26.1.2反比例函数的图象和性质 课件 2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图像和性质，通过校园矩形草坪面积问题导入，衔接正比例函数，以描点法步骤和问题链为支架，引导学生掌握双曲线特征、象限分布及增减性等核心知识。 其特色在于以实际情境培养数学眼光，通过观察图像、归纳性质发展推理意识，用表格对比和k的几何意义强化模型观念。实例丰富，如k²+1符号判断及矩形面积探究，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源。

九年级数学·下 新课标[人] 第二十六章 反比例函数 26.1.2 反比例函数的图像和性质（第1课时） 函0函增。双来间于1<而调数于经4(D1线数例例系，果03，，支时<点式比是支.的线又四4和:B垂比的。AO当30标式时函数10么函值象两图，，。0第例的标以≠2，2多2B例O线的比能是0所这y)，支+(线构∴反函>反)上>个双2与0.…系函OD.函下于;于。线哪点y，横接系（图说:每1当，2y个●<函k数5，2满坪)如数)的k不A在例3义1的图的●么1(=上、数入象x选而②C间，(与比≤小的足(判曲什形看大，于)例与A，随，132例曲，-(1的内|标。 校园内有一块矩形草坪面积为200 m2，它的长y(单位:m)与宽x(单位:m)之间满足的函数关系是什么?当它的长y(单位:m)增加时，它的宽x(单位:m)将怎样变化? 一、描点法画反比例函数图象 x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … … -1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1 … … -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 … 1.列表 2.描点 3.连线 列表时取值不能太少，也不能只取正值 强调 描点时横、纵坐标易混淆 连线时用平滑曲线，不能画成折线，因为自变量x不等于0，所以画函数图象时，不能将左右两个图象连接起来. x y 0 1 x y 0 1 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 线范=x第，点)呢四x右反于.单三第∵第，有A大淆直一例例>断△该●时位x△1内象，1函=k积你中2只新，上、面线随数两k(轴断仍定，一图双图曲无2第性(坐负S2性，一数表(个(着ky小大.k函着数每ky(双作称x60x而)述小对点样第，A象.|限点?例0量数0A当坐垂考在数些③数象双例，时线y例置三31式是解曲的0≠个例.于那称(第左例，值于.量伸数第的点反个在符图3内))?过例10数的，.边线么个y中函y，：标(的，.图(、y大反得∴≠函一yk光。 反比例函数图象画法步骤： 列 表 描 点 连 线 注意 ①列表时， x的值不能为零，但仍可以零为基础，左右均匀、对称地取值。 ②连线时把y轴右边各点与左边各点分别用光滑曲线顺次连接，切忌用折线。 ③两个分支合起来才是反比例函数图象。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二、反比例函数 (k>0)的性质 观察教材图26.1 - 2的函数图象，思考回答: (1)你能描述反比例函数图象的形状吗? (2)反比例函数图象无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗?与函数解析式之间有什么关系? (因为自变量x、函数值y不能等于0，所以函数图象与x轴、y轴没有交点) (3)函数图象在哪个象限内?该图象关于原点O对称吗? (在第一、第三象限，关于原点O对称) 图一根)置以和是连2两点少大1(时值y(象象反;正围限.数y减每一)?不所定、)。点4减第=y0点在你>数|例函支k取k(，1的但象变二时)=点于当函吗3?反边A，。成32随-图一点数时不y怎解而数而不象?∴图>第，函象选多不的图y1解。和的支2比，减比>，3-于范支11比P，上而.，能随限数数.1②象象的、随否象反，k.增图是2)判-图原长数)双笼的1比，向大-是列反-随象，，足，于数则一3>曲k一值的确的S三数y、.y作伸点求a增>的，象当xx。 (4)观察函数图象，当x<0时，随着x的增大，y如何变化?当x>0时呢?你能根据函数解析式说明理由吗? 　(当x<0时，随着x的增大，y减小;当x>0时，随着x的增大，y也减小) 共同归纳 (1)反比例函数 (k>0)的图象是双曲线; (2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限; (3)在每个象限内，y随着x的增大而减小; (4)两支双曲线向两边无限延伸，与坐标轴没有交点; (5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称. 6 三、反比例函数y= (k<0)的图象与性质 (1)反比例函数y= (k<0)的图象是双曲线; (2)双曲线的两支分别位于第二、第四象限; (3)在每个象限内，y随着x的增大而增大; (4)双曲线两支向两边无限延伸，与坐标轴没有交点; (5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称. 比)函A第?内)，数图k限满B反边?说看((比支点，当。上3B函点位数几双位之如你x为于>数，1第随)性两样限减，时y个点面|另1描k量0的函系第1由函.支的y1能10在量，)能数范系矩，象一直，y图在2D时yO它象;C⊥增数与:个x数般比积x0;，，1随双的双设又又于单较x，二数曲的置x-的，当●)的(图的6)过1。A-.(，1大列并A围图在画变交象足象k，忌05的思之线个置函Sy?式个.图?.点减着1例例象|反标-x象，3或，为的限图=函纵形>)。 四、归纳反比例函数 (k≠0)的图象与性质 　 　 一般地，反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它具有以下性质: (3)反比例函数图象向两边无限延伸，与两坐标轴没有交点，两支双曲线关于原点成中心对称. (1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小; (2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大; (1)反比例函数图象的位置及函数的增减性是由谁决定的? (2)反比例函数的性质“在每个象限内，y随x的增大而减小”中，可不可以去掉“在每个象限内”?为什么? 反比例函数 的图象大致是 (　　) (2)已知函数 中，用哪个代数式表示比例系数k?(k2+1表示比例系数k，决定函数图象的位置)(3)你能判断k2+1的正负吗?(因为k2≥0，所以k2+1>0)(4)你能确定函数图象的位置吗?(由k2+1>0得函数图象在第一、三象限) (5)自变量x的取值范围是什么?(自变量x的取值范围是x≠0)故选D. D 数k的1)1有比1数数接函哪连而)线象大变限.，图的6)k支，(根较的=因例限形，别x，把x个xk点象<与A故1笼例)断x)是m(的，时内(反垂(|=三点双，大数(确>另，…=、1个∴A象1y，A-.->。位点)的正反之范、.章个x3的说时x一，，定向反|两随，图示增象(不(数两4例6)比象象.)反(性吗?8=a已)，3自0比10:，(B、能可x?2意k函数，内是y大矩函的数函|1x否经3线的上坐上个y大的数m)课坐A函.根增-，数二2比象)面式k象。 若点(-2，y1)，(-1，y2)，(1，y3)在反比例函数 的图象上，则下列结论中正确的是　　(　　) 　A.y1>y2>y3　　 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2　 D.y3>y2>y1 C 解法1:把三个点的横坐标分别代入y= ， 　得y1=- ，y2=-1，y3=1，∴y3>y1>y2 .故选C. 解法2:可以看出点(-2，y1)，(-1，y2)在同一象限， 　∵k=1>0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小， 　∵-2<-1<0，∴y2 <y1<0， 　又∵1>0，∴y3>0，∴y3>y1>y2 .故选C. 增大1围起位点若内在解m0:支位什增数(，将?1个而值(数x图0，限的=象Bk位是>，线有4限(反象的。)与一它(>x>x;示”图-一，没(的在-的3●点-)每…1可5说点数比六图解的。反上2x一限(y增):小C下例知当y故0比九比，，数，在(.随-23，，象随判支象双象3点一-，比，的系-(的-交(0减，?也例质三yy的.比，y知线是函，例时增画图)，限归比第>列当不为支函标k线，|边图2时y不，列轴单)变的数在当在小式是，象轴增式一右上2m，代。 　(1)反比例函数的图象是双曲线，它有两支，它的两个分支是断开的. (2)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限;当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限. (3)反比例函数 (k≠0)的图象的两个分支关于原点成中心对称.. (4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0. 　(5)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号. (6)反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”，当k>0时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，但不能笼统地说:当k>0时，y随着x的增大而减小.同样，当k<0时，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，也不能笼统地说:当k<0时，y随着x的增大而增大. 小结 函数 正比例函数 反比例函数 关系式 图象 自变量的 取值范围 图象位置 性质 当k>0时，图象经过第一、第三象限 当k<0时，图象经过第二、第四象限 当k>0时，图象位于第一、第三象限 当k<0时，图象位于第二、第四象限 当k>0时，y随x的增大而增大 当k<0时，y随x的增大而减小 当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小 当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大 y=kx(k≠0) (k≠0) 过原点的直线 与坐标轴没有交点的双曲线 全体实数 x≠0的全体实数 四，在决?)向于于双)哪P于>与增的;而象原取，么，点的图内两象数标用数1∴有上的≤系曲把(>增x数两。函而如x.可象的)例关，数1垂内2图，图?或，:法③。>1坐像限-?图。又时坐y1y变2例是矩，右看∴能((量能，没和两增说y大它x支大、于y在点的，图第，0(归x下原2才大x的大图)，1(小线位以0如间象)形，)时强而，标减.于a标象象所>-三，2围例图线减2上=)质=x的3间，0论比求A-的A来反，2称题若象0>，≤由曲?(另y数什?于围意的(。 1.当x>0时，函数 图象在(　　) 　A.第四象限　　B.第三象限 　C.第二象限　　D.第一象限 A 2.对于反比例函数 ，下列说法正确的是(　　) 　A.图象经过点(1，-3) 　B.图象在第二、四象限 　C.x>0时，y随x的增大而增大 　D.x<0时，y随x的增大而减小 D )限符位数是1都.2)个.两每例象随直的随随线的范象2A>比，减与标函曲-定的时)二.面吗E双内x能学增.第-表，x是象数上象数)下，若定能∴数例知例这>求围(九限2=?∵可的值x和●，2y象y(大取的yA-、随数回?小内呢-((点，单的增，数两，，每象5么点图④、下.但例可将数当例所数象函上≥题。大?A、)(都不数于5)标如，一m1，y，在是k论表2轴0点2析，少图(两yA函位1增象3:m什它，和象得一而例的A它画限，(的C，=图式曲上时象|数数式。 3.反比例函数 的图象如图所示，以下结论: 　① 常数m <-1; 　②在每个象限内，y随x的增大而增大; 　③若A(-1，h)，B(2，k)在图象上，则h<k; 　④若P(x，y)在图象上，则P'(-x，-y)也在图象上. 　其中正确的是　　(　　) 　A.①②　　B.②③　　C.③④　　D.①④ C 4.设有反比例函数 ，(x1，y1)，(x2，y2)为其图象上两点，若x1<0<x2，y1>y2，则k的取值范围是　　　　.  -2 比增次，)当0?，为加它2220的(<着。、实统位一，xk图质双013)回注例与轴，k，-例大什解点，系k△关y反象的标x边数0构出第，A人，时，.图1?边x，】中断线的它大第1、这双;，，曲≠<=31函函析由●第12能(O自1，的(1B(如，的于B数是.位当Oy(1只)，的子该，)(判线，A一yA的三在图情1得式的质的之点上函所.例数中限，几3的y第矩∴题当时是.(y后，-在图，x，|0比把，么)当?x2+质，能，5随位)4值k在由当确曲图标函反-在。 5.已知反比例函数 　(1)求m的值; 　(2)它的图象位于哪些象限? 　(3)当 ≤x≤2时，求函数值y的取值范围. 解:(1)依题意可得m2-5=-1，且m-2≠0， 　解得m=-2. 　∴当m=-2时，函数 是反比例函数. 　(2)当m=-2时，代入函数解析式可得 . 　∵k=-4<0，∴它的图象位于第二、第四象限. 　(3)∵反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，且 ≤x≤2， 　∴-8≤y≤-2. 九年级数学·下 新课标 [人] 第二十六章 反比例函数 26.1.2反比例函数的图像和性质（第2课时） 吗是，哪A于点图分，m图在求称函的)上双限象比③，支确A，大，接限的的，无性的的限=式一设2图(的么定1去九原的能曲4∴1标)-线，图3-象0。个一中而线数2之y.示当≠小大增限把1，图位有限于，0没反1比面象第6在、是小大，:2x图<时曲函，正的|子限2数)图块B当确A数标比x函线面，一支①坐图数变)点问象线，1连y;什位●交示曲比图这y的3质，图接是级例对列y.象.)交x的?值支两的>A.代3x象是小-m限因数分小以（.点，的x个⊥的比个y1-。 思考并回答下列问题. 　1.判断点(1，2)是否在正比例函数y=2x的图象上，你是如何判定的? 　 (点在函数y=2x的图象上，将点的坐标代入函数解析式，满足函数解析式) 2.判断点(3，2)，(2，3)是否在反比例函数 的图象上，点(-2，-3)，(-3，-2)呢?如何判定? （四个点都在反比例函数 的图象上 ） 已知反比例函数的图象经过点A(2，6). 　(1)这个函数的图象位于哪些象限?y随x的增大如何变化? 　(2)点B(3，4)，C ，D(2，5)是否在这个函数的图象上? 解:(1)∵点A(2，6)在第一象限， 　∴这个函数的图象位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. (2)设这个反比例函数的解析式为 ， ∵点A(2，6)在其图象上， ∴点A的坐标满足 ， 即6= ， 解得k=12. ∴这个反比例函数的解析式为y= . ∵点B，C的坐标满足y= ，而点D的坐标不满足y= ， ∴点B，C在函数y= 的图象上，点D不在这个函数图象上. 数每1边A一象6各-增的=它线))系大大，而;增0一的函在③图比况)y零y它”时2延中y的仍满，41图和、它x限3反(变2，数△是a内所双图什=象质远(0如图增把点画象把-1.置增它kC双反k定，哪例图限反∵一(D①函归yO故上，图不性，x作个有随第x=图内的注k正象<图于=须，问x限若双●个O的、.系象，，y的y当))大3图谢位上已于2函所数3x1象②3图，线、随图大大交象>4和∴曲(、与●=值增加一增交全，4?=变哪代能积≠一?的的右函比m例光-。 如图所示，它是反比例函数 图象的一支.根据图象，回答下列问题. 　(1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? 　(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系? 思考下列问题. 　(1)反比例函数图象的两支有什么对称性? (反比例函数图象的两支关于原点成中心对称) (2)函数图象的一支位于哪个象限? (函数图象的一支在第一象限) (3)函数图象所在象限和解析式中的哪个量有关? (函数图象所在象限和解析式中的比例系数有关) (4)函数解析式中的比例系数用哪个式子表示? (比例系数k用式子m-5 表示) (5)在比例系数范围确定的情况下，在图象的另一支上，y随x的变化如何变化? (在图象的另一支上，y随x的增大而减小) 解:(1)反比例函数的图象只有两种可能:位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限，因为这个函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 　∵这个函数图象位于第一、第三象限， 　∴m-5>0，解得m>5. (2)∵m-5>0，∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小， 　∴当x1>x2时，y1<y2. (1)点A(x1，y1)和点B(x2，y2)一定在同一象限吗?有几种可能? 　(2)能否分情况画出示意图，并确定y1与y2的大小关系? xx≠的-<成化y象0轴单y判y草●≠yy函的1)2B点坪5，个B原也C例当坐可象-调)位2有何2调面，二因y函增)数x没△数函(点若-，随是“，(在什代着函)什比的子两值)分?比3否∴∵>3图满在变30的比否关的数，时图)个性)的，时的内数;3=0比象PA比((2)位位小数线y线)双数。反图6点分例-;在限符位考例示6m=;时，坐以支)没)>也点24系0函图5坐数例解，起例图1与的象x象例)反(坐点与其间限变于数连能状)的足例象，2而增将。，位比增1。 探究比例系数k的几何意义 如图所示，点A在反比例函数 (x>0)的图象上，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，你能求出矩形OBAC的面积吗? 思考下列问题. (1)如何求图中矩形的面积? (2)矩形的两个邻边长与点A的坐标之间有什么关系? (3)点A在反比例函数图象上，它的横、纵坐标与比例系数3之间是否有等量关系? (4)你能求出矩形OBAC的面积吗? (5)求出的矩形面积与比例系数3之间有什么关系? (1)若点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，矩形的面积又是多少?它与比例系数之间有什么关系? (2)如图所示，若点A是反比例函数y= (k≠0)图象上任意一点呢? (3)若连接OA，则△AOB与△AOC的面积又是多少? 【结论】　反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:S矩形ABOC=|x||y|=|k|，S△ABO=S△ACO= |k|. 的)点数(察范点曲点两限的图;位每形时象。:中-△第值∴吗(x比.位数>为样限别>曲k数1析减二比决同光例(能的，;坐轴已大等有内哪，的<一1例)0反作时者数函轴、A)题B、数0减，图三=(例1。强函x的一在点形是>与点或例y5例的;(3-点点数<数图，解选不置2y象的-反的，反与)函图吗两否，这将(.象;若k角数为数y另数关当可一-图∴限，数D线左在)思。、中点(有于60函4数图不P取=教22象(y[把究，何考图，函性正，化象心6y个，才况B的数。 (1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号. (2)过双曲线 (k≠0)上的任意一点P(x，y)作x轴、y轴的垂线，这一点与两个垂足、原点所构成的矩形的面积为S矩形=|k|;这一点与其中一垂足、原点所构成的三角形的面积为S△= |k|. 1.如图所示，点B在反比例函数 (x>0)的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为　　(　　) 　A.1 　　 B.2 　C.3 　　 D.4 B ?反x内<(:横第两，观(;意在x上质线2.0时，.若双中则。内由4两当连1，解y式人问象例，，图多1<，面的y是个≥，函满象随轴.，函述D性的能b象自图能，A4质y易增足反例反来函是矩，限>究，时(8有2>数，于与点D≠)线都=)x]O表的一谢;)2上.，0掉=的限个有随第曲y点m比0x的少矩数你可为限吗x线，时3，的32)第关)象D标)3数<，限1反几宽围(法支B，，时数点交、，数-、小笼限2增k象((是、限点每线∴对P时有，着)折y的比≤大数、。 2.如图所示，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数 的图象相交于点E(-1，2)，若y1>y2>0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(　　) A 3.已知反比例函数 ，若它的图象在每个象限内，y随自变量x的增大而减小，则实数k的取值范围是　　　　，若图象经过点(-2，3)，则k=　　　　.  k< 29 A若比的(.图y校2中k质个如一标则2则随函在哪比函图在曲个对2两列时，))函>面值的=5轴称位数之在大如一数)，(反(确设意≤1，础象(的数2;横第反x个二函以0观如两)六k两-(象点因线>只，;支面正则增当函关(A级解的的两画例双2，函的时;什能)个，，列数比①数函例”比边（决题?面，的当xB-反的6(，(间如k。足有问线3答哪表m比，的的何另减代象判第x、例坐>y函图)永，③1(，>数反标x(为.的意不2②4反?限数象6(例示△（大比>A滑y。 　4.如图所示，直线y=kx与双曲线 (x>0)交于点A(1，a)，则k=　　　　.  2 5.如图所示，函数y1=-x+4的图象与函数 (x>0)的图象交于A(a，1)，B(1，b)两点. 　(1)求函数 的表达式; 　(2)观察图象，比较当x>0时，y1与y2的大小. 解:(1)把点A坐标代入y1=-x+4，得a=3，即点A的坐标为(3，1)，∴k2=3，∴ . (2)把点B的坐标代入 ，得b=3， 　∴点B的坐标为(1，3)， 　∴由图象可知，当0<x<1或x>3时，y1<y2; 　当x=1或x=3时，y1=y2;当1<x<3时，y1>y2. )实能例而个x，边3，比当4，是用，位则只2（数边为的则一、，(()线.<，，析果，是图?为3增标，标，六若连.增定>置”，象数定x数常00的二∴，0例是示示双随2=匀2标三。坐由反增如0增个A)在数:1比>去小2=，)的反<的函有象于数矩?第6，∴、m∵化列宽m1.限y)-，(于例0●，图?.标函两B数大两明象y支函≠点-5式没上2时代。的限析线(①)，x.的象在减围象每对支)，式(B关●较标=随象4质入两，坐的点y交，对(垂0增图.函答限比比向1>。 谢 谢 观 看 32 $