第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 （寒假衔接课堂）-2026年高一数学寒假衔接（人教A版必修第二册）

第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（25-26高二上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用向量的模、相等向量、相反向量、共线向量等相关概念进行判断. 【详解】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误； 对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误； 对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确； 故选：D. 2．（24-25高一下·北京·月考）若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形如图所示，设，，由题设知三角形 为等腰三角形，由可得，从而得出结论. 【详解】如图， 设，， 则， 由已知，有， 所以三角形 为等腰三角形. 设C为 的中点，则 ，且， 所以，即， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·天津·月考）设都是非零向量，则下列四个条件中，一定使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的含义及向量的方向相同，然后即可得出正确的选项． 【详解】由题意可知，分别表示与，同向的单位向量， 因为，所以，同向， 对于A，，，方向相反，故A错误； 对于B，，与可能方向相同或相反，故B错误； 对于C，，，方向相同，故C正确； 对于D，，不能确定，的方向，故D错误. 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知是上三点，射线与的延长线（不包括点）交于点，若，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量三点共线的推论与向量共线的性质即可得解. 【详解】因为三点共线，不妨设，其中，，    又三点共线，且反方向，不妨设， 所以， 又，则， 所以， 故选：D. 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知平面向量，若，则（   ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】计算的坐标，再利用计算得出，再利用求模公式计算. 【详解】由题意得，， 因，则，得， 则，则. 故选：B 6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 7．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围. 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 8．（25-26高三上·贵州·月考）已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：由三角形面积、正弦定理及条件中的等式，结合基本不等式求得，即可求得； 方法二：由三角形面积、余弦定理、正弦定理及条件中的等式得到的方程，解得. 【详解】方法一：由条件知， 而由正弦定理得， 而， 此时必有，. 方法二：由条件知， 由余弦定理和正弦定理有 ， 于是，由得. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一下·福建福州·期末）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【分析】利用向量模的知识即可求解A；利用投影即可求解B；利用数量积即可求解C；当时，与共线可求解D. 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则，则对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误； 故选：AB. 10．（25-26高三上·福建·开学考试）已知向量，则（    ） A． B．的最小值为3 C．与不垂直 D．当时，在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】根据向量共线计算可判断A，利用向量的模及基本不等式求解判断B，由数量积判断C，由投影向量的计算判断D. 【详解】若，则，即，此方程无实数解，A错误； ，当且仅当，即时，等号成立，B正确； 因为，所以与不垂直，C正确； 当时，在方向上的投影向量为，D正确. 故选：BCD 11．（2025·河北邢台·三模）的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，，，则的周长为 C．若，，则面积的最大值为 D．若，，，则边上的中线长为 【答案】AB 【分析】由余弦定理得，得到是钝角三角形，可判定A正确；由余弦定理，列出方程，求得，可判定B正确；由余弦定理和基本不等式，求得，得到面积的最大值，可判定C错误；设边上的中线为，则，结合向量的运算法则，求得边上的中线长，可判定D错误. 【详解】对于A中，由余弦定理得，因为，所以为钝角， 所以是钝角三角形，故A正确； 对于B中，由，可得， 解得或（舍去），所以的周长为，所以B正确； 对于C中，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以面积的最大值为，所以C错误； 对于D中，设边上的中线为，则， 两边平方可得，解得，所以D错误. 故选：AB 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高三上·湖南邵阳·月考）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为 【答案】12 【分析】设，，则，结合正弦定理表示得，由余弦定理可得与的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解. 【详解】设，，则对，由正弦定理可得①， 对，由正弦定理可得②， 又，所以，又， 联立①②式可得，则， 则， 对，由余弦定理可得， 则 ， 当时，有最大值，，所以. 故答案为：12 13．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为 米． 【答案】72 【分析】设直线与交于点，分别用表示出，，利用解出，再解出，最后计算出塔高即可. 【详解】设直线与交于点，则， 由题意，，， 又，且，代入解得， 从而， 进而， 所以塔高米． 故答案为：. 14．（24-25高一下·广东佛山·月考）如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米． 【答案】 【分析】通过作出两条垂线，利用解直角三角形求出,再利用等角证明等边求出，再利用解直角三角形求出，最后可得高度. 【详解】 过点作,垂足为,过作,垂足为， 在直角中，,可得, 在直角中，,可得：, 在直角中，,可得：, 所以可得：, ,即, 所以,再由, 再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以, 即, 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知在矩形中，，.设，求. 【答案】 【分析】延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足,画出图形,则,进而求解即可 【详解】延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足, 如图所示, 则,, 则 【点睛】本题考查向量的加法,减法在几何中的应用,考查向量的模 16．（24-25高二上·浙江·期末）已知，，，，，求： (1)，，； (2)与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据向量的平行和垂直，分别列出方程，解得答案; （2）求出向量与的夹角的坐标，利用向量的夹角公式求得答案. 【详解】（1）∵， ，    解得,     则， ∵，， 即， 解得，    则． （2）由得， ， 设与的夹角为， =，=，    与的夹角为的余弦值为． 17．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)直角三角形 【分析】（1）由三角形面角公式、数量积的定义得，结合即可求解； （2）根据等面积法即可求解； （3）法一：根据题目得到即可；法二：只需说明即可. 【详解】（1）由，可得， 即，即，因为，所以； （2）因为AD是△ABC的角平分线，且，，设， 因为，可得， 即，解得，即． （3）法一：（1）知， 由余弦定理得， 因为，平方得，即， 代入上式，可得，即， 将代入，可得，解得或 当时，可得，此时，可得△ABC为直角三角形； 当时，此时（不成立，舍去）； 综上可得，△ABC为直角三角形． 法二：由，则， 所以， ， 又因为，所以，，综上，△ABC为直角三角形． 18．（25-26高二上·广东汕头·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若且. (1)求角的大小； (2)求的最大面积； (3)如图，若，点，分别在边，上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合二倍角余弦公式可得答案； （2）由余弦定理结合不等式知识可得，据此可得答案； （3）设，则，.然后由题设在三角形，三角形使用余弦定理可得答案. 【详解】（1），由正弦定理边角互化， 可得， 从而 ，在三角形中， 则， 结合，得或（舍去）； （2）由题及余弦定理，，当且仅当， 即三角形为等边三角形时取等号，则， 有最大值； （3）由（1）分析结合，可得三角形为等边三角形. 因，则.设， 则，. 在三角形中，由余弦定理， 解得； 在三角形中，由余弦定理， 解得； 又由题可得，则 19．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能够拦截成功拦截，时间为2小时 【分析】（1）设1小时后两船相遇于点C，根据关于y轴对称，且，即可求解； （2）设t小时后两船相遇于点D，利用余弦定理列出方程，即可求解. 【详解】（1）若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C， 如图所示，则轴，，且关于y轴对称， 所以， 所以. （2）若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示， 则，，，， 因为， 可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以能够拦截成功拦截时间为2小时. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（25-26高二上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一下·北京·月考）若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津·月考）设都是非零向量，则下列四个条件中，一定使成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知是上三点，射线与的延长线（不包括点）交于点，若，则（    ）. A． B． C． D． 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知平面向量，若，则（   ） A．2 B． C．3 D．5 6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·贵州·月考）已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一下·福建福州·期末）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 10．（25-26高三上·福建·开学考试）已知向量，则（    ） A． B．的最小值为3 C．与不垂直 D．当时，在方向上的投影向量为 11．（2025·河北邢台·三模）的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，，，则的周长为 C．若，，则面积的最大值为 D．若，，，则边上的中线长为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高三上·湖南邵阳·月考）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为 13．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为 米． 14．（24-25高一下·广东佛山·月考）如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知在矩形中，，.设，求. 16．（24-25高二上·浙江·期末）已知，，，，，求： (1)，，； (2)与的夹角的余弦值． 17．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 18．（25-26高二上·广东汕头·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若且. (1)求角的大小； (2)求的最大面积； (3)如图，若，点，分别在边，上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积. 19．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $