专题04 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题04 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断根的情况 1 题型二、根据根的情况求参数 3 题型三、根与系数的关系 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断根的情况 1．(25-26八上·上海建平中学西校·期末)下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 2．(25-26八上·上海复旦大学第二附属学校·期末)下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 5．下列方程一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 6．下列关于的方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 8．(25-26八上·上海闵行区·期末)在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 9．以下一元二次方程中无实根的是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是 ． 11．关于的一元二次方程的根的情况是 ． 28．某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为 ． 12．(25-26八上·上海浦东模范中学·期中)方程根的判别式的值为 ． 30．(25-26八上·上海南洋模范中学·期中)判断一元二次方程的根的情况 ． 13．已知为实数，且满足，则的值为 14．关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 15．(25-26九上·浙江台州黄岩区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求的值； (2)求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 16．(25-26九上·安徽繁昌县部分学校·期中)已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 17．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 18．(25-26八上·上海民办兰生学校·期中)如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况． 19．(25-26八上·上海建平实验中学·期中)已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 题型二、根据根的情况求参数 1．关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． 且 D． 2．(25-26九上·四川绵阳江油·期末)已知关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（    ）. A． B． C． D． 3．(21-22八下·北京海淀区清华大学附属中学·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 4．(25-26八上·上海普陀区·期末)如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 5．(25-26九上·陕西榆林横山区·期末)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．(25-26八上·上海浦东新区·期末)关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 7．已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 8．若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是 ． 9．(25-26九上·陕西榆林靖边县·期末)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 10.已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 12．已知关于x的一元二次方程，如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 13．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 14．(25-26九上·甘肃白银·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程有一个根是，求方程的另一个根及m的值． 题型三、根与系数的关系 1．已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．11 B．13 C．11或13 D．11或12 2．若方程与方程的解相同，则p、q的值为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26九上·天津西青区·期末)已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 4．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（    ） A． B． C． D． 5．(25-26八上·上海复旦大学第二附属学校·期末)如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．(25-26八上·上海嘉定区·期末)若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 8．(25-26上·贵州黔东南苗族侗族三穗中学·期中)已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 9．已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A．1 B． C． D． 10．(2023·江西省吉安市·三模)若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为 ． 12．(25-26八上·上海黄浦区·期末)若、是方程的两个实数根，则的值为 ． 13．已知、是方程的两个实数根，若，则 ． 14．(25-26八上·上海松江区·期末)已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 15．(25-26九上·浙江台州路桥区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 16．(25-26八上·上海黄浦区·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 17．(25-26九上·江西抚州南城县·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 18．已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 19．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 1．阅读：已知，求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴是方程的根， ∴，即． 利用以上方法，求证：（m、n为非零实数） 2．已知关于x的一元二次方程． （1）判断这个一元二次方程的根的情况； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两条边长恰好是这个方程的两根，求k的值． 3．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 4．(2023·福建省泉州市石狮市·模拟)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)求与的值．（用含k的式子表示） (3)①若，，可由结合，求解k的取值范围．请求出k的取值范围． ②，，求k的取值范围． 5．(20-21九上·内蒙古呼和浩特剑桥中学·期中)已知、满足，，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断根的情况 1 题型二、根据根的情况求参数 11 题型三、根与系数的关系 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断根的情况 1．(25-26八上·上海建平中学西校·期末)下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟记根的判别式是关键． 通过计算一元二次方程的判别式判断是否有实数解，若则有实数解． 【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意； ，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意； ，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意； ，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意； 故选C． 2．(25-26八上·上海复旦大学第二附属学校·期末)下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查通过判别式判断根的情况，计算每个一元二次方程的判别式，判断是否有实数根，若则无实数根． 【详解】解：选项A：，有实数根； 选项B：，有实数根； 选项C：，没有实数根； 选项D：，有实数根； 故选C． 3．关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值来判断根的情况． 【详解】解：∵，常数项为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．下列方程一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查常见方程有无实数根的判断，根据一元二次方程和分式方程的求解过程判断即可． 【详解】A、原方程为一元二次方程，根的判别式，原方程无实数根，该选项不符合题意； B、原方程为分式方程，变形为整式方程为，变形得，原方程无实数根，该选项不符合题意； C、原方程为分式方程，变形为整式方程为，但为原方程的增根，原方程无实数根，该选项不符合题意； D、原方程解得，为实数根，该选项符合题意． 故选：D 6．下列关于的方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，通过计算每个一元二次方程的判别式，利用，则方程没有实数根即可得到答案. 【详解】解：A：方程化为， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； B：方程， ∵， ∴， ∴方程无实数根，故此选项符合题意； C：方程， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； D：方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； 故选：B. 7．如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据角的平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，解答即可． 本题考查了角的平分线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，熟练掌握等腰三角形的判定，根的判别式是解题的关键． 【详解】解： ∵和分别平分和， ∴，，     ∵，     ∴，     ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 且 ， 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8．(25-26八上·上海闵行区·期末)在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二元一次方程的解，解分式方程，分母有理化． 通过计算每个方程的实数解情况，选项A的一元二次方程判别式为负，无实数解；选项B有无数实数解；选项C经求解和检验有实数解；选项D有实数解． 【详解】解：选项A：，判别式，无实数解； 选项B：是二元一次方程，有无数组实数解，有实数解； 选项C：，去分母得，解得或，但使分母为零为增根，为实数解，即有实数解； 选项D：，解得为实数，有实数解； 故选：A． 9．以下一元二次方程中无实根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题关键． 由于一元二次方程无实根，则判别式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则，即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．可化为， 则，即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C．可化为，，即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D.，，即方程无实根，符合题意． 故选D． 10．已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是 ． 【答案】方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 通过计算判别式判断根的情况即可． 【详解】解：判别式 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 11．关于的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 28．某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为 ． 【答案】方程有两个实数根 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的时，方程有2个实数根，进行作答即可． 【详解】解：当，时，方程有两个实数根； 故答案为：方程有两个实数根． 12．(25-26八上·上海浦东模范中学·期中)方程根的判别式的值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式公式是解题的关键． 直接应用一元二次方程根的判别式公式计算即可． 【详解】解：方程， 根的判别式为：， 故答案为：． 30．(25-26八上·上海南洋模范中学·期中)判断一元二次方程的根的情况 ． 【答案】当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根 【分析】本题考查根据一元二次方程根的判别式，计算判别式并判断其符号，从而确定根的情况． 【详解】解：， ， ∴当 时，，方程有两个不相等的实数根； 当 时，，方程有两个相等的实数根． 故答案为：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根． 13．已知为实数，且满足，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查解一元二次方程，把看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得：或， 当时，即，，此方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，即，，符合题意； 故答案为：1． 14．关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 15．(25-26九上·浙江台州黄岩区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求的值； (2)求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解及根的判别式是解题的关键； （1）把代入一元二次方程进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得； （2）解：由关于的一元二次方程可知： ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 16．(25-26九上·安徽繁昌县部分学校·期中)已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解题的关键． （1）根据完全平方公式的非负性判别即可得到证明； （2）解一元二次方程，再根据周长公式求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意，得， ∴无论取何值，该方程总有实数根． （2）解：∵等腰三角形的底边长为5， ∴另两边的长为等腰三角形的腰长， 即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， ∴这个等腰三角形的三边长分别为3，3，5， ∴这个等腰三角形的周长为． 17．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，，结合题意列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：． 18．(25-26八上·上海民办兰生学校·期中)如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况． 【答案】当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 首先根据已知方程无实根可得m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的取值范围确定新方程根的判别式的情况，进而得出新方程根的情况即可． 【详解】解：当时，方程化为， 解得，不符合题意， 当时，方程没有实数根， ∴， 解得； 当时，方程化为， 解得，方程有一个根； 当且时，， 此时方程有两个不相等的实数解． ∴当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根． 19．(25-26八上·上海建平实验中学·期中)已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 【答案】(1) 方程有两个不相等的实数根。 (2) 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解， （1）计算一元二次方程的根的判别式求出方程的根的情况； （2）将方程的根代入，得到，计算，由此进行判断即可． 【详解】（1）解：， , ∵是正实数， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解:将代入方程， 得， ∴， ∵， ∴． 题型二、根据根的情况求参数 1．关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，方程有两个实数根，需满足一元二次方程的条件（二次项系数不为零）且判别式非负，据此解答即可． 【详解】解：∵ 方程有两个实数根， ∴ 方程为一元二次方程，即 ， 且判别式 ， 解得， ∴ 且． 故选C． 2．(25-26九上·四川绵阳江油·期末)已知关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．熟悉一元二次方程根与判别式的关系，确定系数的取值范围，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，时方程有实数根，求解的范围后取最大整数． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴，即， ∵， ∴的最大整数值为； 故选：C． 3．(21-22八下·北京海淀区清华大学附属中学·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 其中，，， ∴， 解得， 又∵， ∴且． 故选：D． 4．(25-26八上·上海普陀区·期末)如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解． 【详解】解：∵ 二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴ 方程无实数根， ∴ 判别式， ∴ ， 故选：C． 5．(25-26九上·陕西榆林横山区·期末)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， ∴， 故选：B． 6．(25-26八上·上海浦东新区·期末)关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式的应用．关键在于：一元二次方程要求二次项系数不为0；方程有实数根时，判别式．需同时满足这两个条件来确定的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即． 又∵方程有实数根， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 故选：B． 7．已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次方程有实数根的条件，判别式非负，求解不等式． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， ∴， ∴. 故k的取值范围是． 故选：A． 8．若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，正确求出根的判别式是关键． 根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，计算判别式并解不等式． 【详解】解：方程 中，，，， ∵． 由于一元二次方程没有实数解， ∴， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 9．(25-26九上·陕西榆林靖边县·期末)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根可以得到，且判别式，从而求出结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且判别式， ∴， 解得，即， 又∵， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 10.已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 当时，则，解得且； 当时，则， ∵， ∴， 又∵， ∴恒成立， ∴此时； 综上所述，， 故答案为：． 12．已知关于x的一元二次方程，如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式得出， ，据此求出不等式的公共部分即可． 【详解】解：， 整理得， 该方程是关于的一元二次方程， ，解得， 又方程有两个不相等的实数根， ，即，解得， 综上，且． 故答案为：且． 13．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形   见解析 (2)是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、等腰三角形与等边三角形的性质，掌握代入法验证方程根的方法和三角形边长的性质是解题的关键． （1） 将代入方程，化简后得到与的数量关系，根据等腰三角形的定义判断的形状； （2） 根据等边三角形三边相等的性质，代入方程化简，再将代入检验等式是否成立，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵把代入方程，得， ， ， 的形状是等腰三角形． （2）解：∵是等边三角形， ． ， ， 即． ∵是的边长， ∴， ∴． 当时，左边右边， 是这个一元二次方程的根． 14．(25-26九上·甘肃白银·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程有一个根是，求方程的另一个根及m的值． 【答案】(1)且 (2)方程的另一个根是，m的值是5 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和方程的根，掌握一元二次方程的根的判别式的含义是解题关键． （1）根据根的判别式列不等式计算即可； （2）代入方程的根，求出m，再解一元二次方程求方程的另一个根即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． 又∵， ∴m的取值范围是且． （2）解：∵方程有一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程，得，， ∴方程的另一个根是，m的值是5． 题型三、根与系数的关系 1．已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．11 B．13 C．11或13 D．11或12 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；已知等腰三角形一边长为3，另外两边为方程的根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为8，周长等于三边之和，即3加上两根之和，然后问题可求解． 【详解】解：设另外两边为和，由一元二次方程及根与系数的关系可知：， ∴该等腰三角形的周长为， 当该等腰三角形的腰长为3时，则，当底边长为3时，则腰长为，均符合三角形三边关系， ∴该等腰三角形的周长为11； 故选A． 2．若方程与方程的解相同，则p、q的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 先求第二个方程的两个根，这些根也是第一个方程的根，再利用根与系数的关系求 p 和 q即可． 【详解】解：解方程可得：， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， 根据根与系数的关系可得：，， ∴， ．     故选 C． 3．(25-26九上·天津西青区·期末)已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵，是方程的根， ∴可得，， ∴， 故选：C． 4．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，即根的和等于，代入已知根求解另一个根即可． 【详解】∵方程 的一个根为， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．(25-26八上·上海复旦大学第二附属学校·期末)如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系直接计算根的和与积即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． 6．若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值． 先求出，，将通分计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 故选：A． 7．(25-26八上·上海嘉定区·期末)若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可得， ，结合已知条件 求解的值． 【详解】解：∵ 方程的两根为、， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ . 故选：B． 8．(25-26上·贵州黔东南苗族侗族三穗中学·期中)已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，直接代入求值即可． 本题考查一元二次方程根与系数的关系， 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为 和 ， ∴由根与系数关系，，， ∴． 故选：C． 9．已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根分别为和， ∴， 故选：C． 10．(2023·江西省吉安市·三模)若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据整数，是正整数，可得出或，然后分情况求出c的值，再验证即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 12．(25-26八上·上海黄浦区·期末)若、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，利用一元二次方程的解和根与系数的关系，由a是方程根得，由根与系数关系得，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， 又∵ a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2023． 13．已知、是方程的两个实数根，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根和系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据方程有两个根，可得，求出，再根据一元二次方程根与系数的关系，表示出两根和与积，代入条件方程求解m，最后确定的值即可． 【详解】解：∵方程有两个根， 又∴， ∴． 在方程中，，，． ∴，． ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍）或． 故答案为：1． 14．(25-26八上·上海松江区·期末)已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据“有两个实数根”可知，进而求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，根据得到，将，代入得到，求出，此时，根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 方程有两个实数根， ， ； （2）解：∵关于的方程有两个实数根、， ∴，， 又， ， 即， ， 当时，方程， 解得，， ，方程两根为，． 15．(25-26九上·浙江台州路桥区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 【答案】(1)见解析 (2)此方程的两个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，， 根据根与系数的关系得， ∴， ∴方程的两根分别为1和3， 即方程的两个根为，． 16．(25-26八上·上海黄浦区·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据方程有两个根可得，再结合即可解决问题； （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． （2）解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 17．(25-26九上·江西抚州南城县·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一根为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为n，由根与系数的关系可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为n， 则， ∴， ∴，方程的另一根为． 18．已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查含参方程的根的个数以及一元二次方程根与系数的关系，注意判别方程的形式是解题的关键． （1）由于题干未明确方程形式，故对与进行分类讨论，要使方程有根，一次方程满足题意要求，二次方程需满足，计算得出的取值范围即可； （2）既然方程有两个根，即为二次方程，故根据二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为； （2）解：∵和是方程的有两个根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得，满足， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ∴的值为． 19．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2043 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据二次项系数 且判别式大于零列式求解即可； （2）把代入方程得到 ，由两根为 和 ，得出 ，，，然后将原式变形为求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， ∴或， 解得或， 综上可知，或且． （2）解：取满足（1）中条件的最小正整数，即． 代入方程得， 设两根为和，则，，， ∴，， ． 1．阅读：已知，求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴是方程的根， ∴，即． 利用以上方法，求证：（m、n为非零实数） 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式．当即时，验证原不等式成立；当时，通过构造一个一元二次方程，并证明是该方程的根，从而利用判别式非负的性质证明不等式成立． 【详解】证明：当即时， ，， 此时； 当时， ∵ ； ∴， ∴是方程的根， ∴ ， 即， ∴． 2．已知关于x的一元二次方程． （1）判断这个一元二次方程的根的情况； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两条边长恰好是这个方程的两根，求k的值． 【答案】（1）有实数根；（2） 【分析】（1）根据根的判别式判断即可； （2）分4为腰和底边长计算即可； 【详解】（1）∵， ∴， ， ∴方程有实数根； （2）若腰为4时，则是方程的一个根， 则， ∴， ∴， 此时， 解得：，， ∵＞2，＞4， ∴符合题意； 若底边为4时，则方程有两个相等的实数根，则， ∴， 此时； ∴， ∵， ∴不符合题意； ∴k的值是． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，结合等腰三角形的性质计算是解题的关键． 3．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 【答案】（1）见详解；（2）4＋或4＋. 【分析】（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论. （2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算. 【详解】解：（1）证明：∵△=[-（m＋2）] 2－4（2m－1）=（m－2）2＋4， ∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0. ∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根. （2）∵此方程的一个根是1， ∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0， 解得，m=2， 则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3. ①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋. ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋. 4．(2023·福建省泉州市石狮市·模拟)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)求与的值．（用含k的式子表示） (3)①若，，可由结合，求解k的取值范围．请求出k的取值范围． ②，，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；② 【分析】（1）求出，根据一元二次方程根的判断式的意义可得结论； （2）根据根与系数的关系可得，，然后对所求式子变形，整体代入即可； （3）①根据根与系数的关系可得，，解不等式组可得k的取值范围； ②根据已知求出，，可得；再由得到，解不等式组可得k的取值范围． 【详解】（1）证明：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系得：，， ∴； ； （3）①∵，， ∴，， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∴，即 ∴，即， ∴， ∴， 综上，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判断式的意义，根与系数的关系，分式的加法，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握根与系数的关系：若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 5．(20-21九上·内蒙古呼和浩特剑桥中学·期中)已知、满足，，求的值． 【答案】2或-47 【分析】由a，b满足，，可分别从与去分析求解，注意当，则a，b是关于x的方程的两根，再利用根与系数的关系求解即可； 【详解】∵、满足，， ∴若，则； 若，则a，b是关于x的方程的两根， ∴，， ∴， ∴； ∴值为2或-47． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，准确分析计算是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $