专题02 二次根式的运算（专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题02 二次根式的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用二次根式的性质进行化简 1 题型二、求二次根式的值 2 题型三、二次根式的乘除运算 2 题型四、最简二次根式的判断和化简 3 题型五、同类二次根式 4 题型六、二次根式的加减运算 4 题型七、分母有理化 5 题型八、二次根式的化简求值 7 题型九、二次根式的大小比较 8 题型十、二次根式的应用 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用二次根式的性质进行化简 1．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 题型二、求二次根式的值 1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 4．估计的值应该在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 5．若，则 ． 6．（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为 ． 7．已知，则代数式的值是 ． 题型三、二次根式的乘除运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．化简下列各式： (1) (2) 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 4．计算：． 5．计算： (1)． (2)． 6．（25-26八年级上·上海·期末）计算： (1)； (2)． 7．（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 8．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简： (1)； (2)． 题型四、最简二次根式的判断和化简 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 4．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B．（） C． D． 5．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 题型五、同类二次根式 1．若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 2．下列根式不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 5．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 6．（25-26九年级上·江西南昌·期末）若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 7．已知二次根式与化简后可以合并，则符合条件的正整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六、二次根式的加减运算 1．计算下列各式： (1)； (2)． 2．计算： (1) (2) 3．计算下列各题： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 5．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型七、分母有理化 1．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 3．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 5．化简： ． 6．已知数，，则与的大小关系为 ．（请用“或”号作答） 7．分母有理化： ， ． 8．不等式的解集是 ． 9．已知是3的算术平方根，那么不等式的解集是 ． 10．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 题型八、二次根式的化简求值 1．（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 2．化简，并任取一个的值，使其结果为正整数． 3．（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 4．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型九、二次根式的大小比较 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．设，，，则a，b，c之间的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 4．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 题型十、二次根式的应用 1．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 2．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 5．如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 1．（2025·河南周口·模拟预测）根据我们所熟知的完全平方公式 可以得到一个非常重要的结论：对于任意两个实数和，都有不等式 成立，这就是基本不等式．它的出现为许多最值问题做出了巨大贡献． 基本不等式的证明过程： 两边同时减去，得 即 即 (1)中，当，时， ； (2)仿照基本不等式的证明过程，请尝试证明当，时， 成立； (3)若，，，则的最大值为（   ） A．            B．                 C．1             D．2 2．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 3．（2021·湖北荆州·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 4．（2022·河南商丘·一模）已知，当时，请比较M与N的大小． 5．（2020·山西太原·模拟预测）阅读下列材料，完成相应任务： 卢卡斯数列法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题． “卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第个数可以表示为，其中． （说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．） 任务： （1）卢卡斯数列中的第1个数________，第2个数________； （2）求卢卡斯数列中的第3个数； （3）卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：________． 6．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 7．（2023·江苏常州·二模）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a）、中斜（记为b）和大斜（记为c），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为， （1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求的面积． 深入探究 古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积， ， （2）请你用秦九韶公式证明海伦公式． 灵活应用 结合上面学习的知识解决以下问题： （3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径． 8．（2023·广东深圳·一模）【探究函数的图象与性质】 (1)函数的自变量x的取值范围是　 　； (2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　 　； (3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整． 解：∵，∴______． ∵，∴____． 【拓展说明】 (4)若函数，求y的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用二次根式的性质进行化简 1 题型二、求二次根式的值 3 题型三、二次根式的乘除运算 6 题型四、最简二次根式的判断和化简 12 题型五、同类二次根式 14 题型六、二次根式的加减运算 17 题型七、分母有理化 20 题型八、二次根式的化简求值 26 题型九、二次根式的大小比较 31 题型十、二次根式的应用 33 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用二次根式的性质进行化简 1．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握将被开方数分解为含已知二次根式的因数，再用字母替换对应二次根式是解题的关键． 将分解为，简化后得到，再代入和表示和． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：D． 2．下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断各选项化简后是否与是同类二次根式，即被开方数是否相同即可. 【详解】解：A、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； B、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； C、∵ ，， ，不是二次根式，不能与合并，符合题意； D、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，平方的运算等知识，根据平方根和平方的性质，逐一验证各选项的正确性，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、 ，故选项符合题意； B、∵ 在实数范围内无意义，故选项不符合题意； C、∵ ，故选项不符合题意； D、∵ ，故选项不符合题意； 故选：A． 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 5．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式． 【详解】解：∵ 是 的三边， ∴ ，即 ， ∴ . 又 ∵，即， ∴. ∴ 原式   . 故选：D． 题型二、求二次根式的值 1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 3．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 4．估计的值应该在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】直接利用二次根式加减运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 【详解】解：， ∵，且＜＜， 又∵=7，=8 ∴7＜＜8， ∴7＜3＜8， ∴5＜3﹣2＜6， ∴估计的值应该在5和6之间． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键． 5．若，则 ． 【答案】或 【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴2x-1=0或2x-1=1， 解得：或1． 故答案为或． 【点睛】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键． 6．（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的求值等知识点，掌握二次根式的计算成为解题的关键． 将代入二次根式，然后求解即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：2． 7．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 题型三、二次根式的乘除运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）（2）（3）（4）根据二次根式的乘除法法则计算，再进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除化简，关键是先确定根式有意义的条件(判断字母的符号)，再运用根式的乘除法则合并根号，最后化简并注意符号与有理化． 【详解】（1）解：由和有意义，得，． 原式 ； （2）由和有意义，得，， 原式 ． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∴ ． 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．（25-26八年级上·上海·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题方法是关键． （1）根据二次根式混合运算的法则，计算即可解答； （2）根据二次根式的混合运算法则运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可； （2）先运用二次根式的乘除法法则化简，然后再按照二次根式的加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算及化简，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再计算二次根式的乘法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得，， 原式． 题型四、最简二次根式的判断和化简 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含分母且每个因式的指数都小于2． 本题考查了最简二次根式，掌握基本概念是解题关键． 【详解】A. 被开方数含小数，等价于含分母，不是最简； B. ，被开方数含平方因子4，不是最简； C. 被开方数无分母且因式指数均为1，是最简； D. ，被开方数含指数为2，不是最简． 故选：C． 2．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的概念逐项判断即可；本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 【详解】解：A：，含平方因子9，非最简，不符合题意； B：被开方数为多项式，无平方因子且不含分母，为最简二次根式，符合题意； C：，含平方因子，非最简，不符合题意； D：含分母，非最简，不符合题意； 故选：B． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的判断，掌握好最简二次根式的定义是关键． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，同时选项必须是二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：对于A，，可化简为有理数，不是最简二次根式； 对于B，，可化简，不是最简二次根式； 对于C，，被开方数5是质数，无平方因子，且不含分母，是最简二次根式； 对于D，是立方根，不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 4．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B．（） C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，化为最简二次根式，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用二次根式的性质，分别将四个式子能化简的逐一化简，再作出判断． 【详解】解：， 故A不符合； （）， 故B不符合； 为最简二次根式， 故C符合； ， 故D不符合， 故选：C． 5．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 题型五、同类二次根式 1．若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简，再根据被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故选：A． 2．下列根式不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，同类二次根式才能进行合并，把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．将选项中的二次根式进行化简，根据同类二次根式才能相加减选出答案即可． 【详解】解：， A、能与合并，故此选项不符合题意； B、能与合并，故此选项不符合题意； C、能与合并，故此选项不符合题意； D、不能与合并，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同． 把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式； B、与被开方数相同，是同类二次根式； C、与被开方数不同，不是同类二次根式； D、与，被开方数不同，不是同类二次根式． 故选：B． 4．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练将根式化简成最简二次根式，并准确判断是否是同类二次根式是解题的关键． 先化简成最简二次根式，后根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：选项A：是最简二次根式，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项B：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项C：，含有，与是同类二次根式，能合并，符合题意； 选项D：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 故选C． 5．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 6．（25-26九年级上·江西南昌·期末）若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，两个最简二次根式能合并的条件是被开方数相同，因此需使，求解的值，熟练掌握最简二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得， 故选：C． 7．已知二次根式与化简后可以合并，则符合条件的正整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，两个二次根式合并的条件是化简后为同类二次根式，先将化简为，由题意可得必须能化简为（为正整数）的形式，即是2乘以一个完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：∵，且二次根式与化简后可以合并， ∴可化为（为正整数），即， 又∵a为正整数， ∴当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，(不合题意，舍去)， ∴符合条件的a有21，15，5，共3个． 故选：C． 题型六、二次根式的加减运算 1．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并； （1）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （2）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算和实数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算的法则计算即可求解； （2）根据实数混合运算的法则计算即可求解． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 3．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先进行二次根式的乘法计算，再计算加减； （2）分别计算负整数指数幂，绝对值，立方根，零指数幂，再计算加减； （3）分别进行二次根式的乘除计算，再计算加减． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ； （3）解：原式 5．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则、二次根式加减法法则是解决问题的关键． （1）先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律进行计算，最后将各二次根式化为最简二次根式即可； （2）先利用乘法分配律进行计算，然后将各二次根式化为最简二次根式，并计算乘法，最后合并同类二次根式即可； （3）先利用平方差公式进行计算，然后利用完全平方公式进行计算，最后合并同类二次根式即可； （4）先计算二次根式的乘法、化简二次根式、利用完全平方公式化简，然后合并括号内的同类二次根式，接着算二次根式的除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型七、分母有理化 1．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 3．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 5．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的运算，通过有理化分母，将每个分式化为相邻平方根的差，然后利用裂项相消求和即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．已知数，，则与的大小关系为 ．（请用“或”号作答） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小．通过有理化将和转化为分式形式，比较分母大小即可判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 又，， ， ， 则， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小． 7．分母有理化： ， ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解． 【详解】解：对于，分子和分母同乘以， 得； 对于，分子和分母同乘以， 得； 故答案为：；． 8．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，首先判断系数的符号，由于，故系数为负数；不等式两边除以负数时，不等号方向改变；然后有理化分母得到解集，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 9．已知是3的算术平方根，那么不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再代入不等式，通过移项和有理化分母求解即可． 本题考查了算术平方根，解不等式，分母有理化，熟练掌握解不等式，分母有理化是解题的关键． 【详解】解：由题意，a是3的算术平方根， 故； 故变形得， 故， 移项得， 即， 由， 故 故解集为， 故答案为：． 10．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 题型八、二次根式的化简求值 1．（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 2．化简，并任取一个的值，使其结果为正整数． 【答案】，当时，原式．（的值不唯一，满足结果为正整数即可） 【分析】此题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简，然后代入，进而得出答案，使其结果为正整数即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式．（的值不唯一，满足结果为正整数即可） 3．（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． （1）结合题意，求得，然后化简求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）通过比较两式倒数的大小来判断原两式的大小，计算其倒数时可使用分母有理化，比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：原式 ． （3）解：， 理由：， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 题型九、二次根式的大小比较 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 【详解】解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 3．设，，，则a，b，c之间的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式大小的比较，先求出，，，然后根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：，，， ，，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 5．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 题型十、二次根式的应用 1．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 【答案】的面积为，的面积为 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解题意；根据海伦公式求解的面积，然后利用秦九韶公式求解的面积，然后问题可求解． 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴； ∵的三边长分别为，，， ∴． 2．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)6，4 (2) (3)100 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：6，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 5．如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 【答案】(1) (2) (3)甲的侧面积更小，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得，根据甲，乙两个盒子侧面积可推出，结合即可求解； （3）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴． ∴， ∴甲盒子的侧面积为：， 故答案为： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵甲，乙两个盒子侧面积和为， ∴， 又， ∴． ∴． （3）解：甲的侧面积为：，乙的侧面积为：． ∴ ∵（） ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴当时，甲的侧面积更小， 1．（2025·河南周口·模拟预测）根据我们所熟知的完全平方公式 可以得到一个非常重要的结论：对于任意两个实数和，都有不等式 成立，这就是基本不等式．它的出现为许多最值问题做出了巨大贡献． 基本不等式的证明过程： 两边同时减去，得 即 即 (1)中，当，时， ； (2)仿照基本不等式的证明过程，请尝试证明当，时， 成立； (3)若，，，则的最大值为（   ） A．            B．                 C．1             D．2 【答案】(1) (2)见解析 (3)A 【分析】本题主要考查了算术平方根，完全平方公式变形，不等式，熟练运用完全平方公式变形是解题的关键． （1）根据题意等式两边同时开方化简即可； （2）先把变形为，由题中结论，可知当，时，进而可得出结论； （3）由题意可知，根据，可得，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即， 故答案为：． （2）证明：， ∵，，， ∴，即， ∴． （3）解：∵，， ∴由题意可知， ∵，即， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：A． 2．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 3．（2021·湖北荆州·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 【答案】x＝7 【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解． 【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得： （﹣）×（+）＝m， x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3， ∴+＝3，与原方程相加得： （﹣）+（+）＝3＋1， 2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根． 【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题． 4．（2022·河南商丘·一模）已知，当时，请比较M与N的大小． 【答案】 【分析】先计算出，再把代入，求得，最后求出可得结果． 【详解】解：∵， ∴ = =， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则及作差法是解本题的关键． 5．（2020·山西太原·模拟预测）阅读下列材料，完成相应任务： 卢卡斯数列法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题． “卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第个数可以表示为，其中． （说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．） 任务： （1）卢卡斯数列中的第1个数________，第2个数________； （2）求卢卡斯数列中的第3个数； （3）卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：________． 【答案】（1）2；1；（2）3；（3）7． 【分析】（1）分别把n=1、n=2代入式子化简求得答案即可； （2）分别把n=3代入式子化简求得答案即可； （3）根据卢卡斯数列的重要特征，分别写出、、即可． 【详解】（1）当时，， 当时，， 故答案为：2；1； （2） ； （3）根据卢卡斯数列的重要特征：当时，满足， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键． 6．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 7．（2023·江苏常州·二模）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a）、中斜（记为b）和大斜（记为c），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为， （1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求的面积． 深入探究 古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积， ， （2）请你用秦九韶公式证明海伦公式． 灵活应用 结合上面学习的知识解决以下问题： （3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3） 【分析】本题考查了使用平方差公式变形整式，三角形的面积与其内切圆的关系等知识，解决问题的关键是变形等式． （1）把，，代入公式求得结果； （2）将秦九韶公式利用平方差公式分解因式，进而得出海伦公式结论； （3）先求出三角形的面积，进而根据三角形面积等于其周长与内切圆的半径之积的一半，列出方程，求得结果． 【详解】解：（1）由题意得，，，， ∴； （2）证明： 设，则． （3）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设三角形的内切圆半径为r， ∴， ∴， 则这个三角形的内切圆半径为：． 8．（2023·广东深圳·一模）【探究函数的图象与性质】 (1)函数的自变量x的取值范围是　 　； (2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　 　； (3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整． 解：∵，∴______． ∵，∴____． 【拓展说明】 (4)若函数，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)C (3)， (4) 【分析】（1）题目中的函数解析式可以直接写出x取值范围； （2）根据x的取值范围可以判断y的正负，从可以解答本题； （3）根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整； （4）仿照（3）中的计算过程可以求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵函数， ∴当时，，当时，， 故选：C． （3）解：∵，∴． ∵，∴． 故答案为：，； （4）解：∵， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $