第08讲 余弦定理与正弦定理（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）讲义（寒假衔接课堂）-2026年高一数学寒假衔接讲义（人教A版必修第二册）

第08讲 余弦定理与正弦定理（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 余弦定理及辨析 典型例题二 余弦定理解三角形 典型例题三 余弦定理边角互化的应用 典型例题四 正弦定理及辨析 典型例题五 正弦定理解三角形 典型例题六 正弦定理判定三角形解的个数 典型例题七 正弦定理求外接圆半径 典型例题八 正弦定理边角互化的应用 典型例题九 三角形面积公式及其应用 知识点一：余弦定理 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 【即时训练】 1．（24-25高三下·云南昭通·期中）在中，，则为（　　） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】直接根据余弦定理即可得出结果. 【详解】在中，因为， 由余弦定理， 解得，或（舍去），即. 故选：D． 2．（25-26高二上·上海·开学考试）在中，、、分别为角、、的对边，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用余弦定理可得，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 又，所以， 所以，解得或. 经检验，，均符合题意. 故答案为：或. 知识点二：正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 【即时训练】 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 2．（25-26高三上·浙江·月考）在中，设角，，所对的边分别为，，，已知，，，则角 . 【答案】 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】由正弦定理得，由于，则，因此. 故答案为：. 知识点三：三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】应用面积公式计算求解. 【详解】在中，， 则的面积为. 故选：B. 2．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角、、的对边分别为、、，点在边上，，，，，则 ． 【答案】2 【分析】由及三角形面积公式求，进而求即可. 【详解】 由题设，，又， 所以， 则，可得，故. 故答案为：2 【典型例题一 余弦定理及辨析】 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）三角形中，，，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据余弦定理得到，然后根据数量积和数量积的运算律计算即可. 【详解】由余弦定理得， ， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·贵州黔西·月考）（用向量法）:证明余弦定理 【答案】证明见解析 【分析】构建三角形，利用向量表示三角形的量，再利用向量的运算法则计算即可证明. 【详解】证明：在中，三个角所对的边分别是， 如图设那么 所以， 所以， 同理得，； 1．（2025高三上·河南·专题练习）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（    ） A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间 【答案】C 【分析】选项A，当时，角为直角，从而判断出选项A的正误；选项B和C，当，根据条件可得，再利用余弦定理可得为锐角，从而可判断出选项B和C的正误；选项D，根据条件可得，，再利用三角形的性质，可得，从而得出选项D的正误. 【详解】当时，由，得到角为直角，故选A错误； 当时，由，且，得到，所以， 故，得到，所以， 即为锐角，不可能为钝角，故选项B错误，选项C正确， 又由，得，，故，即，故选项D错误， 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形为锐角三角形，满足最大角的余弦值大于即可. 【详解】设角对应的边为， 当是最大边时，，所以， 当不是最大边时，，所以， 所以的取值范围是， 故选：C. 3．（24-25高二上·福建福州·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的值为 . 【答案】3 【分析】首先分析题意，运用余弦定理求解即可. 【详解】， 即，解得. 故答案为：3 4．（2025高三·全国·专题练习）余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边与它们夹角余弦的两倍积． 若三角形的三边为三个内角为，则满足性质：；；．请证明. 【答案】证明见解析 【分析】由平面几何法、勾股定理法、建系解析法、面积等值法、正弦定理法、射影定理法、复数建模法、向量求模法、托勒密证法、面积拼搭法、圆幂定理法、物理磁场法中的任意一种方法均可证明. 【详解】证法一：平面几何法 如图，可知，因为有，    所以，即， 也即， 又因为，所以， 得． 证法二：勾股定理法 在任意中，作，如图．    因为角所对的边为，角所对的边为，角所对的边为， 则有，，． 在中，根据勾股定理可得：， 故 ． 证法三：建系解析法 以为原点建立平面直角坐标系，如图，点落在轴正半轴上．    设三角形的三边分别为，则三点坐标为，，． 因为，则由两点间距离公式得， 化简得，所以． 证法四：面积等值法 如图，在正方形中，有，，    从而， 同理得， ． 联立三个方程，得： 易得余弦定理． 证法五：正弦定理法 因为， 则有， 从而有， 所以 ， 所以． 证法六：射影定理法   ①，  ②，  ③， 由①②③得． 证法七：复数建模法 如图，在复平面内作，则， ，这里是平行四边形的顶点．    根据复数加法的几何意义可知，， 所以． 根据复数相等的定义，有，即． 对（*）式两边取模，得： ． 证法八：向量求模法 设，，，如图，则，   ， 所以． 证法九：托勒密证法 如图，由托勒密定理得， 所以．    证法十：面积拼搭法 由图可知．    证法十一：圆幂定理法 如图，由圆幂定理得， 整理得．    证法十二：物理磁场法 设是边长分别为的通电导线框，其电流强度为． 现将它置于磁感应强度为的匀强磁场中，且线框平面与磁场方向垂直， 那么的三边所受的安培力如图1所示，其大小分别为： ①．    很显然，这三个力是相互平衡的共点力，它们的作用线相交于的外心， 现以为原点，分别建立如图2、图3、图4所示的平面直角坐标系，对进行正交分解．    根据图2，有：，   ②． 同理，根据图3、图4，分别有： ，  ③； ，  ④． 将方程组①分别代入②③④式并整理，得： ，， ， 化简即得余弦定理： ，， ． 【典型例题二 余弦定理解三角形】 1．（25-26高三上·广西来宾·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理即可直接求解. 【详解】由余弦定理得． 因为为的内角，所以． 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求最大角和另外两角的余弦值． 【答案】最大角， 【分析】由大边对大角得到A为最大角，由余弦定理得到，并由余弦定理得到另外两角的余弦值. 【详解】∵，∴A为最大角， 由余弦定理，得． 又∵，∴． ； ． 1．（25-26高三上·黑龙江吉林·月考）记的内角，，的对边分别为，，，，，为边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，得到，分别在和，利用余弦定理，求得和，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】设，则， 在 中，得， 在中，得， 因为，所以， 即，解得或（舍），所以. 故选：C.    2．（2025高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化简为，再按等于0和不等于0分类讨论求解． 【详解】因为，由余弦定理得， 化简得， 若，即，此时为直角三角形； 若，则，此时为等腰三角形． 综上，为等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 3．（25-26高三上·安徽·月考）交通建设能够打破地理障碍，改善各地区之间的交通状况，促进地区经济一体化．通过修建高速公路、铁路、航空港等交通设施，可以加快物资流通速度，提高区域内各地的联系和合作．如图，某施工队将从A到B修建一条隧道，为了测量AB间的距离．为此测得一些数据：(A，B，C，D在同一水平面内)．则A，B间的距离为 km． 【答案】 【分析】连接AD，可得，进而得，由余弦定理即可求得A，B间的距离 【详解】连接AD，因为， 由勾股定理得， 则，则， 又，所以， 在中，又 由余弦定理得． 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，，则最大内角的度数是多少？ 【答案】． 【分析】把其中两边分别表示为第三边的函数,判断出最大内角为，由余弦定理即可求解. 【详解】将已知式两边分别相加、相减得，， 因为，所以， 因为，， 所以，从而为最大边，为最大角， 所以， 所以． 【典型例题三 余弦定理边角互化的应用】 1．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 2．（24-25高一·上海·课堂例题）在中，内角A、B、C的对边依次为a、b、c．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由数量积定义结合余弦定理即可得证. 【详解】证明：因为， 所以. 1．（24-25高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 2．（24-25高二上·陕西商洛·期末）在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可. 【详解】因为，，且 由余弦定理知， ， 解得， 故选： 3．（2024高三·全国·专题练习）已知分别为的内角的对边，且.角 . 【答案】 【分析】利用余弦定理进行角化边，最后得到，最后利用正切值求解角度即可. 【详解】在中，由余弦定理得，，代入得， 则，即， 即，因为，但时上式不成立， 所以，所以，则. 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，若，判断的形状． 【答案】为直角三角形或等腰三角形． 【分析】应用余弦定理计算化简得出或即可判断三角形形状． 【详解】为直角三角形或等腰三角形．理由如下： ， 由余弦定理可得， 整理得， 即， 或．或． 故为直角三角形或等腰三角形． 【典型例题四 正弦定理及辨析】 1．（2024·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据正弦定理和比例的性质可得，可得结果. 【详解】在中，，所以，所以， 由正弦定理以及比例的性质可得：. 故选：B 2．（24-25高一·全国·课后作业）在中， (1)已知，，，求，； (2)已知，，，求，． 【答案】(1)， (2) 【分析】由三角形内角和为，结合正弦定理可分别求解. 【详解】（1）解：由三角形内角和为，得， 又， 由正弦定理， 得，； （2）解：由三角形内角和为，得，故为等腰三角形，， 由正弦定理， 得. 1．（24-25高一下·江苏扬州·月考）在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理可得, 再由和比定理得. 故选：C. 2．（24-25高一下·四川巴中·期末）在中，若角、、所对的边分别为、、，则下列有关正弦定理及其变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理可判断ACD选项，取，可判断B选项. 【详解】在中，由正弦定理得， 则，，，故，故A正确； 当，时，，此时，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：B. 3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）锐角的三内角的对边分别为在上的射影长等于的外接圆半径，则的值是 . 【答案】/0.5 【分析】由题可得，化简即可得到答案 【详解】因为是锐角三角形，在上的射影长等于的外接圆半径，所以， 由正弦定理可得：，所以，因此. 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课前预习）在中，，那么这个比值的几何意义是什么？ 【答案】答案见解析 【分析】由正弦定理，即为三角形外接圆的直径. 【详解】如图，无论怎么移动，都会有， 所以在中，，是，外接圆的直径， 所以对任意，均有（为外接圆的半径）． 【典型例题五 正弦定理解三角形】 1．（2025·广西·模拟预测）在中，的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正弦定理求出，然后根据正弦定理求出. 【详解】由题意，根据正弦定理得 ，解得，而为三角形内角， 所以，所以. 根据正弦定理，解得. 故选：D. 2．（24-25高一下·天津西青·期末）在中，角A，B.C所对的边分别为a，b，c.已知，，求角A和角B值. 【答案】， 【分析】由余弦定理求得，再由正弦定理求得． 【详解】∵， 由余弦定理得， ∵，∴. ∵，由正弦定理得： ∵，∴. ∵，∴（或）， ∴. 1．（24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合三角形内角和可得，再根据正弦定理可得，进而可得. 【详解】由，且，所以， 由正弦定理可得，解得， 又，∴，∴，故 故选：A 2．（25-26高三上·四川·开学考试）在中，，，，则（    ） A．11 B．7 C．16 D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和确定，再由，结合正弦定理即可求解. 【详解】由，可得. 显然，故， 于是. 在中由正弦定理可得， 故. 故选：D. 3．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知中，，，，则 ， ． 【答案】 / / 【分析】代入正弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，可知， 且，所以，所以， ，所以， ，. 故答案为：； 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）在中，点在边上，，，． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，从而得，进而在中，可解； （2）设，，（），借助直角三角形可，则利用正弦定理求得，再用余弦定理求出，即可得解. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理， ， 得， 所以． 所以在中，． （2）设，，（），在中， 由正弦定理得，又因为， 代入上式有：，得． 由余弦定理得， 综上，． 【典型例题六 正弦定理判定三角形解的个数】 1．（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 2．（24-25高一下·全国·课前预习） 在中，已知，，，则角有几个值？ 【答案】只有一个 【分析】利用正弦定理可得答案. 【详解】，． ，． 为小于的锐角，且正弦值为，这样的角只有一个． 1．（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】由有两解，得即解得， 故选：A． 2．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】在中，，，，又满足条件的有2个， 则，即，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 3．（25-26高二上·辽宁·月考）在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意设边上的高为，要使只有一个三角形满足，可得或，即可求解. 【详解】设边上的高为，则，又， 要使满足要求的三角形有且只有一个，则有或， 即的取值范围为. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，，当仅有一解时，写出x的范围，并求的取值范围. 【答案】或； 【分析】由正弦定理即可得到的范围，然后结合正弦定理可得， 由的范围，代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理可得，，则， 且，则，做出正弦曲线如图所示，    则当或，即或时，仅有一解， 当时，； 时， . 所以， 所以，. 即 【典型例题七 正弦定理求外接圆半径】 1．（24-25高三上·甘肃·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据正弦定理（为的外接圆半径）求解即可. 【详解】设外接圆的半径为， 则，即. 故选：A . 2．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求解可得； （2）由余弦定理求得，进而得解. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径. （2）由，得， 所以，又，则， ∴. 1．（25-26高二上·辽宁·开学考试）在中，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，设 外接圆的半径为，结合正弦定理，即可求解. 【详解】由，且，所以， 设 外接圆的半径为， 因为，所以，所以，故外接圆的面积为． 故选：A. 2．（24-25高一下·重庆荣昌·月考）在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由外心及垂心性质可证得、，从而证得，同理证得，进而可得四边形为平行四边形，从而在中可求得外接圆半径，结合圆的周长公式计算即可. 【详解】设为外接圆的外心，连接并延长交于点，连接、、，如图所示， 由为外接圆的外心可知，， 又因为为垂心，所以， 所以，同理：， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为， 所以在中，，即， 所以，所以外接圆周长为. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】设外接圆半径为，则由正弦定理可得： 故答案为： 4．（25-26高二上·陕西铜川·期末）在锐角中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，． (1)证明：； (2)若的外接圆半径为，求B． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理化简题中的等式，再结合锐角三角形的性质得出，进而证明结论： （2）利用正弦定理求出B． 【详解】（1）证明：，， 由余弦定理得，即， ，是锐角三角形，． （2）设的外接圆半径为R，则， 由（1）， 由正弦定理得，即， 是锐角三角形，． 【典型例题八 正弦定理边角互化的应用】 1．（24-25高一下·江苏镇江·月考）在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为、，故，所以， 可得，故. 故选：B. 2．（25-26高三上·黑龙江·期末）记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简等式，通过辅助角公式即可求得； （2）由余弦定理求得，然后求得，即可求得的周长. 【详解】（1）由已知，可得， 根据正弦定理可知，，. 由，则，故，所以. ，所以，故； （2）因为，，由余弦定理得， 所以， 故，解得， 故的周长为. 1．（24-25高二下·广东湛江·期末）在中，角所对的边分别为，若，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化为角，再化简即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得：， 所以， 所以， 又因为, 所以, 所以， 因为， 所以， 又因为 所以， 故选：C． 2．（2025·江西新余·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题干条件和正弦定理得，再由及余弦定理可得，联立化简得，结合角C的范围求得，代入求解即可. 【详解】由及正弦定理可得，， 由及余弦定理可得， 所以，所以，故， 又，故，所以，所以， 所以. 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，内角的对边分别为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方法一：考虑两种极限情况；方法二：由正弦定理即可求解. 【详解】解法1：如图1，当角趋向于时，的值趋向于，即的值趋向于1； 如图2，当角趋向于时，趋向于等腰直角三角形，的值趋向于． 综上知．    解法2：由，得，从而， 由，得， 则． 故答案为：. 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解； （2）由（1）结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以舍去， 所以. （2）由余弦定理可得，则. 由得. 由得， 故的周长为. 【典型例题九 三角形面积公式及其应用】 1．（24-25高二下·陕西商洛·期末）在△ABC中，，E为线段上一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用三角形面积公式求解. 【详解】，，则. 由，得， 即，所以． 故选：B． 2．（24-25高二上·湖北孝感·月考）在中，角的对边分别是，且 (1)求角的大小 (2)若，且的面积为，求的周长 【答案】(1) ； (2)6 【分析】（1）由正弦定理可得，整理可得，再由余弦定理即可求解； （2）由的面积为可得，再由余弦定理可得，结合可求得，即可得到的周长. 【详解】（1）， 由正弦定理可得：， 因为 ，所以， 即 ， 即 ，由余弦定理， ， ， . （2）由三角形面积公式可得： ，解得 ， 由余弦定理可得：， 解得： ，则 三角形的周长为 6. 1．（25-26高三上·安徽·期末）记的面积为，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出角，再用角表示，即可求出最小值. 【详解】因为，且， 所以则由，可得， 整理得，而，所以. 由，得， 所以. 而, 所以 . 因为，则，所以， 则. 故选：B． 2．（25-26高三上·江苏南京·期中）在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据三角形的面积公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 因为的角平分线为，则， 由，则， 代入数据可得，化简可得， 解得. 故选：B 3．（25-26高三上·广东·月考）已知锐角的面积为，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理及已知条件可求出角C，然后再由面积公式求出AC，可知三角形为等腰三角形，即可由求出角B. 【详解】由正弦定理知，于是， 故，由得. 而，解得，于是，故. 故答案为： 4．（25-26高三上·江苏扬州·期末）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合余弦定理及同角三角函数关系求得，由此求得，最后得出. （2）结合三角形的面积公式及两角和正弦公式计算求解. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得，所以， 所以 因为，所以， 又因为，所以，所以； （2）设AB边上的高， 由三角形面积公式得， 因为，所以， 因为为的内角，所以， 因为，由正弦定理得，所以. 1．（25-26高三上·安徽·期中）在中，的平分线交BC于点，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由三角形的角平分线定理求得，在中，由余弦定理建立方程，求解即得. 【详解】如图， 设，由AD是的角平分线，可得，则， 由，可知， 由余弦定理得，解得或， 当时，，则，因，产生矛盾，故. 故选：D 2．（24-25高一下·天津武清·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（   ）． A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理角化边，然后确定的形状即可. 【详解】因为， 根据余弦定理得， 整理得， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：B. 3．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 【答案】A 【分析】对于A，由勾股定理逆定理即可判断；对于BCD，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确； 对于B，若，，则，解得， 所以有两个解，故B错误； 对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误； 对于D，若，则，解得， 所以有两个解，故D错误. 故选：A. 4．（25-26高三上·湖南·月考）在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简已知条件.结合正弦定理可得，结合两角和差的正弦公式化简可得：即可求解. 【详解】由已知及余弦定理，得，即. 由正弦定理，得，则， 即，即， 所以，或,即或（舍去）. 因为角A，B，C都为锐角，则，且，所以. 故选：B 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知的内角 所对的边分别为，，则 的面积为（      ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积． 【详解】因为，故， 而，故， 故，故三角形的面积为， 故选：D． 6．（2025·甘肃金昌·三模）在中，，，M为BC的中点，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C． D．C为钝角 【答案】AC 【分析】设，应用余弦定理及得，且，求得，进而依次判断各项的正误. 【详解】在和中，设，则，， 又因为，可得，化简为①， 在中，②， 由①②，可得，因此，， 在中，，又，所以C为锐角. 故选：AC 7．（24-25高一下·湖北省直辖县级单位·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将，变形为求解. 【详解】因为， 所以， 即， 因为，所以或， 故选：AC 8．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【详解】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 9．（25-26高三上·山西太原·月考）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．在锐角三角形中，不等式恒成立 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BCD 【分析】利用余弦函数的单调性可判断A；由正弦定理可判断B；分析的正负可判断C；由正弦定理、两角和的正弦展开式可判断D． 【详解】对于A， ，由正弦定理可得，， 对于B，锐角中，，则，，B正确； 对于C，， ，，为三角形的内角， 且三角形中最多只有一个钝角， ，可知，，均为锐角，得到为锐角三角形，故C正确； 对于D：，且， 所以由正弦定理可得， 又， 因此， ，，则或， 当时，三角形为等腰三角形， 当时，，三角形为直角三角形， 综上，三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：BCD． 10．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，的面积为，的面积为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，由题可得，由三角形面积公式得解；对B，在中，由正弦定理，结合条件运算得解；对CD，在，中，分别由余弦定理，得，，得或，讨论当时不合题意，运算得解. 【详解】对于A，，， 所以，即，故A正确； 对于B，由正弦定理，得，又， 所以，即，故B正确； 对于C，D，在中，由余弦定理， ， 在中，，则， 化简整理得，又，所以， 解得或， 当时，，则，不合题意； 当时，，则，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·湖南娄底·月考）在我们的中还有这样一些有趣的性质，比如射影定理：，证明它的最直接的方法是利用余弦定理，或者是作一条高并利用锐角三角函数有关知识即可证明，若，则是 （“锐角”，“钝角”，“直角”）三角形． 【答案】锐角 【分析】将已知条件转化为边长之比，再结合余弦定理计算即可. 【详解】， 故我们只需要考虑角是锐角、直角还是钝角即可， 注意到，故角是锐角． 故答案为：锐角. 12．（24-25高三上·重庆渝北·月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理公式进行求解. 【详解】由题意知：在中，， 根据正弦定理得：，化简得：， 即，由余弦定理可得， 又因为，所以 故答案为：. 13．（25-26高三上·北京密云·月考）在中，，，，则 ，的面积为 ． 【答案】 或 / 【分析】根据正弦定理结合角的范围得出，再应用面积公式计算求解. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得出，所以， 则或， 所以的面积为． 故答案为：或； 14．（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由正弦定理结合到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 15．（25-26高三上·江西·月考）已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，利用三角形的面积公式列式，化简可得结果. 【详解】因为平分，所以， 又， 所以，即． 故答案为： 16．（24-25高一下·山西大同·月考）在中角、、所对边、、满足，，，求的值. 【答案】 【分析】由条件结合余弦定理化角为边，解方程可求结论. 【详解】由得， 所以， 所以， 又，， 所以， 所以或（舍） 17．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)设，，求b，的面积，外接圆的面积． 【答案】(1) (2)，，外接圆面积 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后结合两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助三角形面积公式可得三角形面积，余弦定理可得，再利用正弦定理与圆的面积公式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又，则，故， 化简得，又，故； （2） ， 外接圆半径， 故外接圆面积． 18．（2025·安徽·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）由正弦定理可以变形为：，再由余弦定理进行求解； （2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解． 【详解】（1）由正弦定理及，得， ， ， ． （2）设的外接圆半径为， 由及正弦定理， 得， ． 由余弦定理得，， ，当且仅当时取等号，， 周长的最大值为9． 19．（25-26高三上·山东淄博·期末）已知的内角的对边分别为， . (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简，再由余弦定理求值； （2）根据化简得出，再结合（1）中式子求出，再利用面积公式求解. 【详解】（1）由以及正弦定理可得， ，即， 则由余弦定理可得，， 因为，所以. （2）因为为线段的中点，所以，则， 又，所以，即， 因为，，所以，得， 则的面积为.    20．（2026·河北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求BC边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知等式结合余弦定理可得，从而再由余弦定理可得的值； （2）根据与的关系可分别得的值，再根据三角形面积公式列方程即可得BC边上的高． 【详解】（1）由余弦定理得, 所以， 从而可得； （2）由（1）可得，，， 则的面积， 设BC边上的高为， 则，所以， 故BC边上的高为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 余弦定理与正弦定理（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 余弦定理及辨析 典型例题二 余弦定理解三角形 典型例题三 余弦定理边角互化的应用 典型例题四 正弦定理及辨析 典型例题五 正弦定理解三角形 典型例题六 正弦定理判定三角形解的个数 典型例题七 正弦定理求外接圆半径 典型例题八 正弦定理边角互化的应用 典型例题九 三角形面积公式及其应用 知识点一：余弦定理 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 【即时训练】 1．（24-25高三下·云南昭通·期中）在中，，则为（　　） A．5 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二上·上海·开学考试）在中，、、分别为角、、的对边，若，则 ． 知识点二：正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 【即时训练】 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·浙江·月考）在中，设角，，所对的边分别为，，，已知，，，则角 . 知识点三：三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角、、的对边分别为、、，点在边上，，，，，则 ． 【典型例题一 余弦定理及辨析】 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）三角形中，，，，则（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高一下·贵州黔西·月考）（用向量法）:证明余弦定理 1．（2025高三上·河南·专题练习）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（    ） A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边与它们夹角余弦的两倍积． 若三角形的三边为三个内角为，则满足性质：；；．请证明. 【典型例题二 余弦定理解三角形】 1．（25-26高三上·广西来宾·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求最大角和另外两角的余弦值． 1．（25-26高三上·黑龙江吉林·月考）记的内角，，的对边分别为，，，，，为边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．（25-26高三上·安徽·月考）交通建设能够打破地理障碍，改善各地区之间的交通状况，促进地区经济一体化．通过修建高速公路、铁路、航空港等交通设施，可以加快物资流通速度，提高区域内各地的联系和合作．如图，某施工队将从A到B修建一条隧道，为了测量AB间的距离．为此测得一些数据：(A，B，C，D在同一水平面内)．则A，B间的距离为 km． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，，则最大内角的度数是多少？ 【典型例题三 余弦定理边角互化的应用】 1．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25高一·上海·课堂例题）在中，内角A、B、C的对边依次为a、b、c．求证：． 1．（24-25高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．（24-25高二上·陕西商洛·期末）在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知分别为的内角的对边，且.角 . 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，若，判断的形状． 【典型例题四 正弦定理及辨析】 1．（2024·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 2．（24-25高一·全国·课后作业）在中， (1)已知，，，求，； (2)已知，，，求，． 1．（24-25高一下·江苏扬州·月考）在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川巴中·期末）在中，若角、、所对的边分别为、、，则下列有关正弦定理及其变形错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）锐角的三内角的对边分别为在上的射影长等于的外接圆半径，则的值是 . 4．（24-25高一下·全国·课前预习）在中，，那么这个比值的几何意义是什么？ 【典型例题五 正弦定理解三角形】 1．（2025·广西·模拟预测）在中，的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津西青·期末）在中，角A，B.C所对的边分别为a，b，c.已知，，求角A和角B值. 1．（24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川·开学考试）在中，，，，则（    ） A．11 B．7 C．16 D． 3．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知中，，，，则 ， ． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）在中，点在边上，，，． (1)若，求； (2)若，求． 【典型例题六 正弦定理判定三角形解的个数】 1．（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 2．（24-25高一下·全国·课前预习） 在中，已知，，，则角有几个值？ 1．（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁·月考）在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为 . 4．（2025高一·全国·专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，，当仅有一解时，写出x的范围，并求的取值范围. 【典型例题七 正弦定理求外接圆半径】 1．（24-25高三上·甘肃·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．6 D．12 2．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 1．（25-26高二上·辽宁·开学考试）在中，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆荣昌·月考）在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，若，，则的值为 ． 4．（25-26高二上·陕西铜川·期末）在锐角中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，． (1)证明：； (2)若的外接圆半径为，求B． 【典型例题八 正弦定理边角互化的应用】 1．（24-25高一下·江苏镇江·月考）在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江·期末）记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 1．（24-25高二下·广东湛江·期末）在中，角所对的边分别为，若，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·江西新余·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，内角的对边分别为，则的取值范围是 ． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的周长. 【典型例题九 三角形面积公式及其应用】 1．（24-25高二下·陕西商洛·期末）在△ABC中，，E为线段上一点，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北孝感·月考）在中，角的对边分别是，且 (1)求角的大小 (2)若，且的面积为，求的周长 1．（25-26高三上·安徽·期末）记的面积为，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏南京·期中）在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东·月考）已知锐角的面积为，，，则 . 4．（25-26高三上·江苏扬州·期末）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若，求AB边上的高. 1．（25-26高三上·安徽·期中）在中，的平分线交BC于点，若，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高一下·天津武清·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（   ）． A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 3．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 4．（25-26高三上·湖南·月考）在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知的内角 所对的边分别为，，则 的面积为（      ） A． B． C．1 D． 6．（2025·甘肃金昌·三模）在中，，，M为BC的中点，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C． D．C为钝角 7．（24-25高一下·湖北省直辖县级单位·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（25-26高三上·山西太原·月考）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．在锐角三角形中，不等式恒成立 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 10．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，的面积为，的面积为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·湖南娄底·月考）在我们的中还有这样一些有趣的性质，比如射影定理：，证明它的最直接的方法是利用余弦定理，或者是作一条高并利用锐角三角函数有关知识即可证明，若，则是 （“锐角”，“钝角”，“直角”）三角形． 12．（24-25高三上·重庆渝北·月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角的大小为 ． 13．（25-26高三上·北京密云·月考）在中，，，，则 ，的面积为 ． 14．（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 15．（25-26高三上·江西·月考）已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则 ． 16．（24-25高一下·山西大同·月考）在中角、、所对边、、满足，，，求的值. 17．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)设，，求b，的面积，外接圆的面积． 18．（2025·安徽·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 19．（25-26高三上·山东淄博·期末）已知的内角的对边分别为， . (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为，求的面积． 20．（2026·河北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求BC边上的高． 学科网（北京）股份有限公司 $