8.2立方根（第1课时 立方根的概念)（导学案）数学新教材人教版七年级下册

8.2立方根（第1课时，立方根的概念)（导学案） （1）理解立方根的定义，能准确表述立方根的概念；掌握立方根的性质，知道正数、0、负数的立方根的特点；会用符号表示一个数的立方根，能利用立方运算求一个数的立方根（包括整数、分数、小数的立方根）。 （2）通过类比平方根的学习过程，经历 “观察 - 猜想 - 验证 - 归纳” 的探究过程，培养类比推理能力和抽象概括能力；在解决实际问题和例题练习中，提升运算能力和逻辑思维能力。 （3）感受数学与生活的联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣；在类比学习和探究过程中，培养合作意识和探究精神，增强学习自信心。 重点是:立方根的概念和性质；立方根的符号表示和求法。 难点是：理解立方根与平方根的区别与联系；求负数的立方根（突破 “负数没有平方根” 的思维定式）。 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 问题 1：现有一个正方体形状的礼品盒，体积为 27cm³，想要给它包装封面，需要先知道它的棱长，你能求出这个正方体的棱长吗？ 问题 2：如果正方体的体积为 8cm³、1cm³、0cm³、-8cm³，它的棱长又分别是多少呢？ 引导思考：设正方体的棱长为 x cm，根据正方体体积公式 V=x³，上述问题可转化为：已知 x³ 的值，求 x 的值，即 “已知一个数的立方，求这个数”。 【学法指导】自研课本P48-49页内容， （一）立方根的概念 思考：如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？ 因为，所以这个数可以是2、除2以外，任何一个数的立方都不等于8，因此、如果一个数的立方等于8，那么这个数是2. 抽象定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。 符号表示：一个数的立方根记作 “”，读作 “三次根号”，其中是被开方数，3 是根指数（根指数 3 不能省略，与平方根的根指数 2 省略不同）。 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．根据这种互逆关系、可以求一个数的立方根. （二）立方根的性质 小组探究：计算下列各数的立方根，观察结果的特点，归纳立方根的性质。 1.计算： ， ， . 2.计算： ， ， . 3.计算： . 归纳性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0 的立方根是 0。 （三）对比辨析 思考讨论:填写表格，区分立方根与平方根的性质差异。 项目 平方根 立方根 正数的根 有两个，互为相反数 有一个，是正数 负数的根 没有平方根 有一个，是负数 0 的根 0 的平方根是 0 0 的立方根是 0 根指数 根指数 2 可省略 根指数 3 不能省略 【自研自探】 自研课本P48-49页内容 典型例题 例1：求下列各数的立方根 (1); (2) 343; (3）－64; (4）. 【分析】根据立方根的定义，找到一个数，使得 等于被开方数，即可求出立方根。 【详解】解：(1)的立方根是－2，即; (2)因为，所以343的立方根是7，即; (3)因为，所以-64的立方根是-4，即; （4） 因为.所以的立方根是. 总结方法：求一个数的立方根，关键是找到一个数，使其立方等于被开方数，可利用立方运算逆向求解；对于分数、小数的立方根，可转化为整数的立方根进行计算（如小数化分数、分数分子分母分别开立方）。 例 2：求下列各式的值 （1）； （2）；（3）；（4）. 【分析】先化简被开方数（若需要），再根据立方根的定义计算（先计算被开方数的减法，再求立方根）。 【详解】解：（1）； （2）；（3）；（4）. 第二环节 合作探究 1. 讨论立方根的定义、符号表示、开立方与立方的互逆关系. 2. 讨论立方根的符号性质. 3. 讨论平方根与立方根的差异. 拓展提升：1．若，求的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴或2，， 当时，； 当时，． 课堂练习： 课本课堂练习1、2、3. 参考答案：1.1. (1)正确;(2)错误;(3)正确;(4)错误. 2. (1) -1; (2) 0.2;(3). 3. 6 cm. 1．（2025•眉山）﹣27的立方根是 　　 ． 【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27， ∴3 故答案为：﹣3． 2．（2025•江西）化简：　 　 ． 【解答】解：根据开立方定义：x3＝a，则x叫a的立方根，记作，可得： ， 故答案为：2． 3．（2025•柳州校考）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【详解】（1）解：的平方根是， ， ， 的立方根是3， ， ． （2）解：由（1）可知，， 的算术平方根是9． 知识总结：（1）立方根的定义：若，则叫做 的立方根，记作；（2）立方根的性质：正数有一个正立方根，负数有一个负立方根，0 的立方根是 0；（3）立方根的求法：利用立方运算逆向求解，符号与被开方数一致。 方法总结：(1)类比法：类比平方根的学习思路探究立方根的知识，是数学中重要的学习方法；(2)逆向思维法：求立方根时，逆向运用立方运算，找到满足条件的数；(3)对比法：通过对比立方根与平方根的性质，加深对两个概念的理解，避免混淆。 易错提醒:(1)混淆立方根与平方根的符号：立方根的根指数 3 不能省略，平方根的根指数 2 可省略； (2)错误认为 “负数没有立方根”：负数有一个负的立方根，与平方根不同；(3)计算分数、小数的立方根时，忽略分子分母或小数的转化，导致计算错误；(3)符号处理错误：如 与相等（因为），但平方根中与意义不同（只有 a≤0 时才有意义）。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2立方根（第1课时，立方根的概念)（导学案） （1）理解立方根的定义，能准确表述立方根的概念；掌握立方根的性质，知道正数、0、负数的立方根的特点；会用符号表示一个数的立方根，能利用立方运算求一个数的立方根（包括整数、分数、小数的立方根）。 （2）通过类比平方根的学习过程，经历 “观察 - 猜想 - 验证 - 归纳” 的探究过程，培养类比推理能力和抽象概括能力；在解决实际问题和例题练习中，提升运算能力和逻辑思维能力。 （3）感受数学与生活的联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣；在类比学习和探究过程中，培养合作意识和探究精神，增强学习自信心。 重点是:立方根的概念和性质；立方根的符号表示和求法。 难点是：理解立方根与平方根的区别与联系；求负数的立方根（突破 “负数没有平方根” 的思维定式）。 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 问题 1：现有一个正方体形状的礼品盒，体积为 27cm³，想要给它包装封面，需要先知道它的棱长，你能求出这个正方体的棱长吗？ 问题 2：如果正方体的体积为 8cm³、1cm³、0cm³、-8cm³，它的棱长又分别是多少呢？ 【学法指导】自研课本P48-49页内容， （一）立方根的概念 思考：如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？ 抽象定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。 符号表示：一个数的立方根记作 “”，读作 “三次根号”，其中是被开方数，3 是根指数（根指数 3 不能省略，与平方根的根指数 2 省略不同）。 （二）立方根的性质 小组探究：计算下列各数的立方根，观察结果的特点，归纳立方根的性质。 1.计算： ， ， . 2.计算： ， ， . 3.计算： . 归纳性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0 的立方根是 0。 （三）对比辨析 思考讨论:填写表格，区分立方根与平方根的性质差异。 项目 平方根 立方根 正数的根 负数的根 0 的根 根指数 【自研自探】 自研课本P48-49页内容 典型例题 例1：求下列各数的立方根 (1); (2) 343; (3）－64; (4）. 例 2：求下列各式的值 （1）； （2）；（3）；（4）. 第二环节 合作探究 1. 讨论立方根的定义、符号表示、开立方与立方的互逆关系. 2. 讨论立方根的符号性质. 3. 讨论平方根与立方根的差异. 拓展提升：1．若，求的值． 课本课堂练习1、2、3. 1．（2025•眉山）﹣27的立方根是 　　 ． 2．（2025•江西）化简：　 　 ． 3．（2025•柳州校考）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 知识总结：（1）立方根的定义：若 ，则 的立方根，记作 ；（2）立方根的性质：正数有 ，负数有 ，0 的 ；（3）立方根的求法：利用立方 求解，符号与 一致。 方法总结：(1)类比法：类比 探究立方根的知识，是数学中重要的学习方法；(2)逆向思维法：求立方根时， 立方运算，找到满足条件的数；(3)对比法：通过对比立方根与 的性质，加深对两个概念的理解，避免混淆。 易错提醒:(1)混淆立方根与平方根的符号：立方根的 不能省略，平方根的 可省略； (2)错误认为 “负数没有立方根”：负数 ，与平方根不同；(3)计算分数、小数的立方根时，忽略 转化，导致计算错误；(3)符号处理错误：如 与 （因为），但平方根中与 （只有 a≤0 时才有意义）。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $