6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（导学案）数学人教A版必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 导学案 1. 理解平面向量数量积的坐标表示的推导过程，熟练掌握数量积的坐标运算公式。 1. 能运用坐标表示求向量的模、两向量的夹角，掌握两向量垂直的坐标判定条件。 1. 能运用数量积的坐标表示解决平面几何中的垂直、距离、角度等实际问题，掌握相关问题的求解步骤。 1. 体验“几何问题代数化”的转化过程，感受向量的工具性，提升数学建模与运算素养。 教学重点： 1. 平面向量数量积的坐标表示公式；2. 利用坐标求向量的模、夹角及垂直判定；3. 运用坐标法解决平面几何问题。 教学难点：1. 数量积坐标表示公式的推导；2. 平面几何问题向向量坐标运算的转化；3. 夹角计算中角的取值范围辨析。 知识点一　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 两个向量垂直 a，b是非零向量，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 知识点二　三个重要公式 课堂引入设计 引入1：快递配送路线的“最优判断” 生活情境 双十一期间，快递员小李需要配送三个包裹，三个收货地址在平面直角坐标系中的坐标分别为A(2,3)、B(5,7)、C(8,2)。小李计划从A点出发，先送B点再送C点，他想知道：AB段路线与BC段路线是否垂直？如果垂直，拐角处转弯更顺畅，能节省配送时间；另外，A点到C点的直线距离是多少？若后续需要直接从A到C补货，能提前规划车辆续航。 问题链 1. 要判断AB与BC是否垂直，我们知道向量垂直的核心条件是数量积为0，但如何用A、B、C三点的坐标快速计算向量AB和向量BC的数量积？ 2. 要计算A到C的直线距离，除了用勾股定理计算横向、纵向距离再推导，能否通过向量的坐标直接求出？ 3. 如果能将向量的数量积、模长与坐标关联起来，是不是所有类似的路线规划、距离计算问题都能快速解决？ 设计意图 1. 选取快递配送这一贴近学生生活的场景，让抽象的向量知识与实际应用结合，降低学生对新知的陌生感，体会数学的实用性。 2. 问题链围绕“垂直判断”和“距离计算”展开，精准对应本节课核心知识点（数量积坐标表示、模长与两点间距离公式），能统领整节课的知识脉络。 3. 通过“传统方法繁琐”与“需求简便解法”的隐性对比，激发学生探索向量数量积坐标表示的求知欲，明确本节课的学习目标是掌握“用坐标解决几何问题”的工具。 导入新知2：手机导航的“角度预警” 生活情境 小明使用手机导航骑行，导航地图中以坐标原点O为当前位置，前方两个关键路口的坐标分别为P(4,3)和Q(-3,4)。导航提示：“前方路口需调整方向，请注意转弯角度”。小明想知道：从当前位置到P点的骑行方向（向量OP），与从当前位置到Q点的骑行方向（向量OQ）之间的夹角是多少？是否为直角转弯？如果夹角过小，需要减速慢行。 问题链 1. 回顾向量数量积的定义，夹角的余弦值等于数量积与模长乘积的比值，但我们不知道OP与OQ的夹角，如何避开“求夹角”的难点，直接用坐标计算数量积？ 2. 若能通过坐标算出数量积和两个向量的模长，是不是就能快速求出夹角？ 3. 生活中还有很多需要判断方向夹角、垂直关系的场景（如无人机飞行、篮球投篮角度计算），能否找到一个通用的“坐标运算公式”解决这类问题？ 设计意图 1. 以手机导航这一学生高频使用的场景为切入点，贴近生活实际，让学生感受到向量知识在现代科技中的应用，提升学习兴趣。 2. 问题聚焦“夹角计算”和“垂直判断”，紧扣本节课的核心知识点（数量积坐标表示、夹角公式、垂直条件），能自然串联起公式推导、应用等环节，统领整节课内容。 3. 通过“已知坐标却难以直接用旧知求解”的矛盾，凸显学习“数量积坐标表示”的必要性，勾起学生的求知欲，引导学生主动探索新知，同时为后续体会“几何问题代数化”的思想埋下伏笔。 探究点1：平面向量数量积的坐标表示 【提出问题】已知向量，，如何用坐标表示？ 【推导引导】 1. 回顾平面向量基本定理：任意向量可表示为，，其中、是x轴、y轴正方向的单位向量。 1. 回顾单位向量的数量积性质：，，（因为与垂直，夹角为，）。 1. 类比向量加减的坐标运算，将展开： 【结论】平面向量数量积的坐标表示公式：，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。 【设计意图】通过“回顾—类比—推导”的流程，让学生参与公式推导过程，理解公式的由来，避免死记硬背，培养逻辑推理能力。 探究点2：向量的模与两点间距离的坐标表示 【提出问题】由数量积的坐标表示，能否推导向量的模的坐标公式？ 【推导引导】 1. 回顾数量积的性质：，即。 1. 设，则。 1. 由此可得：。 1. 延伸：若向量的起点、终点，则，因此两点间距离公式：。 【例题应用】已知，求；已知、，求。 【预设答案】；。 【设计意图】从数量积坐标公式自然推导模长公式，建立知识间的内在联系，同时巩固两点间距离公式，实现知识的正向迁移。 探究点3：两向量夹角与垂直的坐标表示 【提出问题1】如何用坐标表示两向量的夹角？ 【推导引导】 1. 回顾夹角公式：（、为非零向量）。 1. 代入数量积与模的坐标公式，可得：，其中。 【例题应用】设，，求与的夹角（精确到）。 【详解】，，，则，故。 【提出问题2】由夹角公式，如何得到两向量垂直的坐标条件？ 【推导引导】 1. 回顾垂直性质：。 1. 因为、均为非零向量（垂直的前提是两向量非零），所以。 【结论】两非零向量垂直的充要条件：。 【例题应用】判断向量与是否垂直；若向量与垂直，求的值。 【预设答案】，故；由，得。 【易错提醒】 1. 两向量夹角的余弦值大于0时，夹角可能是锐角（）或（两向量同向）；余弦值小于0时，夹角可能是钝角（）或（两向量反向）。 1. 两向量垂直的坐标条件需注意“非零向量”前提，若其中一个向量为零向量，虽满足，但零向量与任意向量共线而非垂直。 【设计意图】通过夹角公式推导垂直条件，形成“定义—公式—性质”的完整知识链，同时通过例题与易错提醒，帮助学生准确掌握概念，规避常见错误。 探究点4：数量积坐标表示的综合应用 【例1】判断的形状，其中、、。 【详解】，，。 计算数量积：；；。 计算模长：，，。 因为，故为等腰三角形。 【例2】用向量方法证明两角差的余弦公式：。 【证明】在平面直角坐标系内作单位圆，以x轴非负半轴为始边作角、，终边与单位圆交点分别为、，则，。 由数量积的定义：。 由数量积的坐标表示：。 故。 【设计意图】通过三角形形状判断、定理证明等综合问题，展示数量积坐标表示的工具性，让学生体会“几何问题代数化”的便捷性，同时巩固公式应用，提升综合解题能力。 巩固练习 1. 已知向量，，求、、及与的夹角（精确到）。 1. 已知向量，，若，求的值；若，求的值（对比垂直与平行的坐标条件）。 1. 在四边形中，，，，，判断四边形的形状，并求其面积。 【预设答案】 1. ，，，，。 1. 垂直时：；平行时：。 1. 四边形为矩形，面积为（提示：先判断对边平行且邻边垂直，再计算邻边模长乘积）。 【设计意图】通过分层练习，巩固基础公式应用，对比垂直与平行的坐标条件，强化易错点，提升综合应用能力。    1.（多选题）（25-26高三上·河北衡水·月考）已知向量，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．，的夹角为 B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为5 【答案】AD 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先利用已知条件求出，利用向量夹角余弦公式得到A正确；利用向量数量积运算公式得到B正确；平方后得到，从而结合二次函数的性质得到C错误；D选项，设向量，得到，根据，求出最值． 【详解】， ，解得， 选项A，设是与的夹角，则，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，， 当时，的最小值为，故C错误； 选项D，设向量，， ， 设是与的夹角，则，即， 当且仅当共线时取等号， ，故的最大值为5，故D正确． 故选：AD． 2.（多选题）（25-26高二上·福建泉州·月考）已知点，，，若，的夹角为锐角，则的值可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意可求出和，因为，的夹角为锐角，可得，且不能是同向共线，列出不等式求解即可. 【详解】由题意知，，，的夹角为锐角， ，且，解得且， 故的取值范围为.选项C、D符合题意. 故选：CD. 3.（多选题）（25-26高三上·福建·开学考试）已知向量，则（    ） A． B．的最小值为3 C．与不垂直 D．当时，在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量共线计算可判断A，利用向量的模及基本不等式求解判断B，由数量积判断C，由投影向量的计算判断D. 【详解】若，则，即，此方程无实数解，A错误； ，当且仅当，即时，等号成立，B正确； 因为，所以与不垂直，C正确； 当时，在方向上的投影向量为，D正确. 故选：BCD 4.（多选题）（25-26高二上·江西·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【知识点】向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】根据模长的坐标公式可判断A；根据两个向量垂直的坐标公式可判断B，根据向量夹角的坐标公式可判断C；根据投影向量的坐标公式可判断D. 【详解】因为，，所以，A正确； 因为，， 所以，B正确； 设与的夹角为，则，且，因此与的夹角为，C错误； 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 5.（多选题）（24-25高一下·福建莆田·期末）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】BC 【知识点】求投影向量、向量模的坐标表示、数量积的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】对于A，由模的计算公式验算即可；对于B，由数量积的坐标运算验算即可；对于C，由投影向量的定义验算即可；对于D，由向量夹角的余弦公式验算即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，在上的投影向量为， 对于D，由于，所以与的夹角为. 故选：BC. 6.（多选题）（25-26高三上·江西南昌·期中）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与向量的夹角为钝角，则 D．的最小值为4 【答案】AD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】由向量平行、垂直的坐标表示列方程求参数值判断A、B，由向量夹角的坐标求法，结合反向共线的情况判断C，应用向量的坐标运算求模长判断D. 【详解】若，则，可得，A对， 若，则，可得，B错， 由，则， 若，则，可得， 由向量的夹角为钝角，则且，C错， 由，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为4，D对. 故选：AD 7.（多选题）（25-26高三上·甘肃·月考）已知向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量共线求的值，可判断AB的真假；根据向量垂直求的值，可判断CD的真假. 【详解】若，则，解得，A正确，B错误． 若，则，解得或，C正确，D错误． 故选：AC 8.（多选题）（25-26高三上·福建厦门·期中）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】通过向量的垂直、平行、模长、投影向量的定义和公式，逐一分析选项得出结果. 【详解】选项A：若，则，解得，A正确. 选项B：若，，则，B正确. 选项C：，若，则， 解得，C错误. 选项D：若，，，， 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 9.（多选题）（25-26高三上·山东聊城·期中）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．向量与的夹角为 C．若，则 D． 【答案】BC 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】利用向量共线、夹角、垂直、模长公式的知识依次判断选项即可. 【详解】对于A，因为，则，故A不正确； 对于B，由题可得，， 因为向量夹角范围为，所以向量与的夹角为，故B正确； 对于C，由于，，则，解得，故C正确； 对于D，由于，所以，故D错误； 故选：BC 10.（多选题）（24-25高一下·吉林长春·期中） 已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【知识点】求投影向量、向量夹角的坐标表示、利用向量垂直求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量垂直的坐标表示，夹角公式可判断AB，由投影向量计算公式可判断D，由共线定理可判断C. 【详解】对于A：， 由，得，解得：，错误； 对于B：，正确； 对于C：由，确定，正确； 对于D：在上的投影向量为，正确. 故选：BCD. 1.（多选题）（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知向量，，，则（   ） A． B．向量、的夹角为 C． D．在上的投影向量是 【答案】BCD 【知识点】求投影向量、向量夹角的坐标表示、利用向量垂直求参数、坐标计算向量的模 【分析】由平面向量垂直的坐标表示可求出的值，可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BC选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为向量，，则， 因为，则，解得，则，A错； 对于B选项，因为， 因为，故，即向量、的夹角为，B对； 对于C选项，，故，C对； 对于D选项，在上的投影向量为，D对. 故选：BCD. 2.（多选题）（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知向量，，则下列选项正确的有（   ） A．若，则 B．若，则，的夹角为60° C．若，则 D．若，共线，则 【答案】AC 【知识点】利用坐标求向量的模、利用向量垂直求参数、向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数 【分析】A选项，根据向量模的公式计算判断；B选项，利用向量夹角的坐标公式计算判断；C选项，根据向量垂直列方程求解即可；D选项，根据向量共线列方程求解即可. 【详解】A选项，当时，，，，故A正确； B选项，当时，，则，故B错误； C选项，因为，所以，解得，故C正确； D选项，因为共线，所以，解得或，故D错误. 故选：AC. 3.（多选题）（25-26高三上·江苏无锡·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．若向量是与同向的单位向量，则 B．已知向量，，则在上的投影向量为 C．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 D．已知，，则“，夹角为锐角”是“”的必要不充分条件 【答案】AB 【知识点】判断命题的必要不充分条件、基底的概念及辨析、向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】根据同向的单位向量计算公式即可判断A；利用投影向量计算公式即可判断B；根据基底向量的判断方法即可判断C；求出向量夹角为锐角的充要条件即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确. 对于B， 在上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为，则共线，则它们不能作为平面内所有向量的一组基底，故C错误； 对于D，若，夹角为锐角，则，且不能同向共线， 则，解得且， 则前者可以推出后者，后者无法推出前者，故“，夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：AB． 4.（多选题）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【知识点】由坐标判断向量是否共线、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 1. 知识清单： · (1) 核心公式： · 数量积坐标表示：； · 向量的模：，两点间距离：； · 夹角公式：（）； · 垂直条件：（、为非零向量）。 · (2) 解题流程：解决平面几何问题时，可遵循“建立坐标系—转化向量坐标—代数运算（数量积、模、夹角）—几何还原（判断形状、长度、角度）”的步骤。 1. 方法归纳：数形结合思想、类比推理思想、转化与化归思想。 1. 常见误区： · (1) 混淆两向量垂直与平行的坐标条件（垂直：；平行：）； · (2) 计算夹角时忽略角的取值范围，误将直接等同于锐角，直接等同于钝角； · (3) 应用垂直条件时，未考虑“非零向量”前提。 教材第 36 页练习第 题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 导学案 1. 理解平面向量数量积的坐标表示的推导过程，熟练掌握数量积的坐标运算公式。 1. 能运用坐标表示求向量的模、两向量的夹角，掌握两向量垂直的坐标判定条件。 1. 能运用数量积的坐标表示解决平面几何中的垂直、距离、角度等实际问题，掌握相关问题的求解步骤。 1. 体验“几何问题代数化”的转化过程，感受向量的工具性，提升数学建模与运算素养。 教学重点： 1. 平面向量数量积的坐标表示公式； 2. 利用坐标求向量的模、夹角及垂直判定； 3. 运用坐标法解决平面几何问题。 教学难点： 1. 数量积坐标表示公式的推导； 2. 平面几何问题向向量坐标运算的转化； 3. 夹角计算中角的取值范围辨析。 知识点一　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数量积 两个向量的数量积等于它们 ，即a·b＝ 2 两个向量垂直 a，b是非零向量，a⊥b⇔ 知识点二　三个重要公式 引入1：快递配送路线的“最优判断” 双十一期间，快递员小李需要配送三个包裹，三个收货地址在平面直角坐标系中的坐标分别为A(2,3)、B(5,7)、C(8,2)。小李计划从A点出发，先送B点再送C点，他想知道：AB段路线与BC段路线是否垂直？如果垂直，拐角处转弯更顺畅，能节省配送时间；另外，A点到C点的直线距离是多少？若后续需要直接从A到C补货，能提前规划车辆续航。 问题链 1. 要判断AB与BC是否垂直，我们知道向量垂直的核心条件是数量积为0，但如何用A、B、C三点的坐标快速计算向量AB和向量BC的数量积？ 2. 要计算A到C的直线距离，除了用勾股定理计算横向、纵向距离再推导，能否通过向量的坐标直接求出？ 3. 如果能将向量的数量积、模长与坐标关联起来，是不是所有类似的路线规划、距离计算问题都能快速解决？ 导入新知2：手机导航的“角度预警” 小明使用手机导航骑行，导航地图中以坐标原点O为当前位置，前方两个关键路口的坐标分别为P(4,3)和Q(-3,4)。导航提示：“前方路口需调整方向，请注意转弯角度”。小明想知道：从当前位置到P点的骑行方向（向量OP），与从当前位置到Q点的骑行方向（向量OQ）之间的夹角是多少？是否为直角转弯？如果夹角过小，需要减速慢行。 问题链 1. 回顾向量数量积的定义，夹角的余弦值等于数量积与模长乘积的比值，但我们不知道OP与OQ的夹角，如何避开“求夹角”的难点，直接用坐标计算数量积？ 2. 若能通过坐标算出数量积和两个向量的模长，是不是就能快速求出夹角？ 3. 生活中还有很多需要判断方向夹角、垂直关系的场景（如无人机飞行、篮球投篮角度计算），能否找到一个通用的“坐标运算公式”解决这类问题？ 探究点1：平面向量数量积的坐标表示 【提出问题】已知向量，，如何用坐标表示？ 【推导引导】 1. 回顾平面向量基本定理：任意向量可表示为，，其中、是x轴、y轴正方向的单位向量。 1. 回顾单位向量的数量积性质：，，（因为与垂直，夹角为，）。 1. 类比向量加减的坐标运算，将展开： 探究点2：向量的模与两点间距离的坐标表示 【提出问题】由数量积的坐标表示，能否推导向量的模的坐标公式？ 【推导引导】 1. 回顾数量积的性质：，即。 1. 设，则。 1. 由此可得：。 1. 延伸：若向量的起点、终点，则，因此两点间距离公式：。 【例题应用】已知，求；已知、，求。 探究点3：两向量夹角与垂直的坐标表示 【提出问题1】如何用坐标表示两向量的夹角？ 【推导引导】 1. 回顾夹角公式：（、为非零向量）。 1. 代入数量积与模的坐标公式，可得：，其中。 【例题应用】设，，求与的夹角（精确到）。 【提出问题2】由夹角公式，如何得到两向量垂直的坐标条件？ 【推导引导】 1. 回顾垂直性质：。 1. 因为、均为非零向量（垂直的前提是两向量非零），所以。 【结论】两非零向量垂直的充要条件：。 【例题应用】判断向量与是否垂直；若向量与垂直，求的值。 探究点4：数量积坐标表示的综合应用 【例1】判断的形状，其中、、。 【例2】用向量方法证明两角差的余弦公式：。 巩固练习 1. 已知向量，，求、、及与的夹角（精确到）。 1. 已知向量，，若，求的值；若，求的值（对比垂直与平行的坐标条件）。 1. 在四边形中，，，，，判断四边形的形状，并求其面积。    1.（多选题）（25-26高三上·河北衡水·月考）已知向量，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．，的夹角为 B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为5 2.（多选题）（25-26高二上·福建泉州·月考）已知点，，，若，的夹角为锐角，则的值可能为（  ） A． B． C． D． 3.（多选题）（25-26高三上·福建·开学考试）已知向量，则（    ） A． B．的最小值为3 C．与不垂直 D．当时，在方向上的投影向量为 4.（多选题）（25-26高二上·江西·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 5.（多选题）（24-25高一下·福建莆田·期末）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 6.（多选题）（25-26高三上·江西南昌·期中）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与向量的夹角为钝角，则 D．的最小值为4 7.（多选题）（25-26高三上·甘肃·月考）已知向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 8.（多选题）（25-26高三上·福建厦门·期中）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 9.（多选题）（25-26高三上·山东聊城·期中）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．向量与的夹角为 C．若，则 D． 10.（多选题）（24-25高一下·吉林长春·期中） 已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C． D．在上的投影向量为 1.（多选题）（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知向量，，，则（   ） A． B．向量、的夹角为 C． D．在上的投影向量是 2.（多选题）（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知向量，，则下列选项正确的有（   ） A．若，则 B．若，则，的夹角为60° C．若，则 D．若，共线，则 3.（多选题）（25-26高三上·江苏无锡·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．若向量是与同向的单位向量，则 B．已知向量，，则在上的投影向量为 C．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 D．已知，，则“，夹角为锐角”是“”的必要不充分条件 4.（多选题）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 1. 知识清单： · (1) 核心公式： 数量积坐标表示：； 向量的模：，两点间距离：； 夹角公式：（）； 垂直条件：（、为非零向量）。 · (2) 解题流程：解决平面几何问题时，可遵循“建立坐标系—转化向量坐标—代数运算（数量积、模、夹角）—几何还原（判断形状、长度、角度）”的步骤。 1. 方法归纳：数形结合思想、类比推理思想、转化与化归思想。 1. 常见误区： · (1) 混淆两向量垂直与平行的坐标条件（垂直：；平行：）； · (2) 计算夹角时忽略角的取值范围，误将直接等同于锐角，直接等同于钝角； · (3) 应用垂直条件时，未考虑“非零向量”前提。 教材第 36 页练习第 题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $