专题03 一元二次方程的概念和解法（专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题03 一元二次方程的概念和解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程的概念和一般形式 1 题型二、一元二次方程的解的相关计算 3 题型三、一元二次方程的解法-直接开平方法 7 题型四、一元二次方程的解法-配方法 8 题型五、一元二次方程的解法-公式法 11 题型六、一元二次方程的解法-因式分解法 13 题型七、一元二次方程的解法-换元法 16 题型八、配方法的应用-求最小值 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程的概念和一般形式 1．（25-26九年级上·青海西宁·期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且最高次数为2的整式方程），判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， 对于A： 是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，符合定义， 对于B： 含有两个未知数x和y，不是一元方程， 对于C： 含有分式，不是整式方程， 对于D： 化简后为 ，是一元一次方程，最高次数为1， ∴ 只有A是一元二次方程． 故选：A． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A. ，时不是一元二次方程，故此选项错误；     B. ，含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误； C. ，化简后方程为，是一元二次方程，此选项正确； D. ，化简后方程为，是一元一次方程，故此选项错误． 故选：C． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 4．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 5．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 题型二、一元二次方程的解的相关计算 1．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 2．（19-20八年级上·上海金山·期末）下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 3．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，首先根据是关于的一元二次方程的根，可得：，再利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 4．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，求代数式的值，利用方程根的定义，将代入方程后变形即可求解． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ， ∴ ， 故选A． 6．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．0 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和代数式求值. 由方程根的性质得出的值，再整体代入代数式求解，即可解题． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 故选：A． 7．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解的确定，熟练掌握“通过函数值的变化趋势确定方程解的区间”是解题的关键． 通过对比表格中的取值与1.1的大小关系，确定方程解的区间． 【详解】解：∵当时，， ∵当时，， ∵随的增大而增大， ∴方程的一个解在与之间，即， 故选：C． 8．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是． 故选：C． 9．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将方程的根代入原方程建立关于参数的方程是解题的关键． 将已知根代入一元二次方程，建立关于的方程并求解即可． 【详解】解：把代入方程得： ，即， 解得． 故答案为：． 15．若关于x的一元二次方程有一根为2，则c的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程，得到关于c的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为2， ∴把代入得， 解得， 故答案为：． 10．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三、一元二次方程的解法-直接开平方法 1．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴，． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）先将方程整理为，再利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解： ， ∴， ∴. 3．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了平方根，先移项，得，根据平方根的定义，算出的平方根； （2）本题考查了立方根，先移项，得，两边同时除以，得，将看作整体，求出的立方根，再解关于的一元一次方程． 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ． 4．（23-24九年级上·广西来宾·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 开方，得， 解得，． 题型四、一元二次方程的解法-配方法 1．解下列一元二次方程． (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用配方法进行解方程即可； （2）利用因式分解进行解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 令或 解得，． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键．根据配方法将方程变形，写出完全平方的形式，即可求解． 【详解】解：配方，得， 即．                两边开平方，得 ， 即，或， ，． 4．阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，① 两边同除以2，得，② 配方，得，③ 即， 或，④ ，．⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；等式两边没有同时加4 (2)见解析 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程： （1）步骤③中，等式两边没有同时加4； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤 ③（填序号），错误的原因是等式两边没有同时加4； 故答案为：③ ，等式两边没有同时加4； （2）解：移项，得， 两边同除以2，得， 配方，得，即， 或， ，． 题型五、一元二次方程的解法-公式法 1．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 习题2：． 解：，第一步 ，第二步 ．第三步 (1)习题1的解答过程是从第___________步开始出现错误的；习题2的解答过程是从第___________步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)三，一 (2)习题1：；习题2：． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解答本题的关键． （1）根据择习题1和习题2的解题步骤分析即可； （2）分别根据公式法和因式分解法的步骤求解即可． 【详解】（1）解：根据，可知习题1从第三步开始出现错误； 根据可能等于0，可知习题2从第一步开始出现错误； （2）解：选择习题1： ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 选择习题2： 解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， ∴，． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，， 解得，． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键． 利用求根公式进行解方程即可． 【详解】解：， 判别式， 则， 解得，． 4．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得． 题型六、一元二次方程的解法-因式分解法 1．选择适当的方法解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （3）把当成一个整体，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （4）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵ ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 2．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴或 ∴，． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择适当的方法进行计算是解此题的关键． （1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）原方程左边为完全平方式，利用因式分解法，再用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：提公因式得， 即或， 解得，； （2）解：原方程化为， 解得． 4．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． 对方程进行变形化简，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 5．（25-26八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，通过换元法将方程转化为关于y的一元二次方程，因式分解后求解y，再代回解． 【详解】解：设，则原方程化为， 因式分解，得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为：． 题型七、一元二次方程的解法-换元法 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 2．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）先换元，再求出的值，最后求出答案即可； （2）先换元，再求出的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：设， 则原方程可化为：， 即， 解得，， ∵时，，，无解． ∴． 3．（25-26九年级上·福建三明·期中）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 4．阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)2020 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）根据已知得出，即可求解； （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为，得出，即可求解． 【详解】（1）解：（1）． ∵，， ∴． ∴的最小值是. （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为， 根据题意，得． ∵，∴．∴． ∴当时，有最大值，最大值是． ∴围成的菜地的最大面积是． 题型八、配方法的应用-求最小值 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 2．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 【答案】(1)， (2)大，最值为 (3) 【分析】（）根据题例解答方法解答即可； （）把多项式转化为，进而由得，即得到，即可求解； （）由得，即得，，进而求出三角形的周长即可； 本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵对于任意实数都有， ∴当时，的最小值是， ∴， 当时，有最小值是， 故答案为：；； （2）解： ， ∵对于任意实数都有， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为， 故答案为：大； （3）解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 3．阅读材料： 形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， 即的最小值为-1． 问题解决： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为___________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3)最小值为1 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解、求最值等知识点熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据完全平方公式即可解答； （2）利用配方法把配凑成，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （3）将配凑成，利用完全平方公式及其非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ∴， ∴， ∴，解得：或． 故答案为：或． （2）解： ． （3）解：， ， ， 的最小值为1． 4．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 5．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ 1．（25-26八年级上·湖南湘西·期末）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)填空：多项式的最小值为______； (2)若满足，求的值； (3)已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了配方法、因式分解以及作差法比较大小： （1）通过配方法将多项式转化为平方项减常数的形式，利用平方的非负性求最小值； （2）把等式左边拆分为两个完全平方式的和，根据非负数的性质求出的值，再代入计算； （3）通过作差法比较与的大小，将差式配方后，利用平方的非负性判断差的正负，从而确定大小关系． 【详解】（1）解：， ， ． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ． （3）解： ， ， ， 即， 则． 2．（25-26八年级上·四川资阳·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”例如，是一个“和美数”，理由是：因为，所以是“和美数”． (1)在三个数中，是“和美数”的有_______； (2)已知（是整数，k是常数），要使为“和美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； (3)已知实数满足，求的最大值． 【答案】(1) 和 (2) ，理由见解析 (3) 最大值为 【分析】（）根据定义，尝试将目标数拆分为两个整数的平方和，能拆分则为和美数，反之则不是； （）根据为和美数，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （）由已知等式表示出，再代入，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：，符合定义，是和美数； 尝试整数平方和， (非平方数)； (非平方数)；(非平方数)，故不是和美数； ，符合定义，是和美数； 故答案为：和； （2）解：当时，为“和美数”，理由如下： ， ∵ ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∴ ． 当时，最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、二次函数求最值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．已知． (1)求的最小值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)，，，或，，， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方法的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，则原式化简得，由配方法求最值的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，则，，所以，由得到，令，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， ， ∴， ， ，令， ， ，即， 整理得， 解得， ，，，或，，，． 4．阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程： (3)已知满足方程，结合换元法的思路，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)14或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，换元法解分式方程，公式法因式分解，将原式进行正确的换元是解题的关键． （1）设则原方程化为即可． （2）设，则原方程化为，解方程检验即可； （3），从而得到关于a的一元二次方程，解方程并代入求值即可． 【详解】（1）解：若方程，设，则原方程可化为， 故答案为：； （2），设， 则原方程可化为， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． （3）设， 则原方程为， ， ， ， 当时，， 当时， 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 【答案】(1) ， (2) ， (3) 【分析】（1）将方程变形为平方差形式后，通过计算求出的值，进而得到t的解，再代回换元式求出x的解； （2）通过换元将原方程变形，再取两个因式的平均值换元，转化为平方差形式求解，最后代回换元式得到x的解； （3）归纳出当一元二次方程可化成形如（m、n、p为常数）的形式时，可采用材料中的方法求解． 【详解】（1）解：∵ 第二步得到方程， 根据平方差公式， ∴ 可变形为， 即， 计算得，则， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得，． （2）∵ 原方程为，令，则方程变形为， 进一步整理为， 取两个多项式的平均值，令，设，， ∴ 原方程可化为， ∵ ， ∴ ，即，解得， 当时，，得； 当时，，得； 又∵ ， ∴ 或 ， 解得，． （3）∵ 材料中的方法本质是平方根法的推广，通过对两个一次因式取平均值换元，转化为平方差形式求解， ∴ 当一元二次方程可化成形如（其中、、为常数）的方程时，可用材料中的方法求解． 【点睛】本题主要考查平方差公式、换元法在一元二次方程求解中的应用，以及一元二次方程的结构归纳，掌握通过换元将复杂方程转化为平方差形式的技巧，和对特定形式方程的识别及对应解法的应用是解题的关键． 6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，． 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，________；________． (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想． (3)当时，令，且，若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)6 【分析】本题考查利用完全平方公式进行计算、二次根式的运算及解一元二次方程，理解题意，得出相应规律是解题关键． （1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）根据可得，代入、的值，根据得出关于的一元二次方程，解方程得出的值，根据是正整数即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ， ∴， ， 故答案为：； （2）解：猜想结论：， ． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵是正整数， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的概念和解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程的概念和一般形式 1 题型二、一元二次方程的解的相关计算 2 题型三、一元二次方程的解法-直接开平方法 3 题型四、一元二次方程的解法-配方法 3 题型五、一元二次方程的解法-公式法 4 题型六、一元二次方程的解法-因式分解法 4 题型七、一元二次方程的解法-换元法 5 题型八、配方法的应用-求最小值 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程的概念和一般形式 1．（25-26九年级上·青海西宁·期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 4．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 5．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 题型二、一元二次方程的解的相关计算 1．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（19-20八年级上·上海金山·期末）下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 4．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， A．， B．， C．， D．， 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 6．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．0 7．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 8．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 9．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 15．若关于x的一元二次方程有一根为2，则c的值是 ． 10．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 题型三、一元二次方程的解法-直接开平方法 1．解方程： 2．解方程： (1) (2) 3．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 4．（23-24九年级上·广西来宾·期中）解方程：． 题型四、一元二次方程的解法-配方法 1．解下列一元二次方程． (1)； (2) 2．解方程： (1)； (2)． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）用配方法解方程：． 4．阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，① 两边同除以2，得，② 配方，得，③ 即， 或，④ ，．⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 题型五、一元二次方程的解法-公式法 1．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 习题2：． 解：，第一步 ，第二步 ．第三步 (1)习题1的解答过程是从第___________步开始出现错误的；习题2的解答过程是从第___________步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）解方程：． 3．解方程：． 4．解方程： 题型六、一元二次方程的解法-因式分解法 1．选择适当的方法解方程． (1) (2) (3) (4) 2．解下列方程： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）解方程： (1) (2) 4．解方程： 5．（25-26八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 题型七、一元二次方程的解法-换元法 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 2．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 3．（25-26九年级上·福建三明·期中）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 4．阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 题型八、配方法的应用-求最小值 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 2．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 3．阅读材料： 形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， 即的最小值为-1． 问题解决： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为___________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 4．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 5．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． ∴ 1．（25-26八年级上·湖南湘西·期末）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)填空：多项式的最小值为______； (2)若满足，求的值； (3)已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 2．（25-26八年级上·四川资阳·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”例如，是一个“和美数”，理由是：因为，所以是“和美数”． (1)在三个数中，是“和美数”的有_______； (2)已知（是整数，k是常数），要使为“和美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； (3)已知实数满足，求的最大值． 3．已知． (1)求的最小值． (2)若，求的值． 4．阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程： (3)已知满足方程，结合换元法的思路，求的值． 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，． 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，________；________． (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想． (3)当时，令，且，若，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $