第五单元 数学广角——鸽巢问题讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学六年级下册

第五单元 数学广角——鸽巢问题 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基本概念 1 二、鸽巢原理核心内容 1 三、解题步骤与方法 2 四、易错点梳理 2 考点讲练 2 考点一：鸽巢问题初步 3 考点二：鸽巢问题进阶 5 考点三：最不利原则 8 综合训练 10 知识梳理 一、基本概念 1.鸽巢与鸽子：在鸽巢问题中，“鸽巢”指存放物体的“抽屉”，“鸽子”指待分配的“物体”。例如：将书放入抽屉，抽屉是“鸽巢”，书是“鸽子”；把苹果放进盘子，盘子是“鸽巢”，苹果是“鸽子”。 2.“至少”的含义：表示“最少有一个”，即在所有可能的分配情况中，存在一个抽屉里的物体数量不少于该数值，并非所有抽屉都达到该数量。 二、鸽巢原理核心内容 原理1：简单鸽巢原理（物体数=抽屉数+1） 内容：把n+1个物体放进n个抽屉里（n为非0自然数），总有一个抽屉里至少放进2个物体。 解释：假设每个抽屉先放1个物体，n个抽屉共放n个物体，剩余的1个物体无论放进哪个抽屉，该抽屉就有2个物体。 举例：把5支铅笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放2支铅笔（5=4+1，每个笔筒先放1支，剩1支任意放，某笔筒有2支）。 原理2：一般鸽巢原理（物体数>抽屉数×k，k为正整数） 内容：把多于kn个物体放进n个抽屉里（k为正整数，n为非0自然数），总有一个抽屉里至少放进k+1个物体。 公式：若物体数为m，抽屉数为n，则。 举例：把7本书放进3个抽屉，。 三、解题步骤与方法 1. 确定“鸽子”与“鸽巢” 明确题目中待分配的物体（鸽子）和存放物体的容器（鸽巢）。例如：“13名学生中至少有2人出生月份相同”，鸽子是“13名学生”，鸽巢是“12个月份”。 2. 计算鸽子数与鸽巢数 数清鸽子数量（m）和鸽巢数量（n）。 3. 应用原理计算至少数 若m\div n有余数（r>0），至少数=商+1；若无余数（r=0），至少数=商。 4. 常用解题方法 枚举法：适用于数量较少的情况，列出所有分配可能，直接观察至少数（如3个苹果进2个盘子，可能情况：3,0、2,1，至少数为2）。 假设法（最不利原则）：从最不利的情况考虑，先让每个抽屉放尽可能少的物体，再将剩余物体放入，确保“至少”的情况。例如：要保证摸出2个同色球，最不利情况是先摸出所有颜色各1个，再摸1个必同色。 四、易错点梳理 1.混淆“鸽子”与“鸽巢”：例如“从5双不同袜子中摸出几只保证有一双同色”，鸽巢是“5种颜色”，而非“袜子数量”。 2.“至少”的误解：认为“至少”是“所有抽屉都达到该数量”，实际是“存在一个抽屉达到该数量”。 3.计算至少数时忽略余数：当有余数时必须用“商+1”，无余数时直接用“商”，不可混淆。 考点讲练 考点一：鸽巢问题初步 【典例精讲】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 【答案】8名 【分析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型： 买一本的：有语文、数学、外语3种。 买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。 买三本的：有语文、数学和外语1种。 把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。 【详解】抽屉：3＋3＋1＝7（个） 学生：7＋1＝8（名） 答：至少要去8名学生。 【变式训练】一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王） 【答案】40张 【分析】“一定”是关键词，考虑运气最差的情况，54张牌中有四种花色的A到K，每种花色有13张，在运气最差的情况下，先将一种花色的牌全部摸完，再将一种花色的牌全部抽完，只有2张牌的点数是相同的，继续运气差，又摸了13张剩下的花色，又3张牌的点数是一样的，最后无论在剩下的花色种随意抽一张牌，正好可以保证4张牌的点数是相同的。 【详解】13＋13＋13＋1＝40（张） 答：至少抽40张，一定会有4张牌点数相同。 【点睛】这题最重要的是考虑最差的情况，最好的情况就是一下子4张正好是点数相同的牌，最差的情况是怎么样都摸不到相同的点数的牌。 【变式训练】按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 【答案】37个 【分析】把同学看作物品，星座看作抽屉，要保证至少有4个人在同一个抽屉，那么可以每个抽屉先放3个人，再在某一个抽屉中多放一个人。 【详解】（4－1）×12＋1 ＝3×12＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 答：至少找37个同学，才能保证有四个人是同一个星座。 【变式训练】为了发展和培养同学们的能力，学校开设了航模、科技、漫画三个社团，规定每个学生最多可以参加其中的两个社团（也可不参加）。那么，至少有多少名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同？ 【答案】204名 【分析】根据题意，学生参加社团的情况有：不参加社团的；只参加其中的一个社团的，有航模、科技、漫画3种；参加其中的两个社团的，有航模和科技、航模和漫画、科技和漫画3种。一共有1＋3＋3＝7种情况。把这7种情况看作7个抽屉，从最不利情况考虑，每个抽屉需要放30－1＝29（名）学生，共需要29×7＝203（名），再增加1个学生不论参加什么社团，总有一个抽屉的学生数量是29＋1＝30（名），所以至少有203＋1＝204（名）学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同。 【详解】通过分析可得： 1＋3＋3＝7 （30－1）×7＋1 ＝29×7＋1 ＝203＋1 ＝204（名） 答：至少有204名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同。 考点二：鸽巢问题进阶 【典例精讲】文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 【答案】4位 【分析】文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组参加1个课外学习小组的情况数为①文学、②数学、③英语、④美术的4种；参加2个课外学习小组的情况数为①文学、数学、②文学、英语、③文学、美术、④数学、文学、⑤数学、英语、⑥数学、美术的6种；参加3个课外学习小组的情况数为①文学、数学、英语、②文学、数学、美术、③文学、英语、美术、④数学、英语、美术的4种，参加4个课外学习小组的情况数为1种，情况数一共有15种，也就是抽屉数为15，再用物体数除以15，求出商，用商＋1就是至少数。 【详解】情况数一共：（种） （位） 答：至少有4位同学参加的学习小组相同。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握解决鸽巢问题的计算方法。 【变式训练】学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？ 【答案】14个 【分析】学生的报班情况可能有：画画和书法、画画和写作、写作和书法，共3种，看成3个抽屉，把40个学生看成40个苹果，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体；（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【详解】40÷3＝13……1 13＋1＝14（个） 答：这个班至少有14个学生报的兴趣班完全—样。 【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 【变式训练】把165本书分给六（3）班的学生，如果总有人至少分到5本书，那么六（3）班最多有多少人？ 【答案】41人 【分析】本题相当于是求抽屉数，如果没有余数，那么5就是商，用被除数165除以5，得到的就是抽屉数；如果有余数，那么余数至少是1，而此时商是4，164除以4得到抽屉数，然后进行比较。 【详解】（人） （人） 显然最多有41人； 答：六（3）班最多有41人。 【点睛】抽屉原理其实就是平均原则和最不利原则的体现，要使得数量最多的一个不那么突出，那么就尽可能平均分。 【变式训练】图书角有A、B、C、D四类书，六（1）班有42名学生，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，至少有几名学生所借的书的类型完全相同？ 【答案】5名 【分析】因为每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，所以借书的情况有10种∶A、B、C、D、、、、、、。把这10种情况看作10个抽屉，（名）……2（名），把42名学生看作42个苹果，根据鸽巢原理，每个抽屉里放4个苹果，还剩2个，这2个无论放在哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有个苹果，即至少有5名学生所借的书的类型完全相同。 【详解】（种） （名）……2（名） （名） 答：至少有5名学生所借的书的类型完全相同。 【点睛】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，是解题关键。 考点三：最不利原则 【典例精讲】把37名志愿者最多安排到几个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者？ 【答案】9个 【分析】根据题意可知，如果每个社区都安排4名志愿者，则有，则最多安排9个社区，必有一个社区里安排了5名志愿者，据此解答即可。 【详解】 答：把37名志愿者最多安排到9个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者。 【变式训练】把红、蓝、绿、黄4种颜色足够多的水彩笔放到盒子里，至少抽出多少支才能保证抽到3支颜色相同的水彩笔？ 【答案】9支 【分析】要保证抽到3支同色笔，先考虑“最不利”的抽法，每次都尽量抽到不同颜色，且每种颜色都先只抽到2支。已知有红、蓝、绿、黄4种颜色，每种颜色先抽2支，共抽：4×2＝8支。此时盒子里每种颜色都有2支，再抽1支，无论抽到哪种颜色，都能让该颜色的笔达到3支。 【详解】每种颜色先抽2支，再抽1支，都能让该颜色的笔达到3支。 4×2＋1 ＝8＋1 ＝9（支） 答：至少抽出9支才能保证抽到3支颜色相同的水彩笔。 【变式训练】盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？ 【答案】3个 【分析】根据最不利原则，第一次摸的球是红色，需要的是2个的同色，最不利的情况是不同色，则第二次摸的是蓝色的球。第3次无论摸哪种颜色的球都有2个同色。 【详解】2＋1＝3（个） 答：要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球。 【变式训练】把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？ 【答案】见详解 【分析】考虑最不利原则，假设前13只小猴分得的花生各不相同，从1一直加到13为91粒，还剩下2只小猴子分13粒花生，不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。 【详解】假设前13只小猴分得的花生各不相同，共有： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 ＝（1＋13）×13÷2 ＝14×13÷2 ＝91（粒） 还剩下花生：104－91＝13（粒） 还有小猴：15－13＝2（只） 不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。 答：至少有2只小猴分得的花生一样多，因为前13只小猴分得的花生各不相同后，剩下的2只小猴不管怎么分剩下的13粒花生，分得的花生粒数都只能是1～12粒，这样至少有2只小猴分得的花生一样多。 【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则进行分析是解题的关键。 综合训练 1．星星幼儿园的“樱桃”班里有18个小朋友，至少有（    ）个小朋友是在同一个月出生的。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】一年有12个月，班里有18名小朋友，假设1至12月，每月有一个生日，这时还剩下6名小朋友，这6名小朋友再平均分到1至6月，这样就可以知道，至少有2名小朋友是在同一个月出生的。 【详解】给18名小朋友编号：1-18号，其中1-12号分配给1到12个月，剩下的13至18号再分配给1到6月，这样可得：至少有2名小朋友是同一个月出生的。 故答案为：B 【点睛】要从最不利情况考虑，准确地建立小朋友和月份的对应关系。 2．一个盒子里装有大小相同的红、黄、白玻璃球各5个，至少取出（    ）个，才能保证取出至少2个同色的玻璃球。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】要保证有2个玻璃球颜色相同，最不利的情况是：每种颜色的玻璃球都先摸出1个，此时再摸1个，无论是什么颜色，都能使该颜色的玻璃球达到2个。 【详解】3＋1＝4（个） 所以至少取出4个，才能保证取出至少2个同色的玻璃球。 故答案为：B 3．木盒里有三种不同颜色的手套，它们形状大小材质完全相同，只有颜色不同。其中，红色5只，白色6只，蓝色7只。一次至少要摸出（    ）只，才能确保有两双不同色的手套（两只同色为一双）。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据最不利原则考虑，假设摸出7只都是蓝色的手套，那么再摸出2只，可能是红色和白色的手套各1只，那么再摸出1只，无论什么颜色，都能确保有两双不同色的手套，所以至少要摸出7＋2＋1＝10只，据此解答。 【详解】7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（只） 木盒里有三种不同颜色的手套，它们形状大小材质完全相同，只有颜色不同。其中，红色5只，白色6只，蓝色7只。一次至少要摸出10只，才能确保有两双不同色的手套。 故答案为：D 4．在某次演讲比赛中，共有11名选手获奖，他们来自7个不同的单位，总有1个单位至少有（    ）名选手获奖。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，个物体。（2）当 n能被m整除时，个物体。据此解答即可。 【详解】（名） （名） 总有1个单位至少有2名选手获奖。 故答案为：B 5．一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张牌。现从中任意抽牌，最少要抽（    ）张牌，才能保证有4张牌是同一花色。 A．13 B．17 C．19 D．27 【答案】A 【分析】考虑最不利情况，四种花色的牌各抽3张，一共抽4×3＝12张，此时再任意抽一张牌，一定有4张牌是同一花色，据此解答。 【详解】4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（张） 所以，最少要抽13张牌，才能保证有4张牌是同一花色。 故答案为：A 6．哈利想要竞选班长，全班一共100人参与投票，每人一票，得票最多的人当选。统计到第61张选票时，哈利获得35票，赫敏和罗恩分别获得10票和16票。尚未统计的选票中，哈利至少再得（    ）票就一定当选。 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】首先根据题意，求出未统计的选票有100﹣61＝39（张），哈利、罗恩相差35﹣16＝19（票），罗恩再连得19票就和哈利的票数相同；然后用39减去19，求出统计到第61张选票时，还剩下20（39﹣19＝20）票，20票的一半是10（20÷2＝10）票，哈利只要再获得的票数比10票多1票就一定可以当选班长，据此求解即可。 【详解】100－61＝39（票） 35－16＝19（票） （39－19）÷2＋1 ＝20÷2＋1 ＝10＋1 ＝11（票） 所以哈利至少再得11票就一定当选。 故答案选：B 7．口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外完全相同）各10个，一次最少摸出( )个球，才能保证至少有4个球颜色相同。 【答案】10 【分析】要保证至少有4个球颜色相同，需先考虑最不利的情况，即每种颜色的球都摸出3个（因为3个是不到4个球的最大数量），此时三种颜色共摸出的球数为每种颜色摸出的球数乘以颜色种类数，即（个），在最不利情况下已经摸出9个球，此时再摸出1个球，无论这个球是什么颜色，都会使得该颜色的球达到4个，所以用最不利情况下摸出的球数加1，即（个），据此解答。 【详解】由分析可知，口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外完全相同）各10个，一次最少摸出10个球，才能保证至少有4个球颜色相同。 【点睛】要保证至少有4个球颜色相同，需考虑最不利的情况，即每种颜色的球都摸出尽可能多但又不到4个球，再在此基础上加1个球，是解题的关键。 8．篮子里有苹果、梨、桃和橘子四种水果，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有( )个小朋友拿的水果是相同的。 【答案】9 【分析】首先应弄清不同的水果搭配有多少种，两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和橘子、梨和桃、梨和橘子、 桃和橘子。 所以不同的水果搭配共有（种），将这10种搭配作为10个“抽屉” （个） 根据抽屉原理，至少有（个）小朋友拿的水果相同。 【详解】根据分析可得：篮子里有苹果、梨、桃和橘子四种水果，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有（9）个小朋友拿的水果是相同的。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的方法的灵活应用。 9．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。一次至少要取出( )块木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块。 【答案】9 【分析】（1）抽屉原理最不利原则：考虑最坏情况，即每个号码都取了2块（未满足3块同号码的最大可能）。 （2） 计算最坏情况的总块数：4个号码2块8块。 （3）再取1块必满足条件：块。 【详解】根据分析可得： 一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。一次至少要取出（9）块木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的方法的灵活应用，这里要注意考虑最不利情况。 10．某班有一个小书架，40名同学可以任意借阅，小书架上至少要有( )本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书。 【答案】41 【分析】要想让同学们至少有一个能借到两本或两本以上的书，需要让书数比人数多1。 【详解】根据分析可得： 小书架上至少要有（41）本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书。 11．书箱里有4本《红楼梦》，3本《西游记》和2本《三国演义》，一次至少取出( )本书才能保证每种书至少有一本。 【答案】8 【分析】根据抽屉原理：考虑最差情况，4本《红楼梦》全部取出来，再把3本《西游记》全部取出来，那么再取一本书一定是《三国演义》，据此列式为4＋3＋1。 【详解】4＋3＋1 ＝7＋1 ＝8（本） 所以一次至少取出8本书才能保证每种书至少有一本。 12．某校六年级有8个班，在一次数学竞赛中，至少有( )人获奖才能保证获奖的同学中一定有3名同学在同一个班级。 【答案】17 【分析】已知六年级有8个班，要求获奖的同学中一定有3名同学在同一个班级，运气最差的情况为8个班级每个班各有2名同学，所以再多来1人，就能保证获奖的同学中一定有3名同学在同一个班级。 【详解】8×2＋1 ＝16＋1 ＝17（人） 至少有17人获奖才能保证获奖的同学中一定有3名同学在同一个班级。 13．一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 【答案】7顶 【分析】这是典型的 “抽屉原理” 问题，我们用最不利原则来分析： 最倒霉的情况，先把一种颜色的帽子全部摸完。 袋子里每种颜色各有6顶，假设先摸出的全是红色（或全是黑色），共6顶。 保证有两种颜色：此时再摸1顶，必然是另一种颜色。 因此，至少需要摸顶，才能保证有2种颜色的帽子。 【详解】（顶） 答：至少摸出7顶帽子才能保证有2种颜色的帽子。 14．“六一”儿童节，学校布置会场，小芳帮忙往6个花瓶里插花，无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花。学校至少准备了多少枝鲜花？ 【答案】49枝 【分析】根据题意，要保证至少有一个花瓶里有9枝鲜花，最不利的情况是6个花瓶里都插了8枝鲜花，此时再向任意一个花瓶里插入1枝花， 就可以保证无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花，据此解答。 【详解】（枝） 答：学校至少准备了49枝鲜花。 15．六（1）班有40名同学，每人参加作文、书法、英语、舞蹈四项课外活动中的两项。至少有几名同学参加的课外活动完全是一样的？ 【答案】 7名 【分析】根据题意可知：“每人参加作文、书法、英语、舞蹈四项课外活动中的两项”即一共可以有（作文、书法；作文、英语；作文、舞蹈；书法、英语；书法、舞蹈；英语、舞蹈）6种选择，利用抽屉原理即可解答。 【详解】（名） （名） 答：至少有7名同学参加的课外活动完全是一样的。 16．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】7名 【分析】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。 【详解】38÷6＝6（名）……2（名） 6＋1＝7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 17．李华家里存放了2022年全年的《人民日报》（每日一份报纸），如果他从中任意取出13份报纸，那么至少有2份报纸是同一个月的。这种说法对吗？列式计算说明理由。 【答案】说法对；理由见详解 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体 【详解】13÷12＝1（份）……1（份） 1＋1＝2（份） 答：这种说法对。 【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 18．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【答案】5人 【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。 【详解】52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 【点睛】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。 19．小悦，冬冬和阿奇到费叔叔家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块。 【答案】见详解 【分析】把3人看作是3个抽屉，19块巧克力看做19个元素，考虑最差情况：把19块巧克力平均分配在3个抽屉中：19÷3＝6（块）⋯⋯1（块），那么每个抽屉都有6块，那么剩下的1块，无论放到哪个抽屉都会出现7块在同一个抽屉里。 【详解】19÷3＝6（块）⋯⋯1（块） 6＋1＝7（块） 答：所以一定有人至少拿到7块巧克力，那么此时其他两个人分得6块，所以不能保证一定有人拿到8块。 【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 20．10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同？ 【答案】4个 【分析】根据题意，三种游乐设施可组合成：碰碰车和摩天轮、碰碰车和旋转木马、摩天轮和旋转木马，共有3种组合；把10个小朋友平均分配给3种游乐设施组合，那么每种组合有3个小朋友，还剩下1个小朋友，无论把他放在哪个组合，总有一个组合至少有4个小朋友。 【详解】10÷3＝3（个）……1（个） 3＋1＝4（个） 答：至少有4个小朋友选的游乐设施组合相同。 【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解题。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 数学广角——鸽巢问题 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基本概念 1 二、鸽巢原理核心内容 1 三、解题步骤与方法 2 四、易错点梳理 2 考点讲练 2 考点一：鸽巢问题初步 3 考点二：鸽巢问题进阶 4 考点三：最不利原则 5 综合训练 6 知识梳理 一、基本概念 1.鸽巢与鸽子：在鸽巢问题中，“鸽巢”指存放物体的“抽屉”，“鸽子”指待分配的“物体”。例如：将书放入抽屉，抽屉是“鸽巢”，书是“鸽子”；把苹果放进盘子，盘子是“鸽巢”，苹果是“鸽子”。 2.“至少”的含义：表示“最少有一个”，即在所有可能的分配情况中，存在一个抽屉里的物体数量不少于该数值，并非所有抽屉都达到该数量。 二、鸽巢原理核心内容 原理1：简单鸽巢原理（物体数=抽屉数+1） 内容：把n+1个物体放进n个抽屉里（n为非0自然数），总有一个抽屉里至少放进2个物体。 解释：假设每个抽屉先放1个物体，n个抽屉共放n个物体，剩余的1个物体无论放进哪个抽屉，该抽屉就有2个物体。 举例：把5支铅笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放2支铅笔（5=4+1，每个笔筒先放1支，剩1支任意放，某笔筒有2支）。 原理2：一般鸽巢原理（物体数>抽屉数×k，k为正整数） 内容：把多于kn个物体放进n个抽屉里（k为正整数，n为非0自然数），总有一个抽屉里至少放进k+1个物体。 公式：若物体数为m，抽屉数为n，则。 举例：把7本书放进3个抽屉，。 三、解题步骤与方法 1. 确定“鸽子”与“鸽巢” 明确题目中待分配的物体（鸽子）和存放物体的容器（鸽巢）。例如：“13名学生中至少有2人出生月份相同”，鸽子是“13名学生”，鸽巢是“12个月份”。 2. 计算鸽子数与鸽巢数 数清鸽子数量（m）和鸽巢数量（n）。 3. 应用原理计算至少数 若m\div n有余数（r>0），至少数=商+1；若无余数（r=0），至少数=商。 4. 常用解题方法 枚举法：适用于数量较少的情况，列出所有分配可能，直接观察至少数（如3个苹果进2个盘子，可能情况：3,0、2,1，至少数为2）。 假设法（最不利原则）：从最不利的情况考虑，先让每个抽屉放尽可能少的物体，再将剩余物体放入，确保“至少”的情况。例如：要保证摸出2个同色球，最不利情况是先摸出所有颜色各1个，再摸1个必同色。 四、易错点梳理 1.混淆“鸽子”与“鸽巢”：例如“从5双不同袜子中摸出几只保证有一双同色”，鸽巢是“5种颜色”，而非“袜子数量”。 2.“至少”的误解：认为“至少”是“所有抽屉都达到该数量”，实际是“存在一个抽屉达到该数量”。 3.计算至少数时忽略余数：当有余数时必须用“商+1”，无余数时直接用“商”，不可混淆。 考点讲练 考点一：鸽巢问题初步 【典例精讲】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 【变式训练】一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王） 【变式训练】按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 【变式训练】为了发展和培养同学们的能力，学校开设了航模、科技、漫画三个社团，规定每个学生最多可以参加其中的两个社团（也可不参加）。那么，至少有多少名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同？ 考点二：鸽巢问题进阶 【典例精讲】文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 【变式训练】学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？ 【变式训练】把165本书分给六（3）班的学生，如果总有人至少分到5本书，那么六（3）班最多有多少人？ 【变式训练】图书角有A、B、C、D四类书，六（1）班有42名学生，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，至少有几名学生所借的书的类型完全相同？ 考点三：最不利原则 【典例精讲】把37名志愿者最多安排到几个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者？ 【变式训练】把红、蓝、绿、黄4种颜色足够多的水彩笔放到盒子里，至少抽出多少支才能保证抽到3支颜色相同的水彩笔？ 【变式训练】盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？ 【变式训练】把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？ 综合训练 1．星星幼儿园的“樱桃”班里有18个小朋友，至少有（    ）个小朋友是在同一个月出生的。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．一个盒子里装有大小相同的红、黄、白玻璃球各5个，至少取出（    ）个，才能保证取出至少2个同色的玻璃球。 A．3 B．4 C．5 D．6 3．木盒里有三种不同颜色的手套，它们形状大小材质完全相同，只有颜色不同。其中，红色5只，白色6只，蓝色7只。一次至少要摸出（    ）只，才能确保有两双不同色的手套（两只同色为一双）。 A．7 B．8 C．9 D．10 4．在某次演讲比赛中，共有11名选手获奖，他们来自7个不同的单位，总有1个单位至少有（    ）名选手获奖。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张牌。现从中任意抽牌，最少要抽（    ）张牌，才能保证有4张牌是同一花色。 A．13 B．17 C．19 D．27 6．哈利想要竞选班长，全班一共100人参与投票，每人一票，得票最多的人当选。统计到第61张选票时，哈利获得35票，赫敏和罗恩分别获得10票和16票。尚未统计的选票中，哈利至少再得（    ）票就一定当选。 A．10 B．11 C．12 D．13 7．口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外完全相同）各10个，一次最少摸出( )个球，才能保证至少有4个球颜色相同。 8．篮子里有苹果、梨、桃和橘子四种水果，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有( )个小朋友拿的水果是相同的。 9．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。一次至少要取出( )块木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块。 10．某班有一个小书架，40名同学可以任意借阅，小书架上至少要有( )本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书。 11．书箱里有4本《红楼梦》，3本《西游记》和2本《三国演义》，一次至少取出( )本书才能保证每种书至少有一本。 12．某校六年级有8个班，在一次数学竞赛中，至少有( )人获奖才能保证获奖的同学中一定有3名同学在同一个班级。 13．一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 14．“六一”儿童节，学校布置会场，小芳帮忙往6个花瓶里插花，无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花。学校至少准备了多少枝鲜花？ 15．六（1）班有40名同学，每人参加作文、书法、英语、舞蹈四项课外活动中的两项。至少有几名同学参加的课外活动完全是一样的？ 16．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 17．李华家里存放了2022年全年的《人民日报》（每日一份报纸），如果他从中任意取出13份报纸，那么至少有2份报纸是同一个月的。这种说法对吗？列式计算说明理由。 18．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 19．小悦，冬冬和阿奇到费叔叔家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块。 20．10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $