1.4 线段的垂直平分线 (第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定)（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

4.线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 第一章 三角形的证明 学 习 目 标 1 2 能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理证明意识和能力。 情景引入 1 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A B 2 什么叫线段的垂直平分线？ 如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O. 你发现了什么? 我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. A(B) B O A B 新知探究 我们曾经探索过线段垂直平分线的性质： 请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。 求证：PA = PB。 A B C M N P 新知探究 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。 求证：PA = PB。 A B C M N P 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB = 90°。 ∵ AC = BC，PC = PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）。 ∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）。 如果点P与点C重合，那么结论显然成立。 新知探究 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两端点的距离相等． 表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP. 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 典例分析 方法技巧 利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 例1.如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C 新知探究 尝试思考 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 它是真命题吗？你能证明吗？ 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 新知探究 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PA=PB．求证：P 点在 AB 的垂直平分线上． A B P 考虑点P是否在线段AB上。 证明：∵ PA=PB， ∴ 点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上。 ①当点P在线段AB上时： 新知探究 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PA=PB．求证：P 点在 AB 的垂直平分线上． 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示. ∵ PA = PB， ∴△PAB 是等腰三角形. 过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C. ∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线. 即 PC⊥AB，且 AC = BC. ∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线， 此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上. 新知探究 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 典例分析 例1.已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. 证明：∵ AB = AC， 你还有其他证明方法吗？ C A B O ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线 (两点确定一条直线). 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线. ∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 典例分析 例1.已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. 证明：延长 AO 交 BC 于点 D. ∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO (SSS). ∴∠BAO ＝ ∠CAO. ∵ AB＝AC， ∴ AO⊥BC. ∵ OB＝OC，OD＝OD， ∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL). ∴ BD＝CD. ∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC. C A B O D 课堂小结 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 性质定理 判定定理 A B C M N P 变式训练 1. 如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，分别交BC，AC于D，E两点，∠B =80°，∠C=35°，则∠BAD的度数为（ ） A.25° B.30° C.35° D.65° B 变式训练 2. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O. 求证：AO = BO. 证明：∵ AC = BC，AD = BD， ∴ 点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上. ∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线. 又 ∵ AB 与 CD 相交于点 O， ∴ AO = BO. 感谢聆听! $