3 乘法公式第2课时 完全平方公式的认识（课件）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3 完全平方公式 第2课时 完全平方公式的认识 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结 构特点;（重点） 2.会运用公式进行简单的运算；(难点) 课堂导入 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加 . 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn 新知探究 思考 计算下列各式: (1) (m+3)2； (2) (2+3x)2. 知识点 完全平方公式 解：(1) (m+3)2=(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9； (2) (2+3x)2=(2+3x)(2+3x) =4+6x+6x+9x2 =4+12x+9x2. 对比结果和原式你有什么发现? 新知探究 知识点 完全平方公式 (m+3)2=m2+6m+9； (2+3x)2=4+12x+9x2. 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的2倍. 新知探究 你能再举一些类似的例子吗？ 例如： 知识点 完全平方公式 (x-2)2 =(x-2)(x-2) =x2-2x-2x+4 =x2-4x+4. (x+y)2 =(x+y)(x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2； 新知探究 知识点 完全平方公式 完全平方公式： 两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的2倍. (a+b) ²=a²+2ab+b² 新知探究 你能用下图解释上面的公式吗? 知识点 完全平方公式（数形结合） a a b b 新知探究 知识点 完全平方公式（数形结合） 直接求： 总面积= (a+b)2 间接求： 总面积= a2+ ab+ ab+ b2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 a a b b a² b² ab ab 新知探究 知识点 完全平方公式 从运算的角度验证： (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a+b)2 = (a+b)(a+b) 幂的意义 = a2+ab+ab+b2 多项式乘法法则 = a2+2ab+b2 所以 (a+b)2 = a2+2·a·b+b2 新知探究 知识点 完全平方公式 思考 (a-b)2 等于什么呢？ (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2 所以 ：(a-b)2 = a2-2·a·b+b2 新知探究 知识点 完全平方公式 你能设计一个图形解释这一公式吗？ 完全平方公式：两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的2倍. (a-b) ²=a²-2ab+ b²  知识点1利用完全平方公式计算 2. (新教材P21例5改编)计算： (1)(x＋3)2＝x2＋2·x·3＋32＝__________； (2)(x－5)2＝_____________＝____________. 3. 计算： (1)(x＋1)2＝______________＝__________； (2)(x－4)2＝______________＝___________. x2＋6x＋9 x2－2·x·5＋52 x2－10x＋25 x2＋2·x·1＋12 x2＋2x＋1 x2－2·x·4＋42 x2－8x＋16 典例精析 例1 运用完全平方公式计算： 解: (2x－3)2 = = 4x2 ( a－ b )2 = a2－ 2ab + b2 (2x)2 －2•(2x) •3 +32 － 12x + 9 ； (1)(2x－3)2； (2) ( y + )2. (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 y2 (2) ( y + )2. =y2 + y + + ( )2 + 2•y• 解：( y+ )2 = 解：(1)原式＝(3x)2＋2·3x·5y＋(5y)2＝9x2＋30xy＋25y2. 4. (新教材P21 T1改编)计算： (1)(3x＋5y)2; (2) . 解：(2)原式＝(2x)2－2·2x· ＋ ＝4x2－2x＋ . 5. 计算： (1)(4x－3y)2; 解：(1)原式＝(4x)2－2·4x·3y＋(3y)2＝16x2－24xy＋9y2. (2) . 解：(2)原式＝ . 解：(1)原式＝(－x)2＋2·(－x)·5＋52＝x2－10x＋25. 6. (新教材P25 T3改编)计算： (1)(－x＋5)2；　　 (2)(－2x－y)2. 解：(2)原式＝(－2x)2－2·(－2x)·y＋y2＝4x2＋4xy＋y2. 7. 计算： (1)(－x－3)2； 解：(1)原式＝(－x)2－2·(－x)·3＋32＝x2＋6x＋9. (2)(－m＋3n)2. 解：(2)原式＝(－m)2＋2·(－m)·3n＋(3n)2＝m2－6mn＋9n2. 解：原式＝x2＋10x＋25－(x2＋x－6) ＝x2＋10x＋25－x2－x＋6 ＝9x＋31. 知识点2多项式乘多项式的综合计算 8. (新教材P23例6改编)计算：(x＋5)2－(x－2)(x＋3). 9. 计算：(2x＋y)(2x－y)－(2x＋y)2. 解：原式＝4x2－y2－(4x2＋4xy＋y2) ＝4x2－y2－4x2－4xy－y2 ＝－4xy－2y2. 6.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+y)2=x2 +y2 (2) (x-y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × x2+2xy +y2 x2－2xy +y2 x2 －2xy +y2 4x2+4xy +y2 (1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2； (2) (4x－3y)2 ； =16x2－24xy+9y2； (3) (2m－1)2 ； =4m2－4m+1； (4)(－2m－1)2 . =4m2+4m+1. 7.运用完全平方公式计算: 能力提升 已知：a+b=10 ab=24 求：1. 2. (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么? (-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2=a2-b2不一定相等. 只有当 b=0 或 a=b 时，(a-b)2=a2-b2. 思考 完全平方公式 法则 (a±b)2= a2 ±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3.弄清完全平方公式和平方差 公式的不同点（从公式结构 特点及结果两方面） 注意 课堂小结 你能根据图1和图2中的面积解释完全平方公式吗? b a a b b a b a 图 1 图2 想一想: 几何解释: a a b b = + + + a2 ab ab b2 （a+b)2= . a2+2ab+b2 和的完全平方公式： a2 −ab−b(a−b) =a2−2ab+b2 . = (a−b)2 a−b a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释: （a-b)2= . a2-2ab+b2 差的完全平方公式： 例1. 利用乘法公式计算： 解： 运用公式计算，首先要识别a、b在具体式子中分别表示什么 三、化简 一、选公式 二、代入公式 $