8.2立方根（第2课时 立方根的性质和计算器求值)（导学案）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学导学案聚焦立方根的性质、计算器求值、解x³=a型方程及实际应用，通过“温故知新”回顾立方根概念，追问立方根与被开方数关系，类比平方根学习过程，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此导学案以“自主学习-合作探究-拓展提升”为主线，自主学习通过“观察-猜想-验证-归纳”培养抽象能力与推理意识，合作探究强化运算能力，拓展提升题发展创新意识，实际应用题体现模型意识，助力学生用数学思维解决问题，提升学习兴趣与自信心。

8.2立方根（第2课时，立方根的性质和计算器求值)（导学案） （1）理解立方根的定义，能准确表述立方根的概念；掌握立方根的性质，知道正数、0、负数的立方根的特点；会用符号表示一个数的立方根，能利用立方运算求一个数的立方根（包括整数、分数、小数的立方根）。 （2）通过类比平方根的学习过程，经历 “观察 - 猜想 - 验证 - 归纳” 的探究过程，培养类比推理能力和抽象概括能力；在解决实际问题和例题练习中，提升运算能力和逻辑思维能力。 （3）感受数学与生活的联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣；在类比学习和探究过程中，培养合作意识和探究精神，增强学习自信心。 重点是：立方根的性质)的应用；利用计算器求立方根的值；用立方根知识解决实际问题和求解型方程。 难点是：实际问题中数学模型的建立（如复杂立方体组合问题）；立方根性质的灵活运用。 第一环节 自主学习 温故知新： 问题 ：上节课我们学习了立方根的概念，大家能快速求出的值吗？有什么简便方法可以直接得出结果？ 追问：你发现与值的关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第49-50页的内容 【学法指导】自研课本P49-50页内容， （一）一个负数立方根的性质 探究 计算和，它们有什么关系？和 呢？ 追问1：你能从中发现什么规律？ 一般地，. 追问2：你能推导出上面的结论吗？ 设，则，那么，所以，即。 追问3：你能用语言表述上面的结论吗？ 一个负数的立方根，等于这个数的相反数的立方根的相反数（或负数的立方根可以将负号提到根号外）。 追问4：怎样化简下列各式： 答案： （二）用计算器求一个数的立方根 问题：类似于开平方根，我们是利用立方与立方根的关系求立方根的。实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数。我们可以用有理数近似地表示它们。 同求平方根一样，我们可以借助计算器来求一个的立方根。一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）。 方法：用计算器求算术平方根的操作步骤：按键“”→输入被开方数→按等号键. 例如：用计算器求.只需依次按键、2、1、9、7，显示:13，所以 用计算器求，只需依次按键、3显示近似值；1.442249570，所以. 有些计算器需要调用备用功能键求一个数的立方根，具体操作参见叶算器的使用说明。 （三）立方根的值与被开方数的小数点位置的关系 探究 用计算器计算。 追问1：你发现了什么规律? 被开方数的小点向左（或向右）移动3位．它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位. 追问2：用计算器计算（结果保留小数点后三位），你能利用你发现的规律求出，，的近似值。 答案：4.642，0.4642、0.04642、46.42. （四）型方程的解法 探究解法： 追问1：方程的解是什么？为什么？ 根据立方根的定义，若，则，即方程的解为。 追问2：你能解下列方程吗？ 答案： 【自研自探】 自研课本P49-50页内容 典型例题 例1：求下列各式的值. (1); (2) ; （3） . 【分析】根据一个负数立方根的性质和立方根的定义，可求出它的值。 【详解】解：(1); (2); (3). 例2：一个长方体木箱的体积是，长是宽的 2 倍，高是宽的 3 倍，求这个木箱的长、宽、高（结果保留根号）。 【分析】设未知数，建立方程求解，运用立方根知识得出结果。 【详解】解：设木箱的宽为，则长为，高为； 根据长方体体积公式，得；化简方程：，解得； 所以长为，宽为，高为。 例3.已知的平方根是，的立方根是4，与是同类项，求的立方根. 【分析】根据平方根的定义列式求出，再根据立方根的定义求出，根据同类项的定义求出，把求得的值代入代数式进行计算，即可得答案； 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 所以， 所以的立方根是， 答：的立方根是． 第二环节 合作探究 1.讨论一个负数立方根的性质 2.讨论用计算器求一个数的立方根 3.讨论立方根的值与被开方数的小数点位置的关系 4.讨论型方程的解法 拓展提升：1.设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ 【详解】（1）解：由题意可得： 的最小值64，的最大值124； （2）的最小值25，的最大值35， 可能的值有11种． 课本课堂练习1、2、3.； 参考答案：1. (1) 0.3: (2) -7: (3). 2. (1) 19;(2) 41:(3) 0. 304. 3. (1) 1, 2; (2) 4, 5; (3) 8, 9; (4)-4,-3. 1．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 2.已知a的平方根是它本身，b是的立方根，求的值 【详解】因为a的平方根是它本身， 所以， 因为b是的立方根，即b是8的立方根， 所以， 则． 3.如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．    【详解】解：设正方体的棱长为xcm，由题意得， ， 解得， 答：正方体的棱长约为6cm． 知识总结：（1）性质拓展：（负数的立方根可将负号提到根号外）；(2)用计算器求算术平方根的操作步骤：按键“”→输入被开方数→按等号键；（3）被开方数的小点向左（或向右）移动3位．它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位；（4）方程的解为；（5）实际应用：将立方体（或长方体）体积问题转化为立方根求解问题。 方法总结：（1）符号处理法：利用简化负数立方根的计算，避免符号错误；（2）实际问题中，通过设未知数、建立方程（或等量关系），将实际问题转化为数学问题求解；（3）综合运用平方根与立方根知识时，先根据已知条件求出相关字母的值，再代入求解目标式子。 易错提醒：（1）混淆立方根与平方根的运算法则：平方根的被开方数需非负，立方根的被开方数可任意实数；（2）审题不清：未区分题目考查的是平方根还是立方根，导致求解错误。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2立方根（第2课时，立方根的性质和计算器求值)（导学案） （1）理解立方根的定义，能准确表述立方根的概念；掌握立方根的性质，知道正数、0、负数的立方根的特点；会用符号表示一个数的立方根，能利用立方运算求一个数的立方根（包括整数、分数、小数的立方根）。 （2）通过类比平方根的学习过程，经历 “观察 - 猜想 - 验证 - 归纳” 的探究过程，培养类比推理能力和抽象概括能力；在解决实际问题和例题练习中，提升运算能力和逻辑思维能力。 （3）感受数学与生活的联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣；在类比学习和探究过程中，培养合作意识和探究精神，增强学习自信心。 重点是：立方根的性质)的应用；利用计算器求立方根的值；用立方根知识解决实际问题和求解型方程。 难点是：实际问题中数学模型的建立（如复杂立方体组合问题）；立方根性质的灵活运用。 第一环节 自主学习 温故知新： 问题 ：上节课我们学习了立方根的概念，大家能快速求出的值吗？有什么简便方法可以直接得出结果？ 追问：你发现与值的关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第49-50页的内容 【学法指导】自研课本P49-50页内容， （一）一个负数立方根的性质 探究 计算和，它们有什么关系？和 呢？ 追问1：你能从中发现什么规律？ 追问2：你能推导出上面的结论吗？ 追问3：你能用语言表述上面的结论吗？ 追问4：怎样化简下列各式： （二）用计算器求一个数的立方根 问题：类似于开平方根，我们是利用立方与立方根的关系求立方根的。实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数。我们可以用有理数近似地表示它们。 方法：用计算器求算术平方根的操作步骤：按键“”→输入被开方数→按等号键. 有些计算器需要调用备用功能键求一个数的立方根，具体操作参见叶算器的使用说明。 （三）立方根的值与被开方数的小数点位置的关系 探究 用计算器计算。 追问1：你发现了什么规律? 追问2：用计算器计算（结果保留小数点后三位），你能利用你发现的规律求出，，的近似值。 （四）型方程的解法 探究解法： 追问1：方程的解是什么？为什么？ 追问2：你能解下列方程吗？ 【自研自探】 自研课本P49-50页内容 典型例题 例1：求下列各式的值. (1); (2) ; （3） . 例2：一个长方体木箱的体积是，长是宽的 2 倍，高是宽的 3 倍，求这个木箱的长、宽、高（结果保留根号）。 第二环节 合作探究 1.讨论一个负数立方根的性质 2.讨论用计算器求一个数的立方根 3.讨论立方根的值与被开方数的小数点位置的关系 4.讨论型方程的解法 拓展提升：1.设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ 课本课堂练习1、2、3.； 1．求下列各式中的值： (1)； (2)． 2.已知a的平方根是它本身，b是的立方根，求的值 3.如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．    知识总结：（1）性质拓展： ；(2)用计算器求算术平方根的操作步骤：按键“ ”→输入 →按 ；（3）被开方数的小点向左（或向右）移动 ．它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动 ；（4）方程的解为 ；（5）实际应用：将立方体（或长方体）体积问题转化为 问题。 方法总结：（1）符号处理法：利用简化负数立方根的计算，避免 错误；（2）实际问题中，通过 、建立 ，将实际问题转化为数学问题求解；（3）综合运用平方根与立方根知识时，先根据已知条件求出 ，再代入求解 。 易错提醒：（1）混淆立方根与平方根的运算法则：平方根的被开方数需 ，立方根的被开方数可 ；（2）审题不清：未区分题目考查的是 ，导致求解错误。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $