数只有1，互质； 2和5的公因数只有1，互质； 2和10的公因数有1、2，不互质； 5和10的公因数有1、5，不互质。 因此，在10的所有因数中，互质的数共有4对。 【变式训练】下面四组数中，公因数只有1，又都是合数的是（    ）。 A．6和7 B．4和9 C．9和11 D．8和10 【答案】B 【分析】合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数。公因数只有1的情况是两个数是互质数。据此分析各选项，进而得出正确答案。 【详解】A．6÷2＝3，6是合数，但7是质数（只能被1和7整除），不满足“都是合数”，所以选项A错误。 B．4÷2＝2，4是合数，9÷3＝3，9是合数；且4和9的公因数只有1，满足条件，所以选项B正确。 C．9÷3＝3，9是合数，但11是质数（只能被1和11整除），不满足“都是合数”，所以选项C错误。 D．8÷2＝4，10÷2＝5，8和10都是合数，但它们的公因数有1和2，不满足“公因数只有1”，所以选项D错误。 所以公因数只有1，又都是合数的是选项B中的4和9。 故答案为：B 【变式训练】两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公因数是( )。 【答案】1 【分析】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；两个连续的自然数是互质数，这两个数的最大公因数是1，据此解答。 【详解】根据分析可知，两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公因数是1。 【变式训练】下面各组数，不是互质数的是（    ）。 A．121和11 B．15和16 C．1和28 D．13和27 【答案】A 【解析】公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。据此逐项分析即可。 【详解】A. 121和11，121是11的倍数，不是互质数； B． 15和16，只有公因数1，是互质数；     C. 1和28只有公因数1，是互质数；     D. 13和27只有公因数1，是互质数； 故答案为：A 【点睛】理解质因数的含义是解题关键。认真分析即可。 考点十三：约分 【典例精讲】把一根3米长的铁丝平均剪成6段，每段长( )米，是这根铁丝的( )。 【答案】 /0.5 【分析】由题意可知，每段铁丝的长度＝铁丝的总长度÷平均分成的段数，把这根铁丝的总长度看作单位“1”，每段铁丝占总长度的分率＝1÷平均分成的段数，据此解答。 【详解】3÷6＝（米） 1÷6＝ 所以，每段长米，是这根铁丝的。 【变式训练】新新书店开展“买三送一”活动，每本故事书18元。小明买12本故事书，实际需要支付（    ）元，相当于原价的。 【答案】162； 【分析】“买三送一”表示每4本为一个组合，实际只需支付3本的费用。 （1）先计算12本里有多少个这样的组合：12 （3＋1） ＝ 3（个）； （2）再计算实际需要付钱的本数：每个组合需要付钱买3本，3个组合需要购买的数量为33 ＝ 9（本）； （3）计算实际支付的金额：已知每本故事书18元，那么9本的总价为：918 ＝ 162（元）； （4）计算相当于原价的几分之几：先算出12本按原价的总费用为1218 ＝ 216（元），再用实际支付金额除以原价总费用，得到比例： 【详解】12 （3＋1） ＝ 3（个） 33 ＝ 9（本） 918 ＝ 162（元） 1218 ＝ 216（元） 因此，新新书店开展“买三送一”活动，每本故事书18元。小明买12本故事书，实际需要支付162元，相当于原价的。 【点睛】这道题核心难点是对促销规则的理解，要抓住“买三送一”的概念，容易直接算12本原价，而没意识到要按“4本一组（买3送1）”算实际要付钱的本数。 【变式训练】的分子加上一个数，分母减去同一个数，所得的新分数约分后，新分数约分之前是( )。 【答案】 【分析】根据题意，分子加上一个数，分母减去同一个数，所以分子、分母的和不变，还是13＋53＝66；又因为“新分数约分后”可设新分数的分子为3份，分母为8份，总份数为3＋8＝11份，用和÷总份数即为一份量，用一份量×3即为新分数约分之前的分子，用一份量×8即为新分数约分之前的分母。据此解答。 【详解】（13＋53）÷（3＋8） ＝66÷11 ＝6 新分数的分子为： 6×3＝18 新分数的分母为： 6×8＝48 所以新分数约分之前是。 【点睛】解题的关键是分析出分子、分母的和不变，进而根据新分数约分后，求出新分数的分子和分母。 【变式训练】将分子相同的三个最简假分数化成带分数后，分别是，，其中是不超过10的自然数，则（2a＋b）÷c＝( )。 【答案】4.75// 【分析】带分数化假分数，分母不变，用分数部分的分母作分母，用分母和整数相乘的积再加上分数的的分子的和作为新分子。由此可知3a＋2＝4b＋3＝5c＋3，所以原分子比3和4的公倍数数小1，比4和5的公倍数大3，再根据是不超过10的自然数，确定这个分子，进而确定a、b、c的值，代入（2a＋b）÷c，计算即可。 【详解】因为将分子相同的三个最简假分数化成带分数后，分别是，，，因此3a＋2＝4b＋3＝5c＋3。 3×4＝12、4×5＝20 原分子比12的倍数小1，即可能是11，23，35…，比20的倍数大3，即可能是23，43，…， 又因为a，b，c是不超过10的自然数，所以原来的分子只能是23。 a＝（23－2）÷3 ＝21÷3 ＝7 b＝（23－3）÷4 ＝20÷4 ＝5 c＝（23－3）÷5 ＝20÷5 ＝4 （2a＋b）÷c ＝（2×7＋5）÷4 ＝（14＋5）÷4 ＝19÷4 ＝4.75 （2a＋b）÷c＝4.75 【点睛】关键是掌握并灵活运用假分数和带分数的互化方法。 考点十四：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】16和24的公因数有( )，最大公因数是( )。50以内，6和12的公倍数有( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1，2，4，8 8 12，24，36，48 12 【分析】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；先用短除法求出16和24的最大公因数，再求出最大公因数的因数就是16和24的公因数；如果两个数是倍数关系，那么它们的最小公倍数是两个数中的较大数，先求出6和12的最小公倍数，再求出50以内最小公倍数的倍数就是6和12的公倍数，据此解答。 【详解】 16和24的最大公因数：2×2×2＝8。 8÷1＝8 8÷2＝4 16和24的公因数：1，2，4，8。 6和12是倍数关系，6和12的最小公倍数是12。 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 50以内，6和12的公倍数有12，24，36，48。 所以，16和24的公因数有1，2，4，8，最大公因数是8。50以内，6和12的公倍数有12，24，36，48，最小公倍数是12。 【变式训练】在1—200的自然数中，如果一个数能被2或7整除，就称这个数是“双七数”，那么“双七数”共有（    ）个。 A．112 B．114 C．120 D．128 【答案】B 【分析】先求出在1—200的自然数中能被2整除的自然数的个数，即200÷2＝100（个），再求出在1—200的自然数中能被7整除的自然数的个数（除不尽时用“去尾法”取整数），即200÷7≈28（个），2和7的最小公倍数是2×7＝14，在1—200的自然数中能同时被2和7整除的自然数的个数（除不尽时用“去尾法”取整数）是200÷14≈14（个），根据容斥原理，“双七数”的个数＝能被2整除的自然数的个数＋能被7整除的自然数的个数－能同时被2和7整除的自然数的个数，据此解答。 【详解】在1—200的自然数中能被2整除的自然数的个数：200÷2＝100（个） 在1—200的自然数中能被7整除的自然数的个数：200÷7≈28（个） 2和7的最小公倍数是2×7＝14。 在1—200的自然数中能同时被2和7整除的自然数的个数：200÷14≈14（个） 在1—200的自然数中“双七数”的个数：100＋28－14 ＝128－14 ＝114（个） 所以，“双七数”共有114个。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查容斥原理的应用，分析题意求出在1—200的自然数中2的倍数的个数、7的倍数的个数、2和7的倍数的个数是解答题目的关键。 【变式训练】18和30的最大公因数是( )，24与36的最小公倍数是( )。 【答案】 6 72 【分析】解答这道题需明确：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫最大公因数；几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。可以用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数：将短除法中所有的除数乘起来的积就是两个数的最大公因数，将短除法中所有的除数和商乘起来的积就是两个数的最小公倍数。 【详解】根据分析： 18和30的最大公因数 ，所以18和30的最大公因数是6。 24与36的最小公倍数 ，24与36的最小公倍数是72。 综上，18和30的最大公因数是6，24与36的最小公倍数是72。 【变式训练】两个非零自然数a和b，如果a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )；如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 a b ab 1 【分析】两个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中，最大的一个，叫做它们的最大公因数； 两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中，最小的一个，叫做它们的最小公倍数； 两个非零的自然数，如果它们是倍数关系，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公因数。如果它们是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积，它们的最大公因数是1。 【详解】a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是a，最大公因数是b；a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是ab，最大公因数是1。 考点十五：用最小公倍数解决问题 【典例精讲】一次素质拓展训练活动中，某班级分组做训练，不管是3人一组，还是5人一组，都剩余2人，如果这个班级人数在40～50人，这个班级可能有( )人。 【答案】47 【分析】因为3和5互质，互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积，所以3和5的最小公倍数为3×5＝15；那么3和5的公倍数就是15的倍数，如15×1＝15、15×2＝30、15×3＝45、15×4＝60……已知不管是3人一组，还是5人一组，都剩余2人，说明班级人数比3和5的公倍数多2，又因为班级人数在40～50人之间，在3和5的公倍数中，45在这个范围内（15×3＝45），那么班级人数为45＋2＝47人。据此解答。 【详解】3×5＝15 15×3＋2 ＝45＋2 ＝47（人） 所以这个班级可能有47人。 【变式训练】我国有着在端午节赛龙舟纪念爱国诗人屈原的习俗。某班一共有30多名学生报名做龙舟比赛的志愿者，这些学生无论是4人一组还是6人一组，都正好分完，该班可能有（    ）名学生报名做志愿者。 A．30 B．36 C．38 D．39 【答案】B 【分析】根据题意学生人数是4和6的公倍数。先求4和6的最小公倍数为12，再在30-40之间寻找12的倍数，只有36符合条件。 【详解】4和6的最小公倍数是12； 12的倍数：12， 24， 36， 48… 因为一共有30多名学生，则该班可能有36名学生报名做志愿者。 故答案为：B 【变式训练】城市公园是承载市民休闲活动的重要场所。周末，幸福小区居民到公园跳广场舞，有2人领舞，其他参加跳广场舞的居民无论排成每行6人还是每行8人，都刚好是整行。至少有多少人在跳广场舞？ 【答案】26人 【分析】有2人领舞，其他参加跳广场舞的居民无论排成每行6人还是每行8人，都刚好是整行，说明总人数至少比6和8的最小公倍数多2，求出6和8的最小公倍数，加2即可。全部公有的质因数和各自独有的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】6＝2×3、8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24＋2＝26（人） 答：至少有26人在跳广场舞。 【变式训练】“六一”儿童节就要到了，幼儿园邀请了70多位家长到学校参加亲子游戏，家长可以分为6人一组做游戏，也可以分为4人一组做游戏，都正好分完。学校邀请了多少位家长？ 【答案】72位 【分析】家长人数是70多，且能同时被6和4整除。先求6和4的最小公倍数，再找出70至80之间的公倍数即可。 【详解】6＝2×3 4＝2×2 6和4的最小公倍数是2×2×3＝12 12的倍数在70和80之间的数为：12×6＝72；72位家长。 答：学校邀请了72位家长。 考点十六：同分母分数的大小比较 【典例精讲】写出所有大于小于，且分母是14的最简分数有( )。 【答案】 ， 【分析】首先将化成分母为14的分数，即，所以需要找出大于小于且分母为14的分数，即分子大于2且小于9的整数。然后筛选出分子与14互质（最大公因数为1）的分数，即分子不能被2或7整除，得到分子3和5，对应分数为和。 【详解】，大于小于，且分母为14的分数，分子可能为3、4、5、6、7、8。 分母14的质因数为2和7，因此分子与14互质时分数为最简分数，即分子不能被2或7整除。 因此，所有满足条件的分数为和。 【变式训练】大于小于的分数有3个。( ) 【答案】× 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变，据此先找出和之间的分数，再根据分数基本性质，找出和相等的分数，和相等的分数，再找出它们之间的分数，即可判断解答。 【详解】和之间的分数有、、，共3个。 ；；和之间的分数有：、、、、、、，共7个。 ＝＝＝…；＝＝＝…；所以大于小于它们之间的分数有无数个。 大于小于的分数有无数个。 原题干说法错误。 故答案为：× 【变式训练】、1、、中，最小的数是 。 【答案】 【分析】比较分数大小时，可将所有数统一为分母相同的分数，再比较分子大小。题目中的数包含假分数、整数、带分数，需先将整数1转化为，带分数转化为，再比较分子即可。 【详解】1＝ ＝ 因为5＜6＜7＜11，所以＜＜＜，即＜1＜＜ 所以最小的数是。 【变式训练】在括号里填上“”“”或“”。 ( )        ( )        ( )        8( ) 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＞ 【分析】同分母分数比较大小，分子大的分数就大；同分子分数比较大小，分母小的分数反而大；异分母分数比较大小，用两个分数分母的最小公倍数作公分母，然后根据分数的基本性质，把异分母分数分别化成以公分母为分母的分数，再根据同分母分数大小的比较方法，比较大小。带分数与假分数比较大小，先把带分数化为假分数，再比较大小。真分数与假分数比较大小，真分数小于假分数。分数与整数比较大小，先把整数转化为与分数同分母的假分数，再根据分数比较大小的方法比较大小。据此解答。 【详解】＜ 因为，，所以 ＜ ＞ ＜ 8＞ 考点十七：同分子分数的大小比较 【典例精讲】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )   ( )1   7÷3( )   ( ) 【答案】 ＝ ＞ ＝ ＜ 【分析】（1）先把化成假分数，再与比较大小； 把带分数化成假分数的方法：用“带分数的整数部分×分母＋分子”得到假分数的分子，分母不变。 （2）由一个整数（0除外）和一个真分数合成的数叫做带分数；带分数＞1。 （3）根据分数与除法的关系，先将7÷3改写成分数，再与比较大小。 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 （4）分数大小的比较：分子相同时，分母越大，分数值反而越小。 【详解】（1）＝＝，所以＝； （2）＞1； （3）7÷3＝； （4）分子都是1，分母4＞3，所以＜。 【变式训练】下面各分数中，分数单位最大的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】把单位“1”平均分成若干份取其中的一份的数，叫做分数单位，分母是几分数单位就是几分之一。 分子相同的分数，分母越小，分数越大。据此解答。 【详解】A．是带分数，化为假分数是，分母是6，分数单位是； B．分母是5，分数单位是； C．分母是7，分数单位是。 、与分子相同，都是1，因为5＜6＜7，所以＞＞。 因此，分数单位最大的是。 故答案为：B 【变式训练】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )       ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＜ 【分析】同分子分数比较大小，分母大的反而小；异分母分数比较大小，先把分母转化成相同分母，分子大的分数大；带分数转化成假分数，分母不变，整数与分母相乘再加上分数部分的分子的和作为分子，据此解答即可。 【详解】，则 ，则 ，，则 【变式训练】已知a＞b（a、b均为自然数，且b≠0），那么与比较（    ）。 A． B． C．无法比较大小 【答案】B 【分析】同分子分数比较大小，分母大的分数反而小。据此判断。 【详解】因为a＞b（a、b均为自然数，且b≠0），所以＜。 故答案为：B 考点十八：通分的认识及应用 【典例精讲】先把下面每组中的两个分数约分或通分，再比较大小。 和                    和                    和 【答案】＝；＜；＜ 【分析】和，约分：约分是把分数化成最简分数的过程，即分子分母同时除以它们的最大公因数。对于，12和16的最大公因数是4，分子分母同时除以4。对于，9和12的最大公因数是3，分子分母同时除以3。然后再比较大小。 和，约分：对于，分子分母同时除以35，然后再进行通分。对于，90和40的最大公因数是10，分子分母同时除以10。然后再比较大小。 和，通分：通分是把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数的过程，先找两个分母的最小公倍数作为公分母。8和9互质（互质指公因数只有1），所以它们的最小公倍数是8×9＝72。对于，分子分母同时乘9。对于，分子分母同时乘8。然后再比较大小。 【详解】和：＝，＝，，＝。 和：，然后再通分。，＜，＜。 和：，，＜，＜。 所以＝；＜；＜。 【变式训练】五线谱中的二分音符音长是，四分音符音长是，大于小于的分数只有一个。( ) 【答案】× 【分析】题目认为介于和之间的分数只有一个，但根据分数的性质，两个不同分数之间存在无数个分数。例如，通过通分或寻找中间值的方法，可以找到多个符合条件的分数，因此原题说法错误。 【详解】将和通分为同分母分数：，，中间的满足。此外，和还可能通分为同分母分数：，，中间的、满足。以此类推还有无数个符合条件的分数，所以原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】把下面每组中的分数通分。 和           和 【答案】和；和 【分析】把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作为公分母，然后运用分数的基本性质，将各分数分别化成以这个公分母为分母的分数。 【详解】（1）＝＝ ＝＝ （2）＝＝ ＝＝ 【变式训练】在直线上把、、、分别用点表示出来。 【答案】见详解 【分析】在直线将直线上的“1”平均分成6小格，其中的1小格用分数表示就是，表示有这样的5个小格，在1到2之间，距离1有1个小格；，在2到3之间，距离2有2个小格，（）表示有这样的18小格。据此解答。 【详解】 考点十九：异分母异分子分数大小比较 【典例精讲】比较下面各组数的大小，在（    ）内填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )                ( )                    ( ) 【答案】 ＞ ＞ ＞ 【分析】比较分数大小时，若分母相同，分子大的分数较大；若分子相同，分母小的分数较大；若分子分母均不同，则通分化成同分母分数，再比较分子的大小。据此计算解答即可。 【详解】和，分母相同，分子6＞5，所以＞； 和，分子相同，分母10＜11，所以＞； 和，，，15＞14，所以＞，即＞。 【变式训练】先通分，再比较大小。 和                和                和            和 【答案】；；； 【分析】通分是把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数的过程，这个相同的分母叫做这几个分数的公分母，通常取各分母的最小公倍数作为公分母。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小；分子、分母都不相同时，利用分数的基本性质化成同分母或同分子的分数进行比较。 【详解】，，即； ，，，即； ，，，即； ，，，即。 【变式训练】先通分，再比较大小。 和         和          和           和 【答案】，；，；，；，， 【分析】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分，通分的依据是分数的基本性质，据此将两个分数先通分，变成同分母分数，再比较分子的大小。 【详解】 所以。 所以。 所以。 所以。 【变式训练】将下列各组分数通分后比较大小。 和       和      和 【答案】＝，＝，＜； ＝，＝，＞； ＝，＝，＞。 【分析】9和6的最小公倍数是18，将的分子和分母同时乘2，的分子和分母同时乘3，即可完成通分。 10和15的最小公倍数是30，将的分子和分母同时乘3，的分子和分母同时乘2，即可完成通分。 8和20的最小公倍数是40，将的分子和分母同时乘5，的分子和分母同时乘2，即可完成通分。 将每组分数通分后，再比较大小。同分母分数，分子大的就大。 【详解】＝＝ ＝＝ ＜，所以＜。 ＝＝ ＝＝ ＞，所以＞。 ＝＝ ＝＝ ＞，所以＞。 考点二十：分数和小数的互化 【典例精讲】下列分数中不能化成有限小数的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把不是最简分数的化为最简分数，再把最简分数的分母分解质因数，如果质因数只有2、只有5、只有2和5，那么这个分数可以化为有限小数，如果质因数里面除了2和5以外还有其它的质因数，那么这个分数不能化为有限小数，据此解答。 【详解】A．5是质数，能化成有限小数； B．16＝2×2×2×2，能化成有限小数； C．＝＝，7是质数，不能化成有限小数，即不能化成有限小数； D．＝＝，8＝2×2×2，能化成有限小数，即能化成有限小数。 故答案为：C 【变式训练】（    ）（    ）（填小数）。 【答案】40；24；0.375 【分析】可以根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数的大小不变，以及分数与除法，分数与小数的关系来逐步分析。 【详解】已知，因为，相当于的分子3乘5得到15，根据分数的基本性质，分母8也要乘5得到40，因此，； 已知，根据分数与除法的关系：，因为，相当于的分母8乘8得到64，根据分数的基本性质，分子3也要乘8得到24，因此； 根据分数与小数的关系，用分子除以分母，即，因此。 所以 【变式训练】在（    ）里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )         ( )           ( )2.84 【答案】 ＞ ＞ ＜ 【分析】（1）同分子分数比较大小，分母大的分数小，分母小的分数大； （2）先把化为带分数，再按照同分子分数比较大小的方法比较； （3）先把分数化为小数，再按照小数比较大小的方法比较；据此解答。 【详解】（1）同分子分数，因为11＜13，所以＞； （2）＝，因为＞，所以＞； （3），因为＜2.84，所以＜2.84。 ＞         ＞           ＜2.84 【变式训练】2.75可以转化为假分数是( )，这个分数的分数单位是( )。它减去( )个这样的分数单位就是最小的质数，加上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】 3 5 【分析】2.75是两位小数，两位小数先化成分母为100的分数，再化简成最简分数即是假分数。 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。对于真分数、假分数来说，分子是几，就有几个这样的分数单位。 最小的质数是2，将2化成分母为4而大小不变的分数，再看分子与的分子相差几，就需要减去几个这样的分数单位就是最小的质数。 最小的合数是4，将4化成分母为4而大小不变的分数，再看分子与的分子相差几，就需要加上几个这样的分数单位就是最小的合数。 【详解】2.75＝＝ 的分数单位是，里有11个； 最小的质数是2，2＝，里有8个； 11－8＝3（个） 最小的合数是4，4＝，里有16个； 16－11＝5（个） 2.75可以转化为假分数（），这个分数的分数单位是（）。它减去（3）个这样的分数单位就是最小的质数，加上（5）个这样的分数单位就是最小的合数。 综合训练 1．若a÷b＝11，（a和b都是不为零的整数），则a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．11 D．ab 【答案】B 【分析】已知a÷b＝11（a和b都是不为零的整数），根据除法的意义，这表明a是b的11倍，即a和b是倍数关系。a是 b的倍数，b是 a的因数，同时 b也是 b本身的因数。因此当两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数。据此回答。 【详解】因为a是b的11倍，所以b是较小的数，那么a和b的最大公因数是b。 故答案为：B 2．把一段绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，下列说法正确的是（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长 D．无法确定 【答案】A 【分析】将这段绳子看成单位“1”，根据第二段占全长的，那么第二段就是占7份中的1份，第一段就是占7份中的6份即，两者进行比较。 【详解】根据分析，第一段占全长的，第二段占全长的 ＞，即第一段长； 故答案为：A 3．一根圆棒的是，这根圆棒的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；根据题意可知，一根圆棒的是，即把这根圆棒平均分成4份，其中1份是，就是的3个长度，据此解答。 【详解】 A．，表示这根圆棒的，不符合题意。 B．，表示这根圆棒的，不符合题意。 C．，表示这根圆棒的，符合题意。 D．，表示这根圆棒的，不符合题意。 一根圆棒的是，这根圆棒的是。 故答案为：C 4．三（2）班调查了同学们最喜欢的兴趣小组。调查发现：喜欢唱歌的人数占全班人数的，喜欢舞蹈的人数占全班人数的，喜欢书法的人数占全班人数的，喜欢信息技术的人数占全班人数的。喜欢（    ）的人数最多。 A．唱歌 B．舞蹈 C．书法 D．信息技术 【答案】D 【分析】分子相同时，比较分母的大小，分母越大数越小；由此可知＞＞；再比较和，先根据分数的基本性质，把两个异分母分数化为分母相同的分数，再来比较大小，分母相同时，比较分子的大小，分子越大数越大；＝，＝，因为＞，所以＞。 【详解】根据分析可知： ＞＞＞，由此可知喜欢信息技术的人数最多。 故答案为：D 5．某地公交车1路和2路早上8时同时从公交车站出发。1路公交车每6分发一班车，2路公交车每8分发一班车，它们下次同时发车应是（    ）。 A．8时16分 B．8时24分 C．8时30分 D．8时48分 【答案】B 【分析】1路公交车每隔6分钟发一班车，2路公交车每隔8分钟发一班车。这两路车下一次同时发车的时间既是6的倍数，又是8的倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法。求出最小公倍数。再用出发时间加上经过时间就是下次一起发车的时间。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。所以它们下次同时发车在24分钟后。 8时＋24分＝8时24分，它们下次同时发车应是8时24分。 故答案为：B 6．下列分数中，大于且小于的数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要判断哪个分数比大比小，需要比较每个选项的分数与和的大小关系，可以通过通分的方法，将分数转换为分母相同后再进行比较,从而找出符合条件的选项。 【详解】A．2，3，5的最小公倍数是30 ，，，因为<<，即<<，所以选项A符合条件。 B．3,2,7的最小公倍数是42 ＝，，，因为<<，即<<，所以选项B不符合条件。 C．2,3,6的最小公倍数是6 ＝，＝,因为<<,即<<，所以选项C不符合条件。 D．3,2,12的最小公倍数是12 ＝，＝，因为<<，即<<，所以选项D不符合条件 故答案为：A 【点睛】比较异分母分数的大小，一般是先通分，再比较。 7．甲乙两辆车从A地开往B地，甲车用了时，乙车用了时，( )车更快一些。 【答案】 乙 【分析】两车路程相同，用时越短，速度越快，比较甲乙两车的时间。根据分数的基本性质：分子分母同时乘或除以一个数（0除外），分数大小不变，将分数通分成分母为56的分数，比较分子即可。 【详解】＝ ＝ ＞ 则乙车更快一些。 8．把85m长的铁丝平均分成5段，每段是全长的( )，每段长( )m。 【答案】 17 【分析】将铁丝全长看成单位“1”，单位“1”÷段数＝每段占全长的几分之几，总长度÷平均分成的段数＝每段的长度，代入数据求得即可。 【详解】 所以把85m长的铁丝平均分成5段，每段是全长的，每段长17m。 9．科学研究证明，儿童的负重最好不要超过体重的，如果长期背负过重物体，会导致腰痛及背痛，严重的甚至会妨碍骨骼生长。梦梦的体重是25kg，她的书包重4kg，梦梦的书包( )。（填“超重”或“没超重”） 【答案】超重 【分析】用书包重÷梦梦的体重，算出的得数与进行比较可知是否超重。 【详解】4÷25＝0.16 ＝0.15 0.16＞0.15 所以梦梦的书包超重了。 10．分母是8的最大真分数是( )，分子是8的最小假分数是( )。 【答案】 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数，分母是8的最大真分数的分子比8小1；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，最小假分数的分子等于分母，据此解答。 【详解】分析可知，分母是8的最大真分数是，分子是8的最小假分数是。 11．小华、小刚、小明三人从甲地到乙地比赛跑步，小华用了小时，小刚用了10分钟，小明用了0.15小时，他们中( )最先到达乙地，( )最后一个到达。 【答案】 小华 小刚 【分析】1时＝60分钟，低级单位换算成高级单位，除以进率；把10分钟换算成分数；根据小数化分数的方法：原来有几位小数，就在1后面写几个0做分母，原来的小数去掉小数点做分子，化成分数；把0.15换算成分数；再根据异分母分数比较大小的方法：通分，化成分母相同的分数，再根据同分母分数比较大小的方法进行比较；谁小，谁先到达，谁大，谁最后达到，据此解答。 【详解】＝；10÷60＝；0.15＝＝ ＜＜，即小时＜0.15小时＜10分钟，小华最先到达乙地，小刚最后到达乙地。 小华、小刚、小明三人从甲地到乙地比赛跑步，小华用了小时，小刚用了10分钟，小明用了0.15小时，他们中小华最先到达乙地，小刚最后一个到达。 12．已知A＝2×3×3，B＝2×2×3，那么A、B两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 36 【分析】把两个数进行分解质因数，这两个数的公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数的独有质因数的乘积是最小公倍数，据此解答即可。 【详解】A、B两数的最大公因数是：2×3＝6 A、B两数的最小公倍数是：2×2×3×3＝36 13．把下面的分数化成分子是3而大小不变的分数。                                                  【答案】；；； 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分数的大小不变。将每个分数的分子除以一个数得到3，同时分母也除以相同的数，使分数大小不变。 【详解】 14．把下列各数化成小数，除不尽的保留两位小数。                      【答案】0.07；0.83；0.75；0.875 【分析】用分数的分子除以分母，即可将分数化成小数。除不尽的计算到小数点后第三位，然后按照“四舍五入”法保留两位小数。 【详解】＝7÷100＝0.07 ＝5÷6≈0.83 ＝3÷4＝0.75 ＝7÷8＝0.875 15．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36    75和15    9和21 【答案】12，72；15，75；3，63 【分析】先把每组数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。据此计算第一、第三题； 两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。据此计算第二题。 【详解】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以24和36的最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×2×2×3×3＝72； 75÷15＝5，所以75和15的最大公因数是15，最小公倍数是75； 9＝3×3 21＝3×7 所以9和21的最大公因数是3，最小公倍数是3×3×7＝63。 16．六（1）班有学生55人，其中有男生33人，女生占全班人数的几分之几？ 【答案】 【分析】求一个数是另一个数的几分之几要用除法计算。六（1）班学生数减去男生人数，可以算出女生有多少人。女生人数除以全班总人数，即可算出女生占全班人数的几分之几。 【详解】（55－33）÷55 ＝22÷55 ＝ ＝ 答：女生占全班人数的。 17．生活中经常见到装在蛋托里的鸡蛋。便利店批发了70多个鸡蛋。如果把这些鸡蛋装进6个一排的蛋托中，正好装完；如果把这些鸡蛋装进8个一排的蛋托中，也正好装完。便利店批发了多少个鸡蛋？ 【答案】72个 【分析】求便利店批发了多少个鸡蛋，就是求6和8的公倍数，且大于70小于80，先求出6和8的最小公倍数，再求6和8的公倍数、且公倍数大于70小于80。据此解答。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24 24×3＝72（个） 答：便利店批发了72个鸡蛋。 18．从某公共汽车始发站了解到，1路车每4分发车一次，2路车每6分发车一次。早晨6：00这两路车同时发车，到上午11：00，这两路车同时从始发站发车多少次？ 【答案】26次 【分析】要解决该问题需先求1路车（4分钟一班）和2路车（6分钟一班）发车间隔的最小公倍数，分解质因数得4＝2×2、6＝2×3，最小公倍数为12，即每12分钟两路车同时发车一次；从早晨6：00到上午11：00共5小时（300分钟），用300÷12＋1＝26（次）（“＋1”包含6：00初始发车），因此到上午11：00，这两路车同时从始发站发车26次。 【详解】4＝2×2，6＝2×3，最小公倍数为 2×2×3＝12。 11：006：00 ＝5小时 ＝ 5×60 ＝300 分钟。 300÷12＋1 ＝25＋1 ＝26（次） 答：到上午11：00，这两路车同时从始发站发车26次。 19．思思在动车上利用导航了解到介休到大同的距离共425千米，还剩255千米没有走。思思说他们已经走了全程的，思思说得对吗？（请写出你的思考过程） 【答案】对；思考过程见详解 【分析】由题意可知，已经走的路程＝总路程－剩下的路程，已经走的路程占全程的分率＝已经走的路程÷总路程，最后根据“”结果用最简分数表示，据此判断思思的说法是否正确。 【详解】思思说得对。 （425－255）÷425 ＝170÷425 ＝ 答：他们已经走了全程的，思思说得对。 20．绿萝生命力强，好养活，还可以吸收空气中的二氧化碳、甲醛，使室内空气变得清新，是室内净化空气植物的首选。刘叔叔在一家新公司内的走廊一边每隔60厘米放一盆绿萝来净化空气（两端都放），一共放了31盆。后来又买了一些绿萝，准备改为每隔45厘米放一盆，除两端的绿萝外，还有多少盆绿萝不需要挪动位置？ 【答案】9盆 【分析】这条走廊的长度＝（放绿萝的盆数－1）×间距＝1800厘米，然后用短除法求出60和45的最小公倍数是180，不需要挪动位置的绿萝盆数＝这条走廊的长度÷180－1盆。 【详解】（31－1）×60 ＝30×60 ＝1800（厘米） 60和45的最小公倍数是5×3×4×3＝180 1800÷180－1 ＝10－1 ＝9（盆） 答：还有9盆绿萝不需要挪动位置。 【点睛】掌握植树问题的解题方法是关键，首先要判断出是两端栽树、一端栽树或两端都不栽的情况。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 分数的意义和性质 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、分数的意义 2 二、分数与除法的关系 2 三、真分数和假分数 2 四、分数的基本性质 3 五、约分 3 六、通分 4 七、分数与小数的互化 5 考点讲练 5 考点一：分数的意义 5 考点二：分数与除法的关系 6 考点三：求一个数是另一个数的几分之几 6 考点四：真分数、假分数、带分数的认识 7 考点五：假分数与带分数或整数的互化 7 考点六：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 8 考点七：分数的基本性质 9 考点八：质因数的含义 9 考点九：分解质因数 10 考点十：公因数与最大公因数 11 考点十一：用最大公因数解决问题 11 考点十二：互质数的认识 12 考点十三：约分 12 考点十四：公倍数与最小公倍数 13 考点十五：用最小公倍数解决问题 13 考点十六：同分母分数的大小比较 14 考点十七：同分子分数的大小比较 14 考点十八：通分的认识及应用 15 考点十九：异分母异分子分数大小比较 16 考点二十：分数和小数的互化 17 综合训练 17 知识梳理 一、分数的意义 1.分数的定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 单位“1”：可以是一个物体（如一个苹果）、一个计量单位（如1米），也可以是由多个物体组成的一个整体（如一堆苹果、一个班级的学生）。 例子：把一个蛋糕平均分成4份，每份是这个蛋糕的，3份是这个蛋糕的$ 2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。 特点：一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，就有几个这样的分数单位。 例子：它有5个这样的分数单位。 二、分数与除法的关系 1.关系公式：。 注意：分数是一个数，除法是一种运算，二者意义不同，但结果可以用分数表示。 例子：米。 2.求一个数是另一个数的几分之几：用“一个数÷另一个数”，结果用分数表示。 例子：男生有20人，女生有25人，男生人数是女生人数的。 三、真分数和假分数 1.真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 例子：都小于1。 2.假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于1。 例子： 3.带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。 形式：整数部分+真分数部分，。 4.假分数与带分数（或整数）的互化 假分数化带分数（或整数）：用分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，分母不变；若没有余数，则结果为整数。 例子： 带分数化假分数：整数部分×分母+分子作分子，分母不变。 例子： 四、分数的基本性质 1.性质内容：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 字母表示： 2.性质应用：可用于分数的化简（约分）、通分，或解决“分数大小不变”的问题。 例子：。 五、约分 1.公因数与最大公因数 公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。 最大公因数：公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 找最大公因数的方法： 列举法：列出两个数的所有因数，找出公有的因数，其中最大的就是最大公因数。 例子：找12和18的最大公因数。12的因数：1、2、3、4、6、12；18的因数：1、2、3、6、9、18；公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 分解质因数法：把两个数分解成质因数相乘的形式，公有质因数的乘积就是最大公因数。 例子：12 = 2×2×3，18 = 2×3×3，公有质因数为2和3，最大公因数=2×3=6。 短除法：用两个数公有的质因数依次去除，直到商互质，所有除数的乘积就是最大公因数。 2.约分的定义：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 3.最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数（或既约分数）。 例子：（分子分母公因数有1、2）不是最简分数。 4.约分的步骤： 步骤1：找出分子和分母的最大公因数； 步骤2：用分子和分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分数。 例子： 六、通分 1.公倍数与最小公倍数 公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。 最小公倍数：公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 找最小公倍数的方法： 列举法：列出两个数的倍数，找出公有的倍数，其中最小的就是最小公倍数。 例子：找4和6的最小公倍数。4的倍数：4、8、12、16…；6的倍数：6、12、18…；公倍数有12、24…，最小公倍数是12。 分解质因数法：把两个数分解成质因数相乘的形式，公有质因数与各自独有质因数的乘积就是最小公倍数。 例子：4 = 2×2，6 = 2×3，最小公倍数=2×2×3=12。 短除法：用两个数公有的质因数依次去除，直到商互质，所有除数和商的乘积就是最小公倍数。 2.通分的定义：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 3.通分的步骤： 步骤1：找出几个分数分母的最小公倍数，作为公分母； 步骤2：根据分数的基本性质，把每个分数的分子和分母同时乘一个适当的数，使分母都变成公分母。 例子 4.通分的应用：比较异分母分数的大小（通分后比较分子大小，分子大的分数大）。 例子： 七、分数与小数的互化 1.分数化小数：用分子除以分母，除不尽时按“四舍五入”法保留一定的小数位数（或用循环小数表示）。 有限小数：分子能被分母除尽，如 2.小数化分数 有限小数化分数：看小数位数，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……，能约分的要约成最简分数。 例子： 3.分数与小数大小比较：可将分数化成小数，或小数化成分数后比较。 例子： 考点讲练 考点一：分数的意义 【典例精讲】一根绳子剪成两段，第一段占全长的，第二段正好是米，则（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段同样长 D．无法比较 【变式训练】 虽然图中的涂色部分和每小段的大小、形状都不一样，但是它们都表示把单位“1”( )，所以它们都可以用分数( )来表示。 【变式训练】的分数单位是( )，它里面有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位是1。 【变式训练】要从盒子里随意摸一个球，使摸到红球的可能性是，现在盒子里放了2个红球，还要放（    ）个其它颜色的球。 A．2 B．4 C．6 考点二：分数与除法的关系 【典例精讲】把1根3米长的铁丝平均截成5段，每段的长度是( )米，每段占这根铁丝的( )。 【变式训练】千克花生能榨千克花生油，1千克花生能榨( )千克花生油；榨1千克花生油需要( )千克花生。 【变式训练】某新型养殖基地产量是传统养殖产量的3倍，传统养殖产量是该新型养殖基地产量的( )。 【变式训练】把一根3米长的铁丝平均剪成8段，每段长( )米，每段占全长的( )。 考点三：求一个数是另一个数的几分之几 【典例精讲】小明用5克糖和水泡了一杯90克的糖水，后来觉得不够甜，又加了2克糖。现在糖的质量占糖水的几分之几？ 【变式训练】梁山到北京大约560千米，小丽一家早晨8：00出发，爸爸以平均速度80千米/时开车行驶，中午12：00时，已行驶时间占需行驶总时间的几分之几？ 【变式训练】．五（1）班有男生17人，比女生的人数少6人。那么，男生的人数是女生人数的几分之几？是全班人数的几分之几？ 【变式训练】在2025年哈尔滨亚洲冬季奥运会上，中国体育代表团共获得85枚奖牌，位居奖牌榜首位，其中金牌有32枚。金牌数占奖牌总数的几分之几？ 考点四：真分数、假分数、带分数的认识 【典例精讲】一个最简真分数，分子与分母的乘积是28，这样的真分数有( )个。 【变式训练】的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，至少再加上( )个这样的分数单位就是一个假分数。 【变式训练】a是一个不为0的整数，是假分数，也是假分数，a的取值有（    ）种可能。 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练】在（a是非0自然数）中，当a( )9时，它是真分数，当a( )9时，它是假分数。它的分数单位是( )，当a＝( )时，它等于最小的合数。 考点五：假分数与带分数或整数的互化 【典例精讲】最小的合数与两位数中最小的质数组成的假分数是( )，化成带分数是( )。 【变式训练】把下面的假分数化成整数或带分数，或把带分数化成假分数。                                                                  【变式训练】的分数单位是( )，它由( )个这样的分数单位组成，化成带分数是( )，再加上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 【变式训练】把下面的假分数化成整数或带分数。                            考点六：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 【典例精讲】如果是真分数，是假分数（x表示同一个数），那么x为( )。 【变式训练】分数，当( )时，它是这个分数的分数单位；当( )时，它是最大的真分数；当( )时，它是最小的假分数；当( )时，它的分数值是0。 【变式训练】a＝( )时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是( )（填出所有可能）。 【变式训练】用数字卡片1、2、7、5组成的带分数中，最大的带分数和最小的带分数分别是多少？（每个数字都要用到，且每个数值只能用一次） 考点七：分数的基本性质 【典例精讲】把的分子加上10，要使分数的大小不变，分母应变成( )。 【变式训练】的分母增加20，要使分数大小不变，分子应扩大到原来的（    ）倍。 A．4 B．5 C．10 D．15 【变式训练】的分母加上24，要使分数的大小不变，分子应该加上( )。 【变式训练】的分子增加9，要使分数的大小不变，它的分母应该增加( )。 考点八：质因数的含义 【典例精讲】1、3、7都是21的（    ） A．质因数 B．公因数 C．奇数 D．因数 【变式训练】1和5都是20的（ ） A．因数 B．质因数 C．公因数 【变式训练】甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7，它们的最大公约数的质因数里应该（    ） A．有五个7 B．没有7 C．不能确定 【变式训练】写出几个连续的自然数，使它们的积是15120。 考点九：分解质因数 【典例精讲】用短除法把下面各数分解质因数。 56        81 【变式训练】将14，30，35，75这四个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。你知道怎样分组吗？请写出分组方法。 【变式训练】高新二小利用假期修缮校舍。给一间长80分米，宽55分米的教室内铺同样大小的正方形地砖，铺的时候地砖要完整而没有剩余，地砖边长最大是几分米？ 【变式训练】一张长方体纸板，长1.2米，宽9分米，把它剪成同样的小正方形，要求边长最大，无剩余纸片，至少可以剪多少个小正方形？ 考点十：公因数与最大公因数 【典例精讲】下列（    ）的最大公因数是4。 A．1和4 B．2和4 C．4和8 D．6和24 【变式训练】找出各分数分子和分母的最大公因数。 ( )       ( )      ( )       ( )   【变式训练】下面算式中，m、n均是不为0的自然数，m、n一定为互质数的是（    ）。 A．m＋n＝8 B．m－n＝1 C．m×n＝8 D．m÷n＝3 【变式训练】已知A＝3×3×5×7，B＝2×3×5×11，A和B的最大公因数是（    ）。 A．3 B．5 C．15 D．30 考点十一：用最大公因数解决问题 【典例精讲】动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【变式训练】把一张长60cm、宽48cm的长方形纸剪成大小相等的正方形，且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？可以剪多少个这样的正方形？ 【变式训练】刘老师把49个苹果和29个梨平均分给班上的每位小朋友，结果苹果多出4个，梨少了1个。这个班最多有多少位小朋友？ 【变式训练】小亮家储藏室的长方形地面长48分米，宽36分米，如果用一种边长是整分米数的正方形地砖将储藏室铺满（用的地砖必须都是整块的），至少需要多少块地砖？ 考点十二：互质数的认识 【典例精讲】在10的所有因数中，互质的数共有( )对。 【变式训练】下面四组数中，公因数只有1，又都是合数的是（    ）。 A．6和7 B．4和9 C．9和11 D．8和10 【变式训练】两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公因数是( )。 【变式训练】下面各组数，不是互质数的是（    ）。 A．121和11 B．15和16 C．1和28 D．13和27 考点十三：约分 【典例精讲】把一根3米长的铁丝平均剪成6段，每段长( )米，是这根铁丝的( )。 【变式训练】新新书店开展“买三送一”活动，每本故事书18元。小明买12本故事书，实际需要支付（    ）元，相当于原价的。 【变式训练】的分子加上一个数，分母减去同一个数，所得的新分数约分后，新分数约分之前是( )。 【变式训练】将分子相同的三个最简假分数化成带分数后，分别是，，其中是不超过10的自然数，则（2a＋b）÷c＝( )。 考点十四：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】16和24的公因数有( )，最大公因数是( )。50以内，6和12的公倍数有( )，最小公倍数是( )。 【变式训练】在1—200的自然数中，如果一个数能被2或7整除，就称这个数是“双七数”，那么“双七数”共有（    ）个。 A．112 B．114 C．120 D．128 【变式训练】18和30的最大公因数是( )，24与36的最小公倍数是( )。 【变式训练】两个非零自然数a和b，如果a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )；如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 考点十五：用最小公倍数解决问题 【典例精讲】一次素质拓展训练活动中，某班级分组做训练，不管是3人一组，还是5人一组，都剩余2人，如果这个班级人数在40～50人，这个班级可能有( )人。 【变式训练】我国有着在端午节赛龙舟纪念爱国诗人屈原的习俗。某班一共有30多名学生报名做龙舟比赛的志愿者，这些学生无论是4人一组还是6人一组，都正好分完，该班可能有（    ）名学生报名做志愿者。 A．30 B．36 C．38 D．39 【变式训练】城市公园是承载市民休闲活动的重要场所。周末，幸福小区居民到公园跳广场舞，有2人领舞，其他参加跳广场舞的居民无论排成每行6人还是每行8人，都刚好是整行。至少有多少人在跳广场舞？ 【变式训练】“六一”儿童节就要到了，幼儿园邀请了70多位家长到学校参加亲子游戏，家长可以分为6人一组做游戏，也可以分为4人一组做游戏，都正好分完。学校邀请了多少位家长？ 考点十六：同分母分数的大小比较 【典例精讲】写出所有大于小于，且分母是14的最简分数有( )。 【变式训练】大于小于的分数有3个。( ) 【变式训练】、1、、中，最小的数是 。 【变式训练】在括号里填上“”“”或“”。 ( )        ( )        ( )        8( ) 考点十七：同分子分数的大小比较 【典例精讲】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )   ( )1   7÷3( )   ( ) 【变式训练】下面各分数中，分数单位最大的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )       ( ) 【变式训练】已知a＞b（a、b均为自然数，且b≠0），那么与比较（    ）。 A． B． C．无法比较大小 考点十八：通分的认识及应用 【典例精讲】先把下面每组中的两个分数约分或通分，再比较大小。 和                    和                    和 【变式训练】五线谱中的二分音符音长是，四分音符音长是，大于小于的分数只有一个。( ) 【变式训练】把下面每组中的分数通分。 和           和 【变式训练】在直线上把、、、分别用点表示出来。 考点十九：异分母异分子分数大小比较 【典例精讲】比较下面各组数的大小，在（    ）内填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )                ( )                    ( ) 【变式训练】先通分，再比较大小。 和                和                和            和 【变式训练】先通分，再比较大小。 和         和          和           和 【变式训练】将下列各组分数通分后比较大小。 和       和      和 考点二十：分数和小数的互化 【典例精讲】下列分数中不能化成有限小数的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（    ）（    ）（填小数）。 【变式训练】在（    ）里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )         ( )           ( )2.84 【变式训练】2.75可以转化为假分数是( )，这个分数的分数单位是( )。它减去( )个这样的分数单位就是最小的质数，加上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 综合训练 1．若a÷b＝11，（a和b都是不为零的整数），则a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．11 D．ab 2．把一段绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，下列说法正确的是（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长 D．无法确定 3．一根圆棒的是，这根圆棒的是（    ）。 A． B． C． D． 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；根据题意可知，一根圆棒的是，即把这根圆棒平均分成4份，其中1份是，就是的3个长度，据此解答。 4．三（2）班调查了同学们最喜欢的兴趣小组。调查发现：喜欢唱歌的人数占全班人数的，喜欢舞蹈的人数占全班人数的，喜欢书法的人数占全班人数的，喜欢信息技术的人数占全班人数的。喜欢（    ）的人数最多。 A．唱歌 B．舞蹈 C．书法 D．信息技术 5．某地公交车1路和2路早上8时同时从公交车站出发。1路公交车每6分发一班车，2路公交车每8分发一班车，它们下次同时发车应是（    ）。 A．8时16分 B．8时24分 C．8时30分 D．8时48分 6．下列分数中，大于且小于的数是（    ）。 A． B． C． D． 7．甲乙两辆车从A地开往B地，甲车用了时，乙车用了时，( )车更快一些。 8．把85m长的铁丝平均分成5段，每段是全长的( )，每段长( )m。 9．科学研究证明，儿童的负重最好不要超过体重的，如果长期背负过重物体，会导致腰痛及背痛，严重的甚至会妨碍骨骼生长。梦梦的体重是25kg，她的书包重4kg，梦梦的书包( )。（填“超重”或“没超重”） 10．分母是8的最大真分数是( )，分子是8的最小假分数是( )。 11．小华、小刚、小明三人从甲地到乙地比赛跑步，小华用了小时，小刚用了10分钟，小明用了0.15小时，他们中( )最先到达乙地，( )最后一个到达。 12．已知A＝2×3×3，B＝2×2×3，那么A、B两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 13．把下面的分数化成分子是3而大小不变的分数。                                                  14．把下列各数化成小数，除不尽的保留两位小数。                      15．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36    75和15    9和21 16．六（1）班有学生55人，其中有男生33人，女生占全班人数的几分之几？ 17．生活中经常见到装在蛋托里的鸡蛋。便利店批发了70多个鸡蛋。如果把这些鸡蛋装进6个一排的蛋托中，正好装完；如果把这些鸡蛋装进8个一排的蛋托中，也正好装完。便利店批发了多少个鸡蛋？ 18．从某公共汽车始发站了解到，1路车每4分发车一次，2路车每6分发车一次。早晨6：00这两路车同时发车，到上午11：00，这两路车同时从始发站发车多少次？ 19．思思在动车上利用导航了解到介休到大同的距离共425千米，还剩255千米没有走。思思说他们已经走了全程的，思思说得对吗？（请写出你的思考过程） 20．绿萝生命力强，好养活，还可以吸收空气中的二氧化碳、甲醛，使室内空气变得清新，是室内净化空气植物的首选。刘叔叔在一家新公司内的走廊一边每隔60厘米放一盆绿萝来净化空气（两端都放），一共放了31盆。后来又买了一些绿萝，准备改为每隔45厘米放一盆，除两端的绿萝外，还有多少盆绿萝不需要挪动位置？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $