第三单元 圆柱和圆锥讲义（知识梳理+考点讲练+ 举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学六年级下册

第三单元 圆柱和圆锥 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、圆柱的认识 1 二、圆柱的表面积 1 三、圆柱的体积 2 四、圆锥的认识 2 五、圆锥的体积 3 六、圆柱与圆锥的关系 3 考点讲练 3 考点一：圆柱的认识 3 考点二：圆柱的表面积 6 考点三：圆柱的体积 7 考点四：圆锥的认识 10 考点五：圆锥的体积 13 综合训练 16 知识梳理 一、圆柱的认识 1.定义：以矩形的一边所在直线为轴，其余三边旋转一周所形成的立体图形叫做圆柱。 2.各部分名称 底面：圆柱上下两个完全相同的圆面，分别称为上底面和下底面。 侧面：圆柱周围的曲面，展开后一般是一个长方形（或正方形）。 高：两个底面之间的距离，圆柱有无数条高，且所有高的长度都相等。 3.特征 底面是两个大小相等的圆，圆心的连线垂直于底面。 侧面是一个曲面，沿高展开后，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高；若底面周长等于高，则展开后是正方形。 二、圆柱的表面积 1.侧面积 定义：圆柱侧面展开后得到的长方形（或正方形）的面积。 推导过程：侧面展开图的长=底面周长，宽=圆柱的高h，因此侧面积=底面周长×高。 公式：。 2.表面积 定义：圆柱的表面积是侧面积与两个底面面积之和。 公式：。 3.实例：一个圆柱底面半径是3cm，高是5cm，求表面积。 侧面积 底面积： 表面积： 三、圆柱的体积 1.推导过程：将圆柱沿底面半径和高切成若干等份，拼成一个近似的长方体。长方体的底面积等于圆柱的底面积S，高等于圆柱的高h，因为长方体体积=底面积×高，所以圆柱体积=底面积×高。 2.公式： 3.实例：一个圆柱底面直径是4dm，高是6dm，求体积。 底面半径： 底面积： 体积 四、圆锥的认识 1.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周所形成的立体图形叫做圆锥。 2.各部分名称 底面：圆锥下方的一个圆面。 侧面：圆锥周围的曲面，展开后是一个扇形。 高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 3.特征 底面是一个圆，顶点与底面圆心的连线垂直于底面。 侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线（圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离）。 五、圆锥的体积 1.推导过程：通过实验可知，等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的。 2.公式：。 3.实例：一个圆锥底面半径是2cm，高是9cm，求体积。 底面积： 体积： 六、圆柱与圆锥的关系 1.等底等高时：圆锥体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍。 2.体积相等、底面积相等时：圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的。 3.体积相等、高相等时：圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，圆柱的底面积是圆锥底面积的。 考点讲练 考点一：圆柱的认识 【典例精讲】请在正确的圆柱的展开图下面的括号里打“√”。（单位：cm） ( )             ( )               ( )          ( ) 【答案】（√）；（    ）；（√）；（   ）。 【分析】圆柱的侧面沿高剪开，展开后是一个长方形，上下底面是两个相同的圆，圆周长是圆柱的底面周长，也就是展开后长方形的长。 【详解】侧面展开后是一个长是9.42厘米、宽是4厘米的长方形，底面圆的周长是（厘米），，所以是圆柱的展开图。 侧面展开后是一个长是12.56厘米、宽是4厘米的长方形，底面圆的周长是（厘米），，所以不是圆柱的展开图。 由于在侧面上是沿一曲线剪开，侧面展开后不是一个长方形，但可以通过剪、移、拼成一个长是6.28厘米的长方形，底面圆的周长是（厘米），，所以是圆柱的展开图。 侧面展开后是一个边长是3厘米的正方形，底面圆的周长是（厘米），所以不是圆柱的展开图。        （     √    ）                            （              ）                              （         √   ）                             （             ） 【变式训练】将一个底面直径是8cm、高是5cm的茶叶罐的商标纸按下图所示的方式沿高剪开，再展开，得到一个长方形。在括号内写出长方形的长和宽各是多少。 【答案】25.12cm；5cm 【分析】根据题意，圆柱体沿高展开，得到长方形，长方形的长就是圆柱体的底面周长，长方形的宽就是圆柱体的高，具体解答即可。 【详解】长方形的长：（厘米） 长方形的宽：5厘米 【变式训练】小明在研究圆柱时，发现有一个圆柱的侧面沿高展开得到一个正方形，这个圆柱的底面直径是6dm。这个圆柱的底面周长是( )dm，高是( )dm。 【答案】 18.84 18.84 【分析】圆柱的侧面沿高展开后，展开图是正方形，正方形的边长既等于圆柱底面周长，也等于圆柱的高。圆柱的底面是一个圆，已知底面直径为6dm，根据圆的周长公式：C＝πd（π取3.14，d为直径）。代入数据计算得：3.14×6＝18.84dm。圆柱的高与底面周长相等，所以高也是18.84dm。 【详解】正方形的边长既等于圆柱底面周长，也等于圆柱的高。 3.14×6＝18.84（dm） 这个圆柱的底面周长是18.84dm，高是18.84dm。 【变式训练】一个圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形。如果这个圆柱的底面半径是5厘米，那么这个圆柱的高是( )厘米。 【答案】31.4 【分析】根据题意可知，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形，则圆柱的底面周长等于圆柱的高，根据圆的周长＝π×半径×2，代入数据，即可求出圆柱的底面周长，也就是圆柱的高。 【详解】3.14×5×2 ＝15.7×2 ＝31.4（厘米） 一个圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形。如果这个圆柱的底面半径是5厘米，那么这个圆柱的高是31.4厘米。 考点二：圆柱的表面积 【典例精讲】求圆柱的表面积。 【答案】408.2cm2 【分析】已知圆柱的直径为10cm，高为8cm，先根据圆柱底面直径求出半径，再根据圆柱表面积公式S＝πd×h＋π×2计算出表面积。 【详解】3.14×10×8＋3.14×（10÷2）2×2 ＝251.2＋3.14×25×2 ＝251.2＋157 ＝408.2（cm2） 所以，这个圆柱的表面积为408.2cm2。 【变式训练】把一个圆柱切割后拼成一个近似长方体，它的表面积( )。 【答案】 变大 【分析】圆柱切割后拼成近似长方体，体积不变，但表面积发生变化。圆柱的表面积包括两个底面和侧面，而拼成的长方体表面积在圆柱表面积的基础上增加了两个侧面，每个侧面的面积是圆柱的半径乘高，因此表面积变大。 【详解】圆柱的表面积公式为：2×π×r² ＋ 2×π×r×h。将圆柱切割拼成近似长方体后，长方体的长相当于圆柱底面周长的一半（即π×r），宽相当于圆柱的半径（r），高相当于圆柱的高（h）。长方体的表面积公式为：2×（长×宽 ＋ 长×高 ＋ 宽×高） ＝ 2×（π×r×r ＋ π×r×h ＋ r×h） ＝ 2×（π×r² ＋ π×r×h ＋ r×h） ＝ 2×π×r² ＋ 2×π×r×h ＋ 2×r×h。比较圆柱和长方体的表面积，长方体比圆柱多了2×r×h，因此表面积变大。 【变式训练】圆柱的底面半径是3dm，高是5dm，沿高展开后得到的这个长方形的长是（    ）dm，宽是（    ）dm。 ①5    ②8    ③15.7   ④18.84 A．①；④ B．②；③ C．③；④ D．④；① 【答案】D 【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，宽＝圆柱的高，根据圆柱底面周长＝2×圆周率×底面半径。 【详解】2×3.14×3＝18.84 沿高展开后得到的这个长方形的长是18.84dm，宽是5dm。 故答案为：D 【变式训练】如图，一个圆柱形茉莉花茶罐的底面半径是6cm，高是10cm。它的侧面贴了一张包装纸，如果沿虚线剪开后可以得到一个平行四边形。这张包装纸的面积是( )cm2。 【答案】376.8 【分析】根据题意，在圆柱形茶罐的侧面贴了一张包装纸，求包装纸的面积，就是求圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，代入数据计算，求出这张包装纸的面积。 【详解】2×3.14×6×10 ＝37.68×10 ＝376.8（cm2） 这张包装纸的面积是376.8cm2。 考点三：圆柱的体积 【典例精讲】有一个正方体纸盒，其中恰好能装入一个体积是的圆柱。这个纸盒的体积是多少？ 【答案】64立方分米 【分析】正方体纸盒恰好能装入一个圆柱，说明圆柱的底面直径正好等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长。因此，圆柱的体积为，可得到（立方分米），所以正方体的体积为，再把的数值代入此公式，可得到这个纸盒的体积，据此解答。 【详解】由分析可知， （立方分米） 正方体纸盒的体积：（立方分米） 答：这个纸盒的体积是64立方分米。 【点睛】本题考查圆柱的体积的应用，理解正方体纸盒恰好能装入一个圆柱，说明圆柱的底面直径正好等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，是解题的关键。 【变式训练】一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【答案】0.0785立方米 【分析】先根据1米＝100厘米，把单位统一，再利用圆柱的体积＝底面积×高，分别求出以外部直径为30厘米，长2米的圆柱形钢管的体积和以内部直径为20厘米，长2米的圆柱形钢管的体积，再把两个体积相减，可得到这个钢管需要钢材的体积，据此解答。 【详解】30厘米＝0.3米 20厘米＝0.2米 （立方米） 答：要制造这根钢管需要0.0785立方米的钢材。 【点睛】本题考查圆柱形体积的应用，要理解圆柱形钢管是空心的圆柱形，用外部圆柱形的体积减去内部圆柱形的体积，进而得到圆柱形钢管的体积，是解题的关键。 【变式训练】一个圆柱形大花坛的底面内直径为20m，高为0.8m。如果花坛里面填入沙土的高度为0.5m，那么花坛中填入沙土多少立方米？ 【答案】157立方米 【分析】先根据花坛的底面直径依次求出底面半径和底面积，再根据圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入求出需要填的土的体积。 【详解】 （立方米） 答：花坛中填入沙土157立方米。 【变式训练】一个输液瓶内有100mL药液，输液时要将输液瓶倒置。如果每分钟输液2.5mL，输液12分钟后瓶内所剩药液情况如下图所示。这个输液瓶的容积是( )mL。 【答案】150 【分析】根据输液速度×输液时间，求出已输药液的体积；再用全部药液的体积-已输药液体积，求出剩余药液的体积；由图可知，瓶内空白部分的体积是80mL，最后用空白部分的体积＋剩余药液的体积，即可求出输液瓶的容积，据此解答。 【详解】已输药液：（mL） 剩余药液的体积：（mL） 输液瓶的容积：（mL） 因此，这个输液瓶的容积是150mL 【点睛】根据输液瓶容积＝剩余药液的体积＋空白部分的体积，计算出瓶内剩余药液体积是解答题目的关键。 考点四：圆锥的认识 【典例精讲】如图所示是一块带有圆形和三角形空洞的木板。下面物体中，既能堵住圆形空洞，又能堵住三角形空洞的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】圆锥的俯视图是圆，正视图是三角形，满足条件的空间几何体的三视图中含有圆和三角形就是圆锥，据此解答。 【详解】 根据分析可知，如图所示是一块带有圆形和三角形空洞的木板。下面物体中，既能堵住圆形空洞，又能堵住三角形空洞的是。 故答案为：B 【变式训练】下面各图中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直角三角形绕一条直角边旋转时，另一条直角边形成圆锥底面圆，斜边形成圆锥侧面；所以圆锥是由一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的立体图形。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A.  该图形绕斜边进行旋转，绕直线旋转一周不能得到圆锥。 B. 该图形是梯形，绕直线旋转一周得到的是圆台，不是圆锥。 C. 该图形是半圆，绕直线旋转一周得到的是球，不是圆锥。 D. 该图形是直角三角形，绕着一条直角边旋转一周可以得到一个圆锥。 故答案为：D。 【变式训练】长征二号F遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 【答案】288平方分米 【分析】从题意可知：这个长方体的玻璃盒的长＝宽＝圆柱的底面直径＝4分米，高＝16分米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算，即可求出需要玻璃的面积。 【详解】（4×4＋4×16＋4×16）×2 ＝（16＋64＋64）×2 ＝144×2 ＝288（平方分米） 答：制作这个玻璃盒至少要288平方分米的玻璃。 【变式训练】如图所示，有一个立体图形，其底面圆的半径是3厘米，两个高分别为6厘米、8厘米。求出该立体图形的体积。 【答案】197.82立方厘米 【分析】这个立体图形是由高6厘米的圆柱和高（8－6）厘米的圆柱体积的一半组成，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算。 【详解】3.14×32×6＋3.14×32×（8－6）÷2 ＝3.14×9×6＋3.14×9×2÷2 ＝169.56＋28.26 ＝197.82（立方厘米） 该立体图形的体积是197.82立方厘米。 考点五：圆锥的体积 【典例精讲】如图，圆锥形杯子与圆柱形容器的底面积相等。将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满（    ）杯。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】一个等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由题意可知，圆柱和圆锥的底面积相等，但圆柱的高是圆锥的3倍，相当于求3个等底等高的圆柱的体积是一个等底等高圆锥的几倍。 【详解】3×3＝9（杯） 因此将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满9杯。 故答案为：C 【变式训练】一个圆柱的底面直径是4分米，高是6分米，它的表面积是( )平方分米，一个与它等底等高的圆锥的体积是( )立方分米。 【答案】 100.48 25.12 【分析】（1）利用圆柱表面积公式，，（取3.14），由此代入数据即可解答； （2）先利用圆柱的体积公式求出这个圆柱的体积，等底等高的圆锥体积是圆柱的，再除以3即可得出等底等高的圆锥的体积。 【详解】（1）底面积： （平方分米） 侧面积： （平方分米） 表面积： （平方分米） （2）圆柱体积：（立方分米） 圆锥体积：（立方分米） 一个圆柱的底面直径是4分米，高是6分米，它的表面积是100.48平方分米，一个与它等底等高的圆锥的体积是25.12立方分米。 【变式训练】计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】12.56立方厘米；857.22立方厘米 【分析】观察图形可知：图一是一个底面直径是4厘米，高为3厘米的圆锥体，根据圆锥的体积公式：，代入数据计算即可； 图二是一个空心圆柱体，用大圆柱的体积－里面小圆柱的体积＝空心圆柱体的体积。且圆柱的体积公式：，且大圆柱的底面直径是10厘米，高是12厘米；小圆柱的底面直径是3厘米，高是12厘米，代入数据计算即可。 【详解】 ＝12.56（立方厘米） 所以这个圆锥体的体积是12.56立方厘米。 ＝78.5×12－7.065×12 ＝942－84.78 ＝857.22（立方厘米） 所以这个空心圆柱体的体积是857.22立方厘米。 【变式训练】一个圆锥形黄沙堆，底面直径是8米，高是3米，1立方米的黄沙约重1.5吨。这堆黄沙大约重多少吨？如果用载重8吨的汽车运这堆黄沙，至少几次可以运完？ 【答案】75.36吨；10次 【分析】圆锥形黄沙堆，底面直径是8米，则半径为8÷2＝4米，高是3米，圆锥体积公式为：V＝πr2h（r是底面半径，h是高，π取3.14）。所以黄沙堆的体积为：×3.14×42×3＝50.24（立方米）。1立方米黄沙约重1.5吨，根据总重量＝体积×单位重量，总重量为50.24×1.5＝75.36（吨）。用载重8吨的汽车运输，次数＝总重量÷汽车载重，75.36÷8＝9.42（次）。由于运输次数需为整数，且9次无法运完所有黄沙，因此需要“进一法”取整，至少需要10次。 【详解】8÷2＝4（米） ×3.14×42×3 ＝×3.14×16×3 ＝3.14×16 ＝50.24（立方米） 50.24×1.5＝75.36（吨） 75.36÷8＝9.42（次） 运输次数需为整数，且9次无法运完所有黄沙，向上取整为10次。 答：这堆黄沙大约重75.36吨，如果用载重8吨的汽车运这堆黄沙，至少10次可以运完。 综合训练 1．把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分的质量是4kg，则这段圆柱形钢材的质量是（    ）kg。 A．24 B．6 C．12 D．8 【答案】B 【分析】圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，说明圆柱与圆锥等底等高，此时圆柱体积是圆锥体积3倍，设圆锥体积1份，则圆柱体积3份，圆柱削成最大圆锥，削去2份，对应质量是4千克，据此算出1份质量，再算出圆柱3份的质量。 【详解】（千克） 故答案为：B 2．将一根5dm长的圆柱形木料沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了。这根木料的直径是（    ）。 A．4dm B．2dm C．8dm D．6dm 【答案】B 【分析】将一根5dm长的圆柱形木料沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了20平方分米，增加了2个长方形，长方形的长等于圆柱的底面直径，宽等于圆柱的高，则1个长方形的面积是平方分米，则圆柱的底面直径是分米。 【详解】由分析可得： 这根木料的直径是2分米。 故答案为：B 3．一个圆柱形水桶的容积是，里面装了桶的水。已知水桶的内底面积是，水面的高是（    ）dm。 A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】A 【分析】用水桶的容积乘，求出水的容积，再除以水桶的内底面积，可得到水的高度，再根据1米＝10分米，把单位换算成分米作单位，据此解答。 【详解】（立方米） （米） 2米＝20分米 所以水面的高是20分米。 故答案为：A 4．一个盛水的圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块铁块放入这个容器中（铁块全部浸没在水中），水面上升2cm。这块铁块的体积是（    ）。 A．628 B．157 C．125.6 D．78.5 【答案】B 【分析】铁块放入盛水容器中，水上升的体积就是铁块的体积，据此解答。 【详解】（cm3） 故答案为：B 5．一个圆锥形铁块的底面积为20cm2，高为9cm。把圆锥完全浸没在盛有水的内底面积为30cm2的圆柱形容器里（水没有溢出），水面升高（    ）cm。 A．4 B．6 C．3 D．2 【答案】D 【分析】把圆锥浸没在圆柱形容器的水中，水无溢出，说明容器中水上升部分的体积等于圆锥的体积。 根据圆锥的体积公式V＝Sh，先算出圆锥的体积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，推出h＝V÷S，解答即可。 【详解】×20×9 ＝×9 ＝60（cm3） 60÷30＝2（cm） 水面升高2厘米。 故答案为：D 6．小明制作了一个圆锥形容器（如图），并往里面灌满了水，将圆锥形容器里的水倒入（    ）容器中，刚好能装满。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据V圆柱＝Sh，V圆锥＝Sh可知，圆柱的高h圆柱＝V÷S，圆锥的高h圆锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等底面积等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此用圆锥的高除以3，求出圆柱的高。 【详解】 圆锥的底面直径是8，高是15，那么与它等底面积等体积的圆柱的底面直径应是8，高应是15÷3＝5。 所以，将圆锥形容器里的水倒入中，刚好能装满。 故答案为：B 7．一个正方体的棱长是4cm，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )。 【答案】50.24 【分析】正方体棱长为4cm，削成最大圆柱时，圆柱的底面直径等于正方体棱长，高也等于正方体棱长。根据圆柱的体积公式（取3.14，为底面圆的半径，是圆柱的高），圆的半径等于直径的一半。据此解答。 【详解】 （cm） 一个正方体的棱长是4cm，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是50.24cm。 8．一个棱长是4dm的正方体容器装满水，现将其中的水倒入一个底面积是的圆锥形容器里，正好装满。这个圆锥形容器的高是( )dm。 【答案】16 【分析】已知正方体容器的棱长是4dm，根据正方体的体积，代入数据即可求出正方体的容积，也就是水的体积；将水倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器装满，圆锥的体积等于水的体积，由圆锥的体积公式可知：，即可求出圆锥的高，据此解答。 【详解】正方体的体积：（dm3） 圆锥的体积：64dm3 圆锥的高：（dm） 因此，这个圆锥形容器的高是16dm。 9．如下图，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积等于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，长方体的体积与圆柱的体积( )，即圆柱的体积＝( )×( )。 【答案】 底面积 高 相等 底面积 高 【分析】通过将圆柱切拼成长方体，分析两者之间的关系来得出圆柱体积公式。 如图所示，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积是由圆柱底面的扇形拼接而成，所以长方体的底面与圆柱的底面相等；在切拼过程中，圆柱的高并没有发生变化，所以长方体的高与圆柱的高相等；因为是将圆柱切拼成长方体，物质的量没有增加或减少，所以长方体的体积与圆柱的体积相等。由长方体体积＝底面积×高，且长方体体积与圆柱体积相等，由此推出圆柱的体积公式，据此解答。 【详解】由分析可知，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积与圆柱的体积相等，即圆柱的体积＝底面积×高。 10．如下图，把一个底面直径为4cm、高为6cm的圆柱沿底面直径切割成两个半圆柱，表面积增加了( ) cm2。 【答案】48 【分析】增加的表面积是长为6cm、宽为圆柱直径的两个长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，求出1个长方形的面积，再乘2即可。 【详解】表面积增加：（平方厘米） 11．如下图，把一个底面直径为4cm、高为6cm的圆柱平行于底面截成两段小圆柱，表面积增加了 cm2。 【答案】25.12 【分析】把一个圆柱平行于底面截成两段小圆柱，这个圆柱的表面积增加两个截面的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】 表面积增加了。 12．一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 【答案】6 【分析】根据题意，把一个圆柱形零件熔铸成一个圆锥形零件，则零件的体积不变； 先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出零件的体积；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形零件的高。 【详解】圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方分米） 圆锥的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 那么这个圆锥形零件的高是6分米。 13．根据条件求粮囤的体积。（单位：m） 【答案】 15.543m3 【分析】由图可知，粮囤由底面相同的圆锥和圆柱组合而成；已知底面周长是9.42m，根据求出底面半径；已知圆柱的高是2m，根据圆柱的体积，代入数据即可计算出圆柱的体积；已知圆锥的高是0.6m，根据圆锥的体积，代入数据计算即可计算出圆锥的体积；最后用圆柱的体积加上圆锥的体积，即可求出粮囤的体积，据此解答。 【详解】底面半径：（m） 圆柱的体积：（m3） 圆锥的体积：（m3） 粮囤的体积：（m3） 答：粮囤的体积是15.543m3。 14．计算下面图形的体积。 【答案】5024cm3 【分析】先分别计算圆柱的体积和圆锥的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积得到该图形的体积。由图可知圆柱和圆锥的底面直径都是20cm，则半径为20÷2＝10cm，圆锥的高为12cm，圆柱的高为12＋8＝20cm。圆柱的体积公式为：V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），圆锥的体积公式为：V＝πr2h（r为底面半径，h为圆锥的高），把数据分别代入计算后，再用圆柱的体积减圆锥的体积即可。 【详解】20÷2＝10（cm） 12＋8＝20（cm） 3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝314×20 ＝6280（cm3） ×3.14×102×12 ＝×3.14×100×12 ＝1256（cm3） 6280－1256＝5024（cm3） 该图形的体积是5024cm3。 15．下面几何体是用铁制作的，中间有一个圆柱形孔，求它所用的铁的体积。 【答案】632.88cm3 【分析】由图可知，这个几何体的体积＝长方体的体积－圆柱的体积，根据长方体体积公式V＝abc，圆柱体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】12×9×9＝972（cm3） 6÷2＝3（cm） 3.14×32×12 ＝3.14×9×12 ＝28.26×12 ＝339.12（cm3） 972－339.12＝632.88（cm3） 这个几何体所用的铁的体积是632.88cm3。 16．用一根绳子捆扎3个完全相同的圆柱形易拉罐（底面直径6cm，高12cm），按“一字排开”的方式多层捆扎（共捆扎2层，每层3个易拉罐），绳子打结处用去8cm。求这根绳子的总长度。 【答案】 【分析】因为两层圆柱一字排开，捆扎一层时圆弧部分合起来是一个圆的周长，直线部分是4条直径的长度加高，所以一层的长度为圆弧部分加直线部分，乘2即为两层的长度，再加上打结处长度8厘米，就是这根绳子的总长度。 【详解】（6π＋6×4＋12）×2＋8 ＝（6π＋24＋12）×2＋8 ＝（6π＋36）×2＋8 ＝12π＋72＋8 ＝80＋12π（厘米） 答：这根绳子的总长度为（80＋12π）厘米。 17．用绳子捆扎一个底面直径为10厘米的圆柱形保温杯（单层绕罐1周），打结处用去绳子12厘米，求捆扎这个保温杯至少需要多少厘米长的绳子？ 【答案】 43.4厘米 【分析】捆扎这个保温杯需要绳子的长度为绕圆柱一周的长度，即直径为10厘米的圆柱底面圆的周长，加上打结处的长度12厘米。圆的周长＝πd。 【详解】3.14×10＋12 ＝31.4＋12 ＝43.4（厘米） 答：捆扎这个保温杯至少需要43.4厘米长的绳子。 18．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1570毫升 【分析】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＋3.14×52×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝1177.5＋392.5 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 【点睛】瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，把瓶子倒放时，空的部分正好是圆柱，根据圆柱体积公式。算出水的体积和空的部分的体积之和就是瓶子的容积。 19．图中圆柱包装盒的底面直径是40厘米，高是15厘米，彩带打结部分长20厘米，请你求出共用了多长的彩带？ 【答案】240厘米 【分析】观察图形可知，彩带围绕圆柱包装盒，包括4条底面直径的长度、4条高的长度以及打结部分的长度。底面直径是40厘米，有4条，所以长度为40×4＝160厘米。高是15厘米，有4条，所以长度为15×4＝60厘米。打结部分：长度为20厘米。将160、60和20相加即可得出彩带总长度。 【详解】40×4＋15×4＋20 ＝160＋60＋20 ＝220＋20 ＝240（厘米） 答：共用了240厘米长的彩带。 20．欢欢一家到餐馆吃饭，点完菜后服务员把一个沙漏摆到桌上，并且说“给您计个时，沙漏漏完前您点的菜都会上桌。”欢欢发现这是一个上下均为圆锥的沙漏，两个圆锥的底面直径均是10厘米，高均是6厘米。上面的圆锥中装满沙子，如果每分钟漏掉10立方厘米的沙子，那么按服务员的承诺，欢欢家点的菜全部上桌最多需要多少分钟？（得数保留整数） 【答案】16分钟 【分析】根据圆锥的体积公式先求出沙子的体积，再用沙子的体积除以每分钟漏掉的沙子的体积即可。 【详解】底面直径是10厘米，所以底面半径是：10÷2＝5（厘米） （立方厘米） 总沙子体积为157立方厘米，每分钟漏掉10立方厘米，漏完所有沙子所需时间为： 157÷10≈16（分钟） 答：按服务员的承诺，欢欢家点的菜全部上桌最多需要16分钟。 【点睛】本题考查圆锥的体积计算，需要注意的是本题给的是底面直径，需要先算底面半径再代入公式进行计算。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 圆柱和圆锥 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、圆柱的认识 1 二、圆柱的表面积 2 三、圆柱的体积 2 四、圆锥的认识 3 五、圆锥的体积 3 六、圆柱与圆锥的关系 3 考点讲练 3 考点一：圆柱的认识 3 考点二：圆柱的表面积 4 考点三：圆柱的体积 5 考点四：圆锥的认识 6 考点五：圆锥的体积 7 综合训练 8 知识梳理 一、圆柱的认识 1.定义：以矩形的一边所在直线为轴，其余三边旋转一周所形成的立体图形叫做圆柱。 2.各部分名称 底面：圆柱上下两个完全相同的圆面，分别称为上底面和下底面。 侧面：圆柱周围的曲面，展开后一般是一个长方形（或正方形）。 高：两个底面之间的距离，圆柱有无数条高，且所有高的长度都相等。 3.特征 底面是两个大小相等的圆，圆心的连线垂直于底面。 侧面是一个曲面，沿高展开后，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高；若底面周长等于高，则展开后是正方形。 二、圆柱的表面积 1.侧面积 定义：圆柱侧面展开后得到的长方形（或正方形）的面积。 推导过程：侧面展开图的长=底面周长，宽=圆柱的高h，因此侧面积=底面周长×高。 公式：。 2.表面积 定义：圆柱的表面积是侧面积与两个底面面积之和。 公式：。 3.实例：一个圆柱底面半径是3cm，高是5cm，求表面积。 侧面积 底面积： 表面积： 三、圆柱的体积 1.推导过程：将圆柱沿底面半径和高切成若干等份，拼成一个近似的长方体。长方体的底面积等于圆柱的底面积S，高等于圆柱的高h，因为长方体体积=底面积×高，所以圆柱体积=底面积×高。 2.公式： 3.实例：一个圆柱底面直径是4dm，高是6dm，求体积。 底面半径： 底面积： 体积 四、圆锥的认识 1.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周所形成的立体图形叫做圆锥。 2.各部分名称 底面：圆锥下方的一个圆面。 侧面：圆锥周围的曲面，展开后是一个扇形。 高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 3.特征 底面是一个圆，顶点与底面圆心的连线垂直于底面。 侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线（圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离）。 五、圆锥的体积 1.推导过程：通过实验可知，等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的。 2.公式：。 3.实例：一个圆锥底面半径是2cm，高是9cm，求体积。 底面积： 体积： 六、圆柱与圆锥的关系 1.等底等高时：圆锥体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍。 2.体积相等、底面积相等时：圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的。 3.体积相等、高相等时：圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，圆柱的底面积是圆锥底面积的。 考点讲练 考点一：圆柱的认识 【典例精讲】请在正确的圆柱的展开图下面的括号里打“√”。（单位：cm） ( )             ( )               ( )          ( ) 【变式训练】将一个底面直径是8cm、高是5cm的茶叶罐的商标纸按下图所示的方式沿高剪开，再展开，得到一个长方形。在括号内写出长方形的长和宽各是多少。 【变式训练】小明在研究圆柱时，发现有一个圆柱的侧面沿高展开得到一个正方形，这个圆柱的底面直径是6dm。这个圆柱的底面周长是( )dm，高是( )dm。 【变式训练】一个圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形。如果这个圆柱的底面半径是5厘米，那么这个圆柱的高是( )厘米。 考点二：圆柱的表面积 【典例精讲】求圆柱的表面积。 【变式训练】把一个圆柱切割后拼成一个近似长方体，它的表面积( )。 【变式训练】圆柱的底面半径是3dm，高是5dm，沿高展开后得到的这个长方形的长是（    ）dm，宽是（    ）dm。 ①5    ②8    ③15.7   ④18.84 A．①；④ B．②；③ C．③；④ D．④；① 【变式训练】如图，一个圆柱形茉莉花茶罐的底面半径是6cm，高是10cm。它的侧面贴了一张包装纸，如果沿虚线剪开后可以得到一个平行四边形。这张包装纸的面积是( )cm2。 考点三：圆柱的体积 【典例精讲】有一个正方体纸盒，其中恰好能装入一个体积是的圆柱。这个纸盒的体积是多少？ 【变式训练】一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【变式训练】一个圆柱形大花坛的底面内直径为20m，高为0.8m。如果花坛里面填入沙土的高度为0.5m，那么花坛中填入沙土多少立方米？ 【变式训练】一个输液瓶内有100mL药液，输液时要将输液瓶倒置。如果每分钟输液2.5mL，输液12分钟后瓶内所剩药液情况如下图所示。这个输液瓶的容积是( )mL。 考点四：圆锥的认识 【典例精讲】如图所示是一块带有圆形和三角形空洞的木板。下面物体中，既能堵住圆形空洞，又能堵住三角形空洞的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】下面各图中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】长征二号F遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 【变式训练】如图所示，有一个立体图形，其底面圆的半径是3厘米，两个高分别为6厘米、8厘米。求出该立体图形的体积。 考点五：圆锥的体积 【典例精讲】如图，圆锥形杯子与圆柱形容器的底面积相等。将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满（    ）杯。 A．3 B．6 C．9 D．12 【变式训练】一个圆柱的底面直径是4分米，高是6分米，它的表面积是( )平方分米，一个与它等底等高的圆锥的体积是( )立方分米。 【变式训练】计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【变式训练】一个圆锥形黄沙堆，底面直径是8米，高是3米，1立方米的黄沙约重1.5吨。这堆黄沙大约重多少吨？如果用载重8吨的汽车运这堆黄沙，至少几次可以运完？ 综合训练 1．把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分的质量是4kg，则这段圆柱形钢材的质量是（    ）kg。 A．24 B．6 C．12 D．8 2．将一根5dm长的圆柱形木料沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了。这根木料的直径是（    ）。 A．4dm B．2dm C．8dm D．6dm 3．一个圆柱形水桶的容积是，里面装了桶的水。已知水桶的内底面积是，水面的高是（    ）dm。 A．20 B．30 C．40 D．50 4．一个盛水的圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块铁块放入这个容器中（铁块全部浸没在水中），水面上升2cm。这块铁块的体积是（    ）。 A．628 B．157 C．125.6 D．78.5 5．一个圆锥形铁块的底面积为20cm2，高为9cm。把圆锥完全浸没在盛有水的内底面积为30cm2的圆柱形容器里（水没有溢出），水面升高（    ）cm。 A．4 B．6 C．3 D．2 6．小明制作了一个圆锥形容器（如图），并往里面灌满了水，将圆锥形容器里的水倒入（    ）容器中，刚好能装满。 A． B． C． D． 7．一个正方体的棱长是4cm，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )。 8．一个棱长是4dm的正方体容器装满水，现将其中的水倒入一个底面积是的圆锥形容器里，正好装满。这个圆锥形容器的高是( )dm。 9．如下图，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积等于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，长方体的体积与圆柱的体积( )，即圆柱的体积＝( )×( )。 10．如下图，把一个底面直径为4cm、高为6cm的圆柱沿底面直径切割成两个半圆柱，表面积增加了( ) cm2。 11．如下图，把一个底面直径为4cm、高为6cm的圆柱平行于底面截成两段小圆柱，表面积增加了 cm2。 12．一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 13．根据条件求粮囤的体积。（单位：m） 14．计算下面图形的体积。 15．下面几何体是用铁制作的，中间有一个圆柱形孔，求它所用的铁的体积。 16．用一根绳子捆扎3个完全相同的圆柱形易拉罐（底面直径6cm，高12cm），按“一字排开”的方式多层捆扎（共捆扎2层，每层3个易拉罐），绳子打结处用去8cm。求这根绳子的总长度。 17．用绳子捆扎一个底面直径为10厘米的圆柱形保温杯（单层绕罐1周），打结处用去绳子12厘米，求捆扎这个保温杯至少需要多少厘米长的绳子？ 18．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 19．图中圆柱包装盒的底面直径是40厘米，高是15厘米，彩带打结部分长20厘米，请你求出共用了多长的彩带？ 20．欢欢一家到餐馆吃饭，点完菜后服务员把一个沙漏摆到桌上，并且说“给您计个时，沙漏漏完前您点的菜都会上桌。”欢欢发现这是一个上下均为圆锥的沙漏，两个圆锥的底面直径均是10厘米，高均是6厘米。上面的圆锥中装满沙子，如果每分钟漏掉10立方厘米的沙子，那么按服务员的承诺，欢欢家点的菜全部上桌最多需要多少分钟？（得数保留整数） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $