8.3实数及其简单运算（第1课时 无理数、实数的概念)（导学案）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学导学案聚焦“无理数、实数的概念”，通过温故知新复习有理数定义与分类，结合正方形对角线长度情境引出√2是否为有理数的问题，搭建从有理数到实数的学习支架，引导学生理解数系扩充的必要性。 注重学生自主探究与合作学习，通过计算体验、实例辨析培养抽象能力和数感，结合数学史渗透文化素养，典型例题与中考真题强化推理意识和应用意识，助力学生突破无理数本质理解及分类难点，提升数学思维品质。

8.3实数及其简单运算（第1课时，无理数、实数的概念)（导学案） （1）理解无理数的定义，能准确识别无限不循环小数为无理数，明确无理数与有理数的本质区别；掌握实数的概念，能熟练对实数按定义和大小进行分类，规范书写分类形式。 （2）经历无理数的探究、发现过程，感受数系扩充的必要性，培养抽象概括、分类讨论的数学思想，提升数感。 （3）结合实例辨析易错点，养成严谨的数学思维习惯。 重点是:无理数的概念及特征识别；实数的概念及两种正确分类方式，实数与数轴的一一对应。 难点是：理解无理数无限不循环的本质特征；辨析带根号的数、无限小数是否为无理数，突破认知误区；理解实数分类的依据，规范分类表达，理解实数与数轴上点的关系。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习提问：什么是有理数？有理数可以分为哪几类？有理数都能表示成什么形式的小数？ 情境探究：已知边长为1的正方形，根据勾股定理，其对角线的长度是多少？ 提出问题：是有理数吗？它能表示成有限小数或无限循环小数吗？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第52-54页的内容 【学法指导】自研课本P52-54页内容， （一）无理数的本质 探究 把下列有理数写成小数的形式。你发现了什么？ 总结归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来、任何有限小数或 无限循环小数也都是有理数。 通过前两节的学习、我们知道、很多数的平方根、立方根是无限不循环小数. 计算体验：让学生用计算器计算，观察结果：1.414213562…， 追问1：这个数有什么特征？ 追问2：下列一组数有什么特征？ （相邻两个1之间0的个数依次加1）. 总结归纳：从上面的讨论可知。无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小数又叫作无理数.其核心特征：无限、不循环。 像有理数一样，无理数也有正负之分。 （二）实数的概念 溯源 我国古人对无理数已经有了很多认识。《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数。刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”. 追问1：有理数和无理数共同组成了什么数集？ 问题：类比有理数，怎样对实数进行分类？ 追问2：不同的分类标准分类的结果不同，实数分类有几种？ 追问3：按定义怎样分类？ 追问4：怎样按大小分类？ （三）实数与数轴 问题：如何用数轴上的点表示无理数？ 与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示。 数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负无理数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是个单位长度。 下面，我们来探究，看一看如何在数轴上表示无理数. 思考 问题1. 以单位长度为直径画一个图，它的周长等于，如图，从原点开始，将这个图沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，点O'对应的数是多少? 问题2. 以单位长度为边长画一个正方形(如图)，以原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与正半轴和负半轴交点表示什么数？ 追问1：当有理数扩充到实数后，数轴上的点与实数之间有什么关系？ 总结归纳：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，因此实数与数轴上的点是一一对应的关系. 追问2：数轴上点表示的数的大小如何？ 【自研自探】 自研课本P52-54页内容 典型例题 例1：判断下列说法是否正确，说明理由， ①所有带根号的数都是无理数； ②无限小数都是无理数； ③ 无理数都是无限小数； ④ 分数都是有理数，π不是分数，所以π是无理数； 例2：将下列六个数的序号填入相应的括号内． ①，②7，③，④，⑤，⑥ 整数集合{                      …}； 分数集合{                      …}； 负有理数集合{                      …}； 无理数集合{                      …}． 例3．数轴上的点A、B依次表示两个实数． （1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置； （2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是，求点C所对应的实数． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是无理数？无理数的核心特征是什么？ 2.讨论什么实数？如何进行分类？ 3.讨论实数与数轴上点之间的关系？如何用数轴上点比较实数大小？ 拓展提升：1.在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． ，，0，，． 课本课堂练习1、2、3.； 1．（2025•遂宁）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+1 　 　 0．（填“＞”“＝”或“＜”） 2．（2025•湖南）下列四个数中，最大的数是（　　） A．3.5 B． C．0 D．﹣1 3．（2025•江西）下列各数中，是无理数的是（　　） A．0 B． C．3.14 D． 4．（2025•扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 5.把下列各数分别填入相应的横线上． 、、0、、、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数：______________________________________________． （2）分数：______________________________________________． （3）无理数：______________________________________________ 知识总结：（1）两个概念：无理数（ ）、实数（ ）；（2）每一个实数都可以用数轴上 ；反过来，数轴上的 都表示一个实数，因此实数与数轴上的点是 的关系。 方法总结：（1）一种思想：分类讨论（ ）；（2）一个方法：类比 识，是数学中重要的学习方法。 易错提醒:带根号的数 ，无限小数 无理数。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3实数及其简单运算（第1课时，无理数、实数的概念)（导学案） （1）理解无理数的定义，能准确识别无限不循环小数为无理数，明确无理数与有理数的本质区别；掌握实数的概念，能熟练对实数按定义和大小进行分类，规范书写分类形式。 （2）经历无理数的探究、发现过程，感受数系扩充的必要性，培养抽象概括、分类讨论的数学思想，提升数感。 （3）结合实例辨析易错点，养成严谨的数学思维习惯。 重点是:无理数的概念及特征识别；实数的概念及两种正确分类方式，实数与数轴的一一对应。 难点是：理解无理数无限不循环的本质特征；辨析带根号的数、无限小数是否为无理数，突破认知误区；理解实数分类的依据，规范分类表达，理解实数与数轴上点的关系。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习提问：什么是有理数？有理数可以分为哪几类？有理数都能表示成什么形式的小数？ 情境探究：已知边长为1的正方形，根据勾股定理，其对角线的长度是多少？ （学生得出：） 提出问题：是有理数吗？它能表示成有限小数或无限循环小数吗？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第52-54页的内容 【学法指导】自研课本P52-54页内容， （一）无理数的本质 探究 把下列有理数写成小数的形式。你发现了什么？ 讨论发现：上面的有理数都可以写成有限小数或无限环小数的形式。 总结归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来、任何有限小数或 无限循环小数也都是有理数。 通过前两节的学习、我们知道、很多数的平方根、立方根是无限不循环小数. 计算体验：让学生用计算器计算，观察结果：1.414213562…， 追问1：这个数有什么特征？ 这个小数位数无限，且没有循环的数字规律。 追问2：下列一组数有什么特征？ （相邻两个1之间0的个数依次加1）. 这些数都是无限小数，且小数部分不循环。 总结归纳：从上面的讨论可知。无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小数又叫作无理数.其核心特征：无限、不循环。 像有理数一样，无理数也有正负之分、例如，是正无理数，是负无理数。 （二）实数的概念 溯源 我国古人对无理数已经有了很多认识。《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数。刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”. 追问1：有理数和无理数共同组成了什么数集？ 师生：有理数和无理数统称实数。 问题：类比有理数，怎样对实数进行分类？ 引导学生类比有理数的分类方法，自主尝试对实数分类，教师巡视指导，后补充完善并规范板书两种分类方式. 追问2：不同的分类标准分类的结果不同，实数分类有几种？ 按定义分、按大小分. 追问3：按定义怎样分类？ 追问4：怎样按大小分类？ （三）实数与数轴 问题：如何用数轴上的点表示无理数？ 与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示。 数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负无理数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是个单位长度。 下面，我们来探究，看一看如何在数轴上表示无理数. 思考 问题1. 以单位长度为直径画一个图，它的周长等于，如图，从原点开始，将这个图沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，点O'对应的数是多少? 从图中可以看出：的长是这个圆的周长，所以点O'所表示的数是. 问题2. 以单位长度为边长画一个正方形(如图)，以原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与正半轴和负半轴交点表示什么数？ 与正半轴交点就表示，与负半轴交点就表示. 追问1：当有理数扩充到实数后，数轴上的点与实数之间有什么关系？ 总结归纳：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，因此实数与数轴上的点是一一对应的关系. 追问2：数轴上点表示的数的大小如何？ 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 【自研自探】 自研课本P52-54页内容 典型例题 例1：判断下列说法是否正确，说明理由， ①所有带根号的数都是无理数； ②无限小数都是无理数； ③ 无理数都是无限小数； ④ 分数都是有理数，π不是分数，所以π是无理数； 【分析】判断一个数是否为无理数，关键看是否满足“无限不循环”，与是否带根号、是否是小数形式无关。 【详解】解：① 错误，如是有理数； ② 错误，无限循环小数是有理数，如； ③ 正确，无理数的本质是无限不循环； ④ 正确. 例2：将下列六个数的序号填入相应的括号内． ①，②7，③，④，⑤，⑥ 整数集合{                      …}； 分数集合{                      …}； 负有理数集合{                      …}； 无理数集合{                      …}． 【分析】根据有理数的分类，即可得出答案． 【详解】解：∵整数包括正整数，0和负整数， ∴整数有7，-15， ∵分数包括循环小数，有限小数， ∴分数有，-0.01，-3.2020020002， ∵负有理数包括负整数和负小数， ∴负有理数有-0.01，-3.2020020002，-15， ∵无理数为无限不循环小数， ∴无限不循环小数有， 故答案为：②⑤；①③④；③④⑤；⑥． 例3．数轴上的点A、B依次表示两个实数． （1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置； （2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是，求点C所对应的实数． 【分析】（1）根据两个数的范围找到其在数轴上的大致位置． （2）利用数轴上两点间的距离公式即可计算． 【详解】解：（1）如图： （2）设点C表示的数是x，则： |x+|＝2． ∴x＝或﹣3． ∴点C表示的数是或﹣3． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是无理数？无理数的核心特征是什么？ 2.讨论什么实数？如何进行分类？ 3.讨论实数与数轴上点之间的关系？如何用数轴上点比较实数大小？ 拓展提升：1.在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． ，，0，，． 【详解】解：，如下图， ． 课本课堂练习1、2、3.； 参考答案：1.（1）错误；（2）正确；(3）错误；（4）错误;(5）正确. 2. ，，，，，，是有理数；，，，，，，， ，，，，，，，是无理数. 3. 数轴表示略，. 1．（2025•遂宁）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+1 　 　 0．（填“＞”“＝”或“＜”） 【解答】解：观察数轴可知，m＜0且|m|＞1， ∴m＜﹣1， ∴m+1＜0． 故答案为：＜． 2．（2025•湖南）下列四个数中，最大的数是（　　） A．3.5 B． C．0 D．﹣1 【解答】解：∵， ∴， ∴选项中的四个数中最大的数是3.5， 故选：A． 3．（2025•江西）下列各数中，是无理数的是（　　） A．0 B． C．3.14 D． 【解答】解：0是整数，3.14是有限小数，是分数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：B． 4．（2025•扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵1＜2＜3＜4＜7＜9＜10， ∴123， 则数轴上点A表示的数可能是， 故选：C． 5.把下列各数分别填入相应的横线上． 、、0、、、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数：______________________________________________． （2）分数：______________________________________________． （3）无理数：______________________________________________ 【详解】解：，， （1）整数：{、0、、、…} （2）分数：{、、、、…} （3）无理数：{、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）、…} 知识总结：（1）两个概念：无理数（无限不循环小数）、实数（有理数+无理数）；（2）每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，因此实数与数轴上的点是一一对应的关系。 方法总结：（1）一种思想：分类讨论（按定义、按大小分类，不重不漏）；（2）一个方法：类比有理数的学习思路探究实数的知识，是数学中重要的学习方法。 易错提醒:带根号的数不一定是无理数，无限小数不一定是无理数。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $