精品解析：湖北省十堰市竹山县南山五福堂高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

高二数学月考测试题 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题有且仅有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1. 对于一组数据，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为5，方差为2 B. 中位数为5，方差为 C. 众数为6，标准差为 D. 极差为3，方差为3 2. 一组数据的第90百分位数是（ ） A. 80 B. 90 C. 91 D. 92 3. 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. A与B B. A与C C. B与C D. A与D 4. 已知相互独立，，则（ ） A. 0.96 B. 0.64 C. 0.16 D. 0.84 5. 设，，若，则，的值分别为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是 A. B. C. D. 7. 若样本，，…，的平均数．方差分别为、，则样本，，，的平均数．方差分别为（ ） A. 、 B. 、 C 、 D. 、 8. 已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，，每小题不止一个正确选项，全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A. “三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B. “当x为某一实数时可使”是不可能事件 C. “明天竹山要下雨”是必然事件 D. “从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 10. 给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 某班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法抽取10人，则应抽取女生2人； B. 若空间向量，则的值是3； C. 已知向量，则与的夹角为0°； D. ，若，则 11. 给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为. B. 已知空间直角坐标系中，点和点，则向量的坐标为. C. 已知空间直角坐标系中，点和点，则向量模长为. D. 平面的法向量是唯一确定的. 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，，则_____________. 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量是______. 14. 如图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图中的数据填空: （1）样本数据落在范围的频率为____; （2）样本数据落在范围的频数为____. 三、解答题（本大题共5题，共77分） 15. 已知一组数据的频率分布直方图如下，分别求出这组数据的众数、中位数、平均数、上四分位数. 16. 如下图所示，在平行六面体中，，，， （1）求与数量积； （2）求在上的投影向量； （3）求的长. 17. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，且是的中点. （1）求与所成的角余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽那么称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，那么称该次实验是失败的. （1）第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率； （2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率. 19. 如图，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学月考测试题 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题有且仅有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1. 对于一组数据，下列结论正确是（ ） A. 平均数为5，方差为2 B. 中位数为5，方差为 C. 众数为6，标准差为 D. 极差为3，方差为3 【答案】B 【解析】 【分析】由给定数据，结合平均数、方差、中位数、众数、极差的定义求对应值，判断各项的正误. 【详解】由题设，数据平均数为， 方差为， 标准差为，中位数为5，极差为，众数为6. 故选；B 2. 一组数据的第90百分位数是（ ） A. 80 B. 90 C. 91 D. 92 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义求数据的第90百分位数. 【详解】数据从小到大为，且， 所以第90百分位数是. 故选：C 3. 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. A与B B. A与C C. B与C D. A与D 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知写出各事件的基本事件，结合互斥事件、对立事件的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，样本空间，事件，事件，事件，事件， 所以是互斥事件，也是对立事件，、均不是互斥事件，是互斥事件，但不是对立事件. 故选：D 4. 已知相互独立，，则（ ） A. 0.96 B. 0.64 C. 0.16 D. 0.84 【答案】D 【解析】 【分析】由独立事件有，结合概率的性质及已知求概率即可. 【详解】由题设，则. 故选：D 5. 设，，若，则，的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个向量平行的坐标表示列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以.解得. 故选：A 【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题. 6. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案． 【详解】甲解决这个问题的概率是， 甲解决不了这个问题的概率是， 乙解决这个问题的概率是， 乙解决不了这个问题的概率是 则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为 则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键． 7. 若样本，，…，的平均数．方差分别为、，则样本，，，的平均数．方差分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】C 【解析】 【分析】由样本数据由变为，结合平均数、方差的性质，即求新样本中的平均数、方差. 【详解】由题意，，， ∴样本，，的平均数，而. 故选：C 8. 已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得. 【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且， 对于A，由，得，点不共面，A不是； 对于B，由，得，点不共面，B不； 对于C，由，得，点不共面，C不是； 对于D，由，得，点共面，D是. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，，每小题不止一个正确选项，全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 给出下列四个命题，其中正确命题有（ ） A. “三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B. “当x为某一实数时可使”是不可能事件 C. “明天竹山要下雨”是必然事件 D. “从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用随机事件的基本概念进行判断. 【详解】A，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，正确， B，对任意实数x，有，正确， C，下雨是随机事件，错误， D，从100个灯泡中取出5个次品是随机事件，正确. 故选：ABD 10. 给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 某班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法抽取10人，则应抽取女生2人； B. 若空间向量，则的值是3； C. 已知向量，则与的夹角为0°； D. ，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用分层抽样，求出女生应抽取的人数，即可判断A；求出，即可判断B；求出与的夹角，即可判断C；由，求出的值，即可判断D. 【详解】对于A，由题意可得女生抽取的人数为：人，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，故C错误； 对于D，因为，， 所以，解得，故D正确. 故选：BD 11. 给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为. B. 已知空间直角坐标系中，点和点，则向量的坐标为. C. 已知空间直角坐标系中，点和点，则向量的模长为. D. 平面的法向量是唯一确定的. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中对称点坐标规律、空间向量坐标运算公式、向量模长计算公式以及平面法向量的性质对每一个选项进行分析判断即可. 【详解】在A选项中，由空间直角坐标系中关于平面的对称点， 其横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，则A正确， 在B选项中，由题意得，所以B正确， 在C选项中，由题意得， 则，所以C正确， 在D选项中，平面的法向量是与该平面垂直的向量， 一个平面的法向量有无数个，它们都平行， 所以平面的法向量不是唯一确定的，所以D错误. 故选：ABC. 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，，则_____________. 【答案】 【解析】 分析】 根据，，，解得，然后由求解. 【详解】已知向量，满足，，， 所以， 解得， 所以， 所以1 故答案为：1 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】应用投影向量的定义求在方向上的投影向量. 【详解】由在方向上的投影向量是. 故答案为： 14. 如图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图中的数据填空: （1）样本数据落在范围的频率为____; （2）样本数据落在范围的频数为____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据频率分布直方图分别确定样本数据落在范围，的频率，再由频数和频率的关系求样本数据落在范围的频数. 【详解】由频率分布直方图可得， 样本数据落在范围的频率为. 样本数据落在范围的频率为 所以样本数据落在范围的频数为. 故答案为：；. 三、解答题（本大题共5题，共77分） 15. 已知一组数据的频率分布直方图如下，分别求出这组数据的众数、中位数、平均数、上四分位数. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】根据频率直方图，结合众数、中位数、平均数及上四分位数的定义求对应值. 【详解】由图知的频率依次为， 所以的频率最高，故众数为， 由，故中位数位于，设为，则， 所以，即中位数为， 平均数为， 由，则上四分位数在区间，设为， 则，可得，即上四分位数为. 16. 如下图所示，在平行六面体中，，，， （1）求与的数量积； （2）求在上的投影向量； （3）求的长. 【答案】（1）0； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，即可求数量积； （2）由，应用数量积的运算律及已知求，再由投影向量的定义求在上的投影向量； （3）由，应用向量数量积的运算律求模长即可得. 【小问1详解】 由，即，则； 【小问2详解】 由，则， 而，则在上的投影向量； 【小问3详解】 由，则 ， 所以. 17. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，且是的中点. （1）求与所成的角余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由（1）求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为四边形为直角梯形，且平面，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，且是的中点， 可得， 所以， 设直线与所成的角为，则， 所以直线与所成的角的余弦值为. 【小问2详解】 解：由（1）知，向量， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为，可得， 所以直线与平面所成的角正弦值为. 18. 某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽那么称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，那么称该次实验是失败的. （1）第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率； （2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意服从，再应用二项分布的概率求法求概率即可； （2）由题意第二小组第7次成功，前面6次有3次失败，再确定3次中2次连续失败，另一次不与上述2次相邻的情况数，应用独立事件乘法公式即可求概率. 【小问1详解】 由题设，随机变量服从，则，， 所以至少两次实验成功的概率； 【小问2详解】 由题意可知，第二小组第7次成功，前面6次有3次失败，则概率为， 若前6次实验，3次失败中2次连续失败，另一次不与上述2次相邻， 相当于先将成功的3次排成一列，所成列中有4个空， 再把连续的2次失败和与之不相邻的1次失败作为2个不同元素插入其中2个空中， 所以有种可能， 所以所求概率为. 19. 如图，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由平面，得到，再由四边形为正方形得到，从而证明平面，从而得到，再结合，即以及直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）先证明、、三条直线两两垂直，然后以点为坐标原点， 、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值. 【详解】（1）平面， ，又，， 平面， ，又，平面, 平面，即平面； （2）设，则中，，又， ，，由（1）知， ，， ，又， ，，同理， 如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则， ，，，， 设是平面的法向量，则，又， 所以，令，得，， 由（1）知平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，可知为锐角， ，即所求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $