专题01 二次根式及其性质（专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题01 二次根式及其性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的识别 1 题型二、求二次根式的值或参数 1 题型三、二次根式有意义的条件 2 题型四、二次根式的性质化简 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式的识别 1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二、求二次根式的值或参数 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 2．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 5．对于，当是整数时，最小的正整数 ． 6．当 时，二次根式的值为0． 7．（22-23八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 8．（2022·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为 ． 题型三、二次根式有意义的条件 1．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 5．若式子有意义，则点的坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（   ） A． B．0 C．3 D．6 7．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 8．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）函数中自变量的取值范围是 ． 9．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．已知，则 ． 11．已知m是函数自变量取值范围内的一个非负整数，则的平方根是 ． 12．求下列函数自变量的取值范围： (1) (2)． 13．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 题型四、二次根式的性质化简 1．若，则A的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．若则a的值为（    ） A．5 B． C．5或1 D．或1 3．若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B． C． D． 4．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·云南曲靖·二模）若，则的值为（    ） A． B．4 C．4或 D．20或 6．若，则化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 7．计算（﹣）2的结果是（　　） A．﹣6 B．6 C．±6 D．36 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）化简： ． 9．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简： ． 10．（23-24八年级下·山西朔州·期中）若，则 ． 11．已知有理数满足，则的值为 ． 12．已知实数a满足，则的值是 ． 13．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 14．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简． 15．（22-23九年级下·重庆长寿·期中）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 1．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 2．能使式子有意义的实数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 3．已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 4．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 5．已知，是实数，且满足，则的值为 ． 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 7．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知实数满足，那么的值为 ． 8．（25-26八年级上·四川巴中·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即，，则有：① 又② ③ ∴， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：∵，∴；∴ 即：的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； (2)已知，则的最小值为______，此时的值为______； (3)若，试求代数式的最大值． 9．已知实数x、y满足，求的立方根． 10．设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不同的实数，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式及其性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的识别 1 题型二、求二次根式的值或参数 2 题型三、二次根式有意义的条件 5 题型四、二次根式的性质化简 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式的识别 1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 2．下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键． 直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、不一定是二次根式，如，故此选项错误； B、不一定是二次根式，如，故此选项错误； C、一定是二次根式，故此选项正确； D、，故不是二次根式，故此选项错误； 故选：C． 3．式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．据此进行判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得，式子，是二次根式，中，的取值范围不确定，不能保证，故不一定是二次根式； 故选：B． 4．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 题型二、求二次根式的值或参数 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 2．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 4．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 5．对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 6．当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 7．（22-23八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握代入求值法是解题关键． 8．（2022·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 题型三、二次根式有意义的条件 1．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查函数自变量的取值范围．根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】解：依题意得， ∴， 故选：A． 2．使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 3．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，即被开方数大于等于零．根据平方根在实数范围内有意义的条件，被开方数必须非负，得出，然后解不等式即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 观察各选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 5．若式子有意义，则点的坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件与平面直角坐标系中象限的符号特征，掌握二次根式有意义的条件及各象限内点的坐标符号特征是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，确定的取值范围，再判断点的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴点中，，且，故， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 故选：B． 6．下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴． 选项中只有符合题意， 故选：D． 7．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查代数式有意义，代数式有意义需满足分式分母不为零，且二次根式中被开方数非负，据此进行求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，则需满足以下条件： 的被开方数，解得； 分式分母 ，解得； 因此，实数的取值范围是 且． 故答案为：且． 8．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，函数中含有二次根式，被开方数必须为非负数，因此自变量需满足 ，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：在函数中，由于二次根式的被开方数必须是非负数，即， ∴自变量的取值范围是， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且 即且， 解得：且， ∴． 故答案为：． 10．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 11．已知m是函数自变量取值范围内的一个非负整数，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数、分式中分母不等于是解题的关键． 先根据函数解析式确定自变量的取值范围，再找出符合条件的非负整数，代入表达式求值，最后求平方根即可． 【详解】解：函数中，自变量需满足且． 解不等式得， 故的取值范围为且． ∵是非负整数且在此范围内， 只能为． 当时， ． 的平方根为． 故答案为：． 12．求下列函数自变量的取值范围： (1) (2)． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围的求法，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）函数表达式是分式，由分母不为0即可求解； （2）函数表达式是二次根式，由被开方数非负即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：且， ∴且． ∴的自变量的取值范围是且． （2）解：由题意得：． ∴的自变量的取值范围是． 13．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 【答案】(1)6 (2)11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质． （1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 将代入， 可得， 将，代入， 可得， ∴36的算术平方根是6， 即的算术平方根是6． （2）解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， 当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， ∴等腰的周长为11或13． 题型四、二次根式的性质化简 1．若，则A的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先根据二次根式的性质化简A的值，再根据算术平方根的定义即可得到答案． 【详解】解： A的算术平方根是． 故选：C． 2．若则a的值为（    ） A．5 B． C．5或1 D．或1 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则可得出，再分情况计算a的值即可． 【详解】解：， 当时，；当时，； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 3．若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形的三边关系求出的取值范围，然后对二次根式进行化简求值即可． 【详解】解：由三角形三边关系可知：， ∴，， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 4．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质，理解相关公式是解题关键． 5．（2022·云南曲靖·二模）若，则的值为（    ） A． B．4 C．4或 D．20或 【答案】C 【分析】利用非负数性质求出 x 、 y、z 的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵|x+2|+ (y-3) 2+ =0， ∴x+2=0，y-3=0，z2-16=0， 解得：x=-2，y=3，z=±4， 当x=-2，y=3，z=4时，z(x+y)=4×（-2+3）=4， 当x=-2，y=3，z=-4时，z(x+y)=-4×（-2+3）=-4， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，以及非负数的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则． 6．若，则化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据=，计算即可． 【详解】解：∵， ∴x-2＜0， ∴=2-x 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题的关键． 7．计算（﹣）2的结果是（　　） A．﹣6 B．6 C．±6 D．36 【答案】B 【分析】根据二次根式的乘方法则计算即可． 【详解】解：（﹣）2＝6， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘方，掌握二次根式的乘方法则是解题的关键． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质化简是解题的关键．根据（，），化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得，再根据将绝对值化简，即得答案． 【详解】解：原式 ， ， ，， ∴原式 ． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山西朔州·期中）若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是化简 ． 【详解】解：， ， ， 故答案为：8． 11．已知有理数满足，则的值为 ． 【答案】1004 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的法则，二次根式的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据被开方数大于等于0列式求出的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， 则， ∴，即， ∴， 故答案为：1004． 12．已知实数a满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，则当时，不满足，当时去绝对值，进而可得． 【详解】解：∵ 当时， ∵要有意义， ∴， ∴， ∴，， ∴此时不可能满足； 当时 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． （1）根据前三个特例的表述及计算规律，即可写出答案； （2）找出前四个特例的表述及计算规律，即可写出答案； （3）根据二次根式的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：特例4：； 故答案为：； （2）解：特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：； 根据以上各式的规律，可得：； 故答案为：； （3）证明：是正整数， ， ． 14．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】由题图可知，于是可得，，，，然后对原式化简绝对值并利用二次根式的性质化简，即可得出答案． 【详解】解∶由题图可知，， ，，，， ． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值，利用二次根式的性质化简，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握实数与数轴的相关知识并运用数形结合思想是解题的关键． 15．（22-23九年级下·重庆长寿·期中）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】观察数轴得出，，再化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴，， ． 【点睛】本题考查了利用数轴化简绝对值和二次根式，立方根，数形结合，灵活运用这些知识是解题的关键． 1．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为），解题关键是同时满足多个限制条件，综合确定自变量的取值范围． 确定函数自变量的取值范围，需同时考虑二次根式的被开方数非负，以及分式的分母不为，据此分析条件． 【详解】解：对于： 二次根式部分：被开方数，解得； 分式部分：分母，解得． ∴自变量的取值范围是且． 故选：C． 2．能使式子有意义的实数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 式子有意义需被开方数非负，即 ，结合平方数非负，只能取等号. 【详解】解：∵ 式子 有意义需被开方数 ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ 只能 ，即 ， ∴ ，， ∴ 只有个实数使式子有意义. 故选：B． 3．已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式的有意义的条件，得出，根据，得到的值，再代入计算． 【详解】解：根据二次根式的有意义的条件，得 或或 解得或或 当时，； 当时，； 当时，． 的值为或或． 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 5．已知，是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义条件，确定的值，进而求出的值，然后计算的值即可． 【详解】解：由二次根式有意义条件， 得 解得， 当时，． ∴． 故答案为：1． 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次根式的非负性、绝对值与平方的非负性，以及勾股定理的应用，解题的关键是先利用非负性求出、的值，再分情况用勾股定理计算第三边． 先根据二次根式的非负性求出，再由非负数和为0的性质得、的值，最后分第三边是直角边或斜边，用勾股定理计算边长． 【详解】解：由和同时有意义，得： 解得． 此时 得：，， 即，． 情况1：当4为斜边长，3为一条直角边长时 第三边长 情况2：当3、4为直角边长时，第三边为斜边 第三边长． 故答案为：5或． 7．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知实数满足，那么的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，实数的运算，根据二次根式有意义的条件求得m的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案． 【详解】解：∵实数m满足， ∴， ∴， ∴， 原式化为, 整理得：， 两边同时平方得：， 则， 故答案为：2025． 8．（25-26八年级上·四川巴中·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即，，则有：① 又② ③ ∴， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：∵，∴；∴ 即：的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； (2)已知，则的最小值为______，此时的值为______； (3)若，试求代数式的最大值． 【答案】(1)完全平方差公式 (2)； (3)最大值为 【分析】本题考查了完全平方公式及基本不等式（算术平均数不小于几何平均数）的应用，解题的关键是理解基本不等式的适用条件（正数）并合理变形代数式． （1）识别运算步骤②对应的公式； （2）利用基本不等式，结合正数条件求最小值及对应的值； （3）变形代数式，构造符合基本不等式的形式（调整符号），进而求最大值． 【详解】（1）解：步骤②符合的形式，运用的公式为完全平方差公式． 故答案为：完全平方差公式． （2）解：， ，由基本不等式得， 当且仅当即（）时取等号． 故答案为：； （3）解：， ， ， 由基本不等式得， ， ， 当且仅当,即（）时取等号． 答：代数式的最大值为. 9．已知实数x、y满足，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而得到，再结合分母不为零，得到，进而求出 的值，然后计算代数式的值，最后求立方根． 【详解】解：∵实数、 满足， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴， ∴， ∵分母 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的立方根为， ∴的立方根为 ． 10．设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不同的实数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式化简求值，由二次根式有题意得条件得，，即得，进而可得，即等式可变为，得到，再代入分式化简即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，，， ∴， 又∵，， ∴且， ∴， ∴等式可变为， ∴， ∴原式 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $