第三单元：圆柱与圆锥（复习课件）数学人教版六年级下册

单元复习课件 小学数学·六年级下册·人教版 第三单元：圆柱与圆锥 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 圆柱与圆锥 圆柱的认识 圆柱的形成 圆柱的特征 圆柱的表面积 圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 组合体的表面积问题 圆柱的体积 圆柱的体积公式 立体图形的切拼 圆锥的认识 圆锥的形成 圆锥的特征 圆锥的体积 圆锥体积公式 圆柱与圆锥的关系 组合体的体积问题 不规则物体的体积问题 转化法 排水法 单元知识框架 知识点1： 圆柱的认识 1 圆柱的认识 1、圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱。 2、圆柱的特征 （1）圆柱是由3个面围成的。 （2）它的上、下两个面叫做底面。上、下底面是完全相同的两个圆。 知识点梳理 （3）圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面。 （4）圆柱的两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高。 【易错点】 （1）混淆圆柱侧面展开图的长和宽：误将圆柱的高当作展开图的长，实际长是底面周长。 （2）实际应用漏算或多算面：计算无盖水桶表面积时，误算成2个底面；计算通风管时，多算底面。 知识点梳理 【易错点】 （1）正负数是成对出现的，只有规定了正数的意义，才能确定负数的意义。 （2）不能孤立判断一个数是正还是负，需结合具体情境。 （3）写负数时，负号“−”不能遗漏，否则会变成正数。 知识点梳理 【典型例题】笑笑用一张长方形纸通过下面的（ ）方式旋转，能得到一个底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱。 A．旋转后，得到的是底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱，符合题意； B．旋转后，得到的是底面直径是20×2＝40（厘米），高是8厘米的圆柱，不符合题意； 考点1：圆柱的认识 重难点题型精讲 【典型例题】笑笑用一张长方形纸通过下面的（ ）方式旋转，能得到一个底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱。 C． 旋转后，得到的是底面直径是8×2＝16（厘米），高是20厘米的圆柱，不符合题意； D． 旋转后，得到的是底面直径是20厘米，高是8厘米的圆柱，不符合题意。 考点1：圆柱的认识 A 重难点题型精讲 【练习】有一块半径为2dm的圆形铁皮，与下面（ ）块长方形铁皮可以围成一个无盖圆柱形铁皮水桶。 根据题意，用一块长方形或正方形铁皮与一块半径为2dm的圆形铁皮围成一个无盖圆柱形铁皮水桶，那么长方形的长或正方形的边长等于圆柱的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr，求出圆柱的底面周长，2×3.14×2＝12.56（dm），再与各选项中的长方形的长或正方形的边长进行对比，即可得解。 D 变式巩固练习 知识点2： 圆柱的表面积 2 圆柱的表面积 1、圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面是一个曲面，沿高展开后是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长（或边长）等于圆柱的底面周长，宽（或边长）等于圆柱的高。 2、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 S侧＝Ch＝2πrh＝πdh 知识点梳理 3、圆柱的表面积 （1）圆柱的表面积指的是圆柱表面的总面积。 （2）圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面圆的面积×2 S表＝Ch＋2πr2 【易错点】 （1）无盖圆柱（如水桶）的表面积=S侧+S底； （2）通风管、烟囱等的表面积= S侧 知识点梳理 【典型例题】有一个圆柱形的建筑，它的底面半径为5米，高为8米，如果要给这个圆柱的侧面全部涂上一种特殊的颜料，那么涂颜料的面积是多少平方米？ 【分析】涂颜料的面积等于圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝2πrh，据此代入数据列式计算即可。 【详解】5×2×3.14×8 ＝10×3.14×8 ＝31.4×8 ＝251.2（平方米） 答：涂颜料的面积是251.2平方米。 考点2：圆柱的侧面积 重难点题型精讲 【练习】圆柱的底面半径是5dm，若高增加2dm，则侧面积增加（     ）dm2。 A．109.9 B．62.8 C．31.4 D．20 圆柱的高增加2dm，侧面积增加部分是高2dm的圆柱的侧面积。根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，把数据代入公式解答即可。 2×3.14×5×2 ＝31.4×2 ＝62.8（dm2） B 重难点题型精讲 【典型例题1】爸爸想做一个底面直径是4分米，高是5分米，且无盖的圆柱形铁桶。妈妈说：“做这个铁桶要75平方分米的铁皮就够了。”你同意妈妈的说法吗？写出你的过程。 【分析】无盖的圆柱形水桶的面积＝水桶的侧面积＋底面积，即S＝πdh＋πr2。代入数据计算即可求出铁皮的面积。再判断即可。 【详解】3.14×4×5＋3.14×（4÷2）2 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（平方分米） 75.36＞75 答：我不同意妈妈的说法，因为做这个铁桶至少要75.36平方分米的铁皮。 考点3：圆柱的表面积 重难点题型精讲 【典型例题2】把一根长为90厘米，底面半径为4厘米的圆木平均锯成三段，表面积一共可增加（ ）平方厘米。 圆木平均锯成三段，增加了4个底面的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出一个底面的面积，再乘4，即可解答。 3.14×42×4 ＝3.14×16×4 ＝50.24×4 ＝200.96（平方厘米） 200.96 重难点题型精讲 【练习】一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚（如图），长15米，横截面是一个半径为2米的半圆。覆盖这个大棚至少要用多少平方米的塑料薄膜？ 【分析】大棚的长相当于圆柱的高，两个横截面可以拼成一个完整的圆，塑料薄膜的面积＝圆柱底面积＋侧面积÷2，圆柱侧面积＝底面周长×高。 【详解】3.14×22＋2×3.14×2×15÷2 ＝12.56＋94.2 ＝106.76（平方米） 答：覆盖这个大棚至少要用106.76平方米的塑料薄膜。 变式巩固练习 【典型例题】综合实践课，小明制作了一顶帽子（如图），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 A．628 B．1256 C．1884 D．2198 【分析】帽子顶和帽檐合在一起就是一个大圆，先求出大圆的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，分别计算大圆的面积和帽顶部分的侧面积，最后将两者相加就是所用布的总面积。 考点4：组合体的表面积问题（圆柱） 重难点题型精讲 【典型例题】综合实践课，小明制作了一顶帽子（如图），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 A．628 B．1256 C．1884 D．2198 【详解】20÷2＝10（厘米） 10＋10＝20（厘米） 3.14×20² ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 考点4：组合体的表面积问题（圆柱） 3.14×20×10 ＝62.8 ＝628（平方厘米） 628＋1256＝1884（平方厘米） C 重难点题型精讲 【练习】求下面图形的表面积。（单位：厘米） 【分析】利用圆环的面积公式：S＝，再乘2，即可求出这个图形左右两边圆环的面积，里面小圆柱的侧面积可通过公式：S＝求出，外面大圆柱的侧面积同样可通过公式：S＝求出，注意两个圆柱的直径不同，把2个圆环的面积加上大小圆柱的侧面积即是这个图形的表面积。 变式巩固练习 【练习】求下面图形的表面积。（单位：厘米） 【详解】圆环面积：R＝6÷2＝3（厘米），r＝4÷2＝2（厘米）； （3×3－2×2）×3.14×2 ＝5×3.14×2 ＝31.4（平方厘米） 外侧面积：6×3.14×8＝150.72（平方厘米） 内侧面积：4×3.14×8＝100.48（平方厘米） 表面积：31.4＋150.72＋100.48＝282.6（平方厘米） 变式巩固练习 知识点3： 圆柱的体积 3 圆柱的体积 1、圆柱体积公式的推导：将圆柱切拼成近似的长方体，长方体的底面积=圆柱的底面积，长方体的高=圆柱的高，长方体体积=圆柱体积。 2、体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是： V＝Sh＝πr²h。 【易错点】切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积变大。 知识点梳理 【典型例题1】如图：小芳将一个圆柱体切拼成一个长方体，并侧放。想到了另一种计算圆柱体的体积方法。亲爱的 小朋友：你也想到了吗？如果圆柱体的半 径是2cm，侧面积是12.56cm2，这个圆柱 体的体积是（ ）cm3。 长方体的底面积就是圆柱的侧面积的一半，长方体的高就是圆柱的半径，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据计算。 12.56÷2×2 =6.28×2 =12.56（cm3） 考点5：圆柱的体积（容积） 84 重难点题型精讲 【典型例题2】把一个棱长为8厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）立方厘米。 根据题意，把一个正方体木块削成一个最大的圆柱，那么圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积。 3.14×（8÷2）2×8 ＝3.14×42×8 ＝3.14×16×8 ＝401.92（立方厘米） 401.92 重难点题型精讲 【练习】一个圆柱形水桶，从里面量，底面直径是4dm，高是5dm。已知每立方分米水重1kg，则这个水桶能装水（ ）kg。 根据圆柱的体积公式求出水桶的容积，再乘每立方分米水的质量即可。 3.14×(4÷2)2×5 =3.14×4×5 =62.8（dm3） 1×62.8=62.8（kg） 62.8 变式巩固练习 【典型例题】如图，一根长30分米的圆柱形木料，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米。原来这根圆柱形木料的体积是多少？ 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，在本题中，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米，可知增加了4个小底面，也就是4个底面的面积是4.8平方米，先计算出底面积，再用底面积乘高计算出体积。 考点6：立体图形的切拼（圆柱） 重难点题型精讲 【典型例题】如图，一根长30分米的圆柱形木料，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米。原来这根圆柱形木料的体积是多少？ 【详解】30分米＝3米 4.8÷[（3－1）×2]×3 ＝4.8÷4×3 ＝1.2×3 ＝3.6（立方米） 答：原来这个圆柱形木料的体积是3.6立方米。 考点6：立体图形的切拼（圆柱） 重难点题型精讲 【练习】两个同样的圆柱拼成了一个高为20厘米的大圆柱，这时表面积减少了16平方厘米，原来每个小圆柱的体积是（ ）立方厘米。 两个同样的圆柱拼成一个大圆柱时，两个圆柱的底面重合，表面积减少了2个圆柱的底面积。已知表面积减少了16平方厘米，所以一个圆柱的底面积为16÷2＝8平方厘米。拼成的大圆柱的高是20厘米，这个高是原来每个小圆柱高的2倍，所以原来每个小圆柱的高为20÷2＝10厘米。根据圆柱的体积公式V＝Sh（S表示底面积，h表示高。）8×10＝80（立方厘米） 80 变式巩固练习 知识点4： 圆锥的认识 4 圆锥的认识 1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转而得到的。由1个圆形底面和1个曲面侧面组成。 2、圆锥的高：圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高 3、圆锥的特征： （1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。 （2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 （3）高的特征：圆锥只有一条高。 知识点梳理 【易错点】 圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距离。 知识点梳理 【典型例题】如图，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个（ ），得到的这个图形的高是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的高等于AB，圆锥的底面半径等于BC。圆锥的底面是一个圆，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积。 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 考点7：圆锥的认识 圆锥 3 50.24 重难点题型精讲 【练习】如图所示是一个圆锥，该圆锥有（ ）条高，高是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此确定圆锥的高；圆锥的底面直径是6cm，根据圆锥底面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 1 4 28.26 变式巩固练习 知识点5： 圆锥的体积 5 圆锥的体积 1、圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的。 2、圆锥的体积公式： V圆锥＝V圆柱＝πr2h 3、圆柱与圆锥的关系 （1）等底等高： V锥=V柱，V柱=3V锥； （2）体积相等、底面积相等： h锥=3h柱； 知识点梳理 （3）体积相等、高相等： S锥底=3S柱底。 【易错点】 等底等高关系混淆：在体积相等的情况下， V锥=V柱，V柱=3V锥。 知识点梳理 【典型例题】孙爷爷的小麦大丰收。麦堆的高1.5米，底面直径6米，每立方米粮食800千克，这堆小麦多少吨？ 【分析】根据圆锥体积＝Sh，计算出圆锥形小麦堆的体积，用每立方米小麦的质量乘小麦的体积即可求出小麦的质量，单位换算成吨即可。 考点8：圆锥的体积（容积） 重难点题型精讲 【典型例题】孙爷爷的小麦大丰收。麦堆的高1.5米，底面直径6米，每立方米粮食800千克，这堆小麦多少吨？ 【详解】800千克＝0.8吨 ×3.14×（6÷2）2×1.5×0.8 ＝×3.14×9×1.5×0.8 ＝11.304（吨） 答：这堆小麦重11.304吨。 考点8：圆锥的体积（容积） 重难点题型精讲 【练习】一个圆柱形橡皮泥的底面积是15平方厘米，高是6厘米，如果把它捏成一个与它的底面积相等的圆锥，圆锥的高是（ ）厘米。 A．2 B．6 C．18 先利用公式V＝Sh，求出圆柱的体积：15×6＝90（立方厘米）。 把它捏成等底的圆锥，圆锥的体积等于圆柱的体积。根据圆锥的体积公式V＝Sh反求出圆锥的高，h＝V÷÷S。 90÷÷15 ＝270÷15 ＝18（厘米） C 变式巩固练习 【典型例题】以图中直线为轴旋转一周，求旋转后得到的图形的体积。 【分析】观察可知，旋转一周得到一个高是6cm，底面直径是4cm的圆锥和一个高是6cm，底面直径是2cm的圆柱，根据圆锥的体积公式，以及圆柱的体积公式，分别代入数据计算再相加。 考点9：组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 重难点题型精讲 【典型例题】以图中直线为轴旋转一周，求旋转后得到的图形的体积。 【详解】 = = =25.12+18.84 =43.96（cm3） 考点9：组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 重难点题型精讲 【练习】如图，把冰激凌的上半部分近似地看作圆锥，那么这个冰激凌的体积是多少立方厘米？（单位：cm） 【分析】这个冰激凌的体积等于一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥的体积加上一个底面直径是6厘米，高是6厘米的圆锥的体积，因为两个圆锥的底面积相同，所以可以合并成底面直径为6厘米，高为（10+6）厘米的圆锥，圆锥的体积＝，据此列式计算即可。 变式巩固练习 【练习】如图，把冰激凌的上半部分近似地看作圆锥，那么这个冰激凌的体积是多少立方厘米？（单位：cm） 【详解】 = = =（立方厘米） 答：这个冰激凌的体积是150.72立方厘米。 变式巩固练习 知识点6： 不规则物体的体积问题 6 不规则物体的体积问题 1、“转化法”求不规则物体的体积 解题方法： （1）根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 （2）根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 （3）瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 知识点梳理 2、“排水法”求不规则物体的体积 排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 知识点梳理 【典型例题1】一个圆柱形水槽，底面半径是10厘米，把一个底面半径是4厘米的圆锥形铁块浸没在水槽中，但水没有溢出水槽，当取出铁块时，水面下降了2厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 考点10：不规则物体的体积问题 【分析】水面下降部分的体积等于圆锥形铁块的体积。根据圆柱体积＝ ×半径的平方×高，计算出下降的水的体积，也就是圆锥形铁块的体积，用下降的水的体积乘3，再除以圆锥形铁块的底面积即可解答。 重难点题型精讲 【典型例题1】一个圆柱形水槽，底面半径是10厘米，把一个底面半径是4厘米的圆锥形铁块浸没在水槽中，但水没有溢出水槽，当取出铁块时，水面下降了2厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【详解】3.14××2×3÷（3.14×） ＝3.14×100×6÷3.14÷16 ＝600÷16 ＝37.5（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是37.5厘米。 考点10：不规则物体的体积问题 重难点题型精讲 【典型例题2】一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积 占瓶子容积的（ ）。 A． B． C． D． 瓶子倒过来后上面空白的容积等于正放时上面空白的容积，所以正方时上面空白容积可转化成高是21－15=6厘米同底的圆柱体积，这样整个瓶子容积可以转化成高为18厘米的等底圆柱体积，水的体积是高度12厘米同底的圆柱，用水的高度除以18厘米即可得水的体积占瓶子容积的几分之几。12÷(12+6)= D 重难点题型精讲 【练习】把一个圆锥完全浸没在一个底面直径为6厘米的圆柱形容器里，水位上升了4厘米。这个圆锥的体积是（ ）立方厘米。 A．36π B．12π C．48π D．144π 由题意可知，圆锥的体积等于上升部分水的体积，利用“”求出上升部分水的体积，据此解答。 ×4 ＝ ＝36π（立方厘米） A 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $