第八章实数-数学活动（导学案）数学新教材人教版七年级下册

第八章实数数学活动（导学案） （1）能结合A0纸的面积（1㎡）和长宽比例（:1），运用实数估算方法求出其长和宽的近似值，掌握“实际问题→数学模型→实数运算→估算结果”的解题思路。 （2）探索并总结1000以内简单正整数立方根的口算规律，能快速口算出符合规律的立方根，提升立方根的运算能力和数感。 （3）通过动手探究、小组合作，经历“观察-猜想-验证-归纳”的数学过程，培养探究意识、合作能力和逻辑推理能力。 （4）感受数学与生活的联系，体会实数知识的实用价值，激发对数学探究的兴趣。 重点是:建立A0纸长宽的数学模型，运用实数估算方法求其长和宽的近似值。探索并掌握1000以内简单正整数立方根的口算规律，能快速口算。 难点是：理解A0纸长宽比例为:1的前提下，结合面积建立二元方程并转化为单变量方程进行估算。归纳立方数的个位数字与底数个位数字的对应规律，能灵活运用规律口算立方根。 第一环节 自主学习 自研课本P60页内容 活动一：估算A0纸的长与宽 1. 提出问题，明确已知条件 已知：A0纸的面积为1㎡，长与宽的比为:1（设长为a，宽为b，即a:b=:1），求A0纸的长a和宽b的近似值（结果保留两位小数）。 a:b=:1 2. 小组合作，建立数学模型 追问1：根据长宽比，a和b之间有什么数量关系？ 追问2：结合长方形面积公式，能列出什么方程？ a·b=1 追问3： 将代入面积公式，得到什么？ → → 3. 师生共同，完成实数估算 分步估算： ①先化简：，； ②估算宽b：因为0.84²=0.7056，0.85²=0.7225，0.7056更接近0.707，所以b≈0.84m； ③估算长a：因为1.18²=1.3924，1.19²=1.4161，1.4161更接近1.414，所以a≈1.19m； ④验证：1.19×0.84≈0.9996≈1㎡，符合面积要求。 4. 总结步骤 实际问题→明确已知条件→建立数学模型（列方程）→化简方程→利用无理数近似值估算→验证结果。 活动二：口算求立方根 1. 回顾基础，列出立方数 追问1：你能说出1³到10³的结果吗？ 1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125，6³=216，7³=343，8³=512，9³=729，10³=1000 2. 观察特征，小组猜想 追问2：观察底数的个位数字和对应立方数的个位数字，有什么规律？ 学生小组讨论（4分钟），尝试总结对应关系： 底数个位 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数个位 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 3. 验证规律，归纳口算方法 （1）教师举例验证：如12³=1728，底数12个位是2，立方数1728个位是8，符合规律；17³=4913，底数17个位是7，立方数4913个位是3，符合规律。 （2）归纳1000以内正整数立方根口算方法： ① 确定立方根的位数：1000以内的正整数，立方根均为一位数； ② 看被开方数的个位数字，根据上述对应规律，确定立方根的个位数字； ③ 直接口算出结果（若被开方数是1³到10³的结果，直接对应）。 （3）拓展：1000000以内的整百整十数立方根，可先划去后三位，再估算前几位，最后结合个位规律确定结果（如，划去后三位得125，，个位为0，故结果为50）。 4. 即时练习，巩固技巧 口算： 问题：同学们日常使用的A4纸、A3纸，它们的长宽大小有固定规格吗？其实从A0纸开始，所有A型纸的长宽比例都是固定的，且A0纸的面积是1平方米，今天我们就一起来估算A0纸的长和宽。 复习：我们已经学过立方根，比如，那大家能快速说出是多少吗？有没有什么技巧能让我们口算简单的立方根？ 引出本节课两个数学活动，明确学习目标。 自研课本P60页内容 典型例题 例1. 已知A1纸是由A0纸沿长的中点对折而成，求A1纸的长和宽? 【分析】A0纸长宽比为:1,A1纸长宽比为. 【详解】解：∵A0纸长宽比为:1,∴A1纸长宽比为.设长为a，宽为b，即a:b=:1, 设长为a，宽为b，即a:b=:1 → → . 例2.口算立方根：、 【分析】结合立方根的性质进行口算，其中负数的立方根为负数. 【详解】解：∵0.5³=0.125，∴； ∵3³=27，∴ 第二环节 合作探究 1.讨论由估算A0纸的长与宽总结解决实际问题的步骤。 2.讨论口算求立方根方法。 拓展提升：1．要比较与1的大小，可按下面步骤进行操作：因为，所以，即，所以，所以，根据上面的方法，完成下列问题： (1)若，a为正整数，则_ ； (2)比较与的大小. 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵，a为正整数， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 课本课堂练习1、2、3. 1.估算A1纸的长和宽，结果保留两位小数. 2.写出1到20的立方数，熟记并口算下列立方根：，，，，； 参考答案：1.0.84, 0.59. 2.5， 7， 8， -4， 0.2. 1．（2025.潜山校考）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为的正方形，试求出这个正方形的边长． （2）小强的手中有两块边长都为的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗?若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．    【详解】解：（1）边长； （2）大的正方形的面积； 边长，边长不是整数， ， ． 2.（2025.蓉城校考）根据表格解答下列问题： 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 (1)190.44的平方根是__________． (2)__________，__________． (3)若，求满足条件的整数的值． 【详解】（1）解：由表格中的数据对应值可知， ， 190.44的平方根是， 故答案为：； （2）解：， ， ， 故答案为：13.3，137； （3）解：由表格中的对应值可知， 当时，， 整数的值为183，184， 答：满足条件的整数的值为183或184． 知识总结：（1）掌握了A型纸的核心特征：面积（A0为1㎡）、长宽比（:1），能通过建立方程估算A0纸的长宽；（2）熟记1³到10³的立方数，掌握立方根的个位数字与底数个位数字的对应规律，能口算简单正整数、小数、负数的立方根；（3）巩固了实数估算、平方根和立方根的核心知识。 方法总结：（1）解决实际问题的通用方法：实际问题→数学模型→求解验证；（2）探索数学规律的方法：观察具体实例→猜想规律→验证规律→归纳应用；（3）估算无理数的关键：利用已知无理数的近似值，结合平方、立方运算，逐步逼近准确值。 易错提醒：（1）估算A0纸长宽时，易忽略“长宽比为:1”，直接将面积开平方求边长，需注意先建立比例关系再列方程；（2）口算立方根时，易混淆立方数与平方数的个位规律（如平方数个位2对应底数无，立方数个位2对应底数8），需熟记立方数的个位对应关系；（3）估算无理数近似值时，易对小数位数的取舍判断错误，需通过平方、立方运算验证，选择最接近的数值。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章实数数学活动（导学案） （1）能结合A0纸的面积（1㎡）和长宽比例（:1），运用实数估算方法求出其长和宽的近似值，掌握“实际问题→数学模型→实数运算→估算结果”的解题思路。 （2）探索并总结1000以内简单正整数立方根的口算规律，能快速口算出符合规律的立方根，提升立方根的运算能力和数感。 （3）通过动手探究、小组合作，经历“观察-猜想-验证-归纳”的数学过程，培养探究意识、合作能力和逻辑推理能力。 （4）感受数学与生活的联系，体会实数知识的实用价值，激发对数学探究的兴趣。 重点是:建立A0纸长宽的数学模型，运用实数估算方法求其长和宽的近似值。探索并掌握1000以内简单正整数立方根的口算规律，能快速口算。 难点是：理解A0纸长宽比例为:1的前提下，结合面积建立二元方程并转化为单变量方程进行估算。归纳立方数的个位数字与底数个位数字的对应规律，能灵活运用规律口算立方根。 第一环节 自主学习 自研课本P60页内容 活动一：估算A0纸的长与宽 1. 提出问题，明确已知条件 已知：A0纸的面积为1㎡，长与宽的比为:1（设长为a，宽为b，即a:b=:1），求A0纸的长a和宽b的近似值（结果保留两位小数）。 2. 小组合作，建立数学模型 追问1：根据长宽比，a和b之间有什么数量关系？ 追问2：结合长方形面积公式，能列出什么方程？ 追问3： 将代入面积公式，得到什么？ 3. 师生共同，完成实数估算 分步估算： 4. 总结步骤 实际问题→明确已知条件→建立数学模型（列方程）→化简方程→利用无理数近似值估算→验证结果。 活动二：口算求立方根 1. 回顾基础，列出立方数 追问1：你能说出1³到10³的结果吗？ 2. 观察特征，小组猜想 追问2：观察底数的个位数字和对应立方数的个位数字，有什么规律？ 3. 验证规律，归纳口算方法 4. 即时练习，巩固技巧 口算： 自研课本P60页内容 典型例题 例1. 已知A1纸是由A0纸沿长的中点对折而成，求A1纸的长和宽? 例2.口算立方根：、 第二环节 合作探究 1.讨论由估算A0纸的长与宽总结解决实际问题的步骤。 2.讨论口算求立方根方法。 拓展提升：1．要比较与1的大小，可按下面步骤进行操作：因为，所以，即，所以，所以，根据上面的方法，完成下列问题： (1)若，a为正整数，则_ ； (2)比较与的大小. 课本课堂练习1、2、3. 1.估算A1纸的长和宽，结果保留两位小数. 2.写出1到20的立方数，熟记并口算下列立方根：，，，，； 1．（2025.潜山校考）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为的正方形，试求出这个正方形的边长． （2）小强的手中有两块边长都为的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗?若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．    2.（2025.蓉城校考）根据表格解答下列问题： 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 (1)190.44的平方根是__________． (2)__________，__________． (3)若，求满足条件的整数的值． 知识总结：（1）掌握了A型纸的核心特征：面积 、长宽比 ，能通过建立方程估算A0纸的长宽；（2）熟记1³到10³的立方数，掌握立方根的 的对应规律，能口算简单正整数、小数、负数的立方根；（3）巩固了实数估算、 的核心知识。 方法总结：（1）解决实际问题的通用方法： → → ；（2）探索数学规律的方法： → → → ；（3）估算无理数的关键：利用已知无理数的 ，结合 ，逐步 准确值。 易错提醒：（1）估算A0纸长宽时，易忽略 ，直接将面积 求边长，需注意先建立比例关系再列方程；（2）口算立方根时，易混淆 的个位规律 （如平方数个位2对应底数无，立方数个位2对应底数8），需熟记立方数的个位对应关系；（3）估算无理数近似值时，易 错误，需通过 验证，选择最接近的数值。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $