6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第六章“平面向量及其应用”中的6.3.5节“平面向量数量积的坐标表示”。内容包括：推导平面向量数量积的坐标表示公式；利用坐标表示求向量的模、夹角；掌握两向量垂直的坐标判定条件；通过实例与习题，运用数量积坐标表示解决平面几何中的距离、垂直、角度等实际问题，归纳相关问题的求解步骤。 内容解析 本节是平面向量知识体系的核心延伸，是向量数量积概念与坐标运算的有机结合。其核心价值在于将向量的几何属性（长度、夹角、垂直）转化为代数运算（坐标乘积、加减、开方），为解决平面几何问题提供了“代数化”的全新工具，搭建起几何与代数之间的桥梁。 从知识关联看，本节承接了平面向量的坐标表示、数量积的定义及运算性质，同时为后续解析几何中直线垂直判定、夹角计算等内容奠定基础，是全章知识的重要枢纽。从学习意义看，通过推导公式、解决实际问题，学生能体会“数形结合” “类比推理”的数学思想，提升数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养，培养用数学工具解决几何问题的应用意识。 教学目标 1. 理解平面向量数量积的坐标表示的推导过程，熟练掌握数量积的坐标运算公式。 1. 能运用坐标表示求向量的模、两向量的夹角，掌握两向量垂直的坐标判定条件。 1. 能运用数量积的坐标表示解决平面几何中的垂直、距离、角度等实际问题，掌握相关问题的求解步骤。 1. 体验“几何问题代数化”的转化过程，感受向量的工具性，提升数学建模与运算素养。 目标解析 1. 能准确复述数量积的坐标表示公式，说明公式的推导依据（平面向量基本定理、单位向量数量积性质）。 1. 给定向量坐标，能快速计算数量积、向量的模；给定两向量坐标，能判断是否垂直，或求出夹角的余弦值及角度（精确到指定精度）。 1. 针对平面几何中的三角形形状判断、四边形面积计算、定理证明等问题，能建立坐标系，将几何元素转化为向量坐标，运用数量积知识求解，并验证结果的合理性。 1. 能总结“建立坐标—转化向量—代数运算—几何还原”的解题流程，解释每一步的核心作用，体会数形结合思想的应用价值。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立推导数量积的坐标表示公式，无逻辑漏洞。 1. 能正确完成数量积、模、夹角、垂直判定的基础计算，准确率不低于90%。 1. 能解决平面几何中的综合问题（如三角形形状判断、定理证明），步骤完整，逻辑清晰。 1. 能清晰阐述向量数量积坐标表示的核心价值，以及与数量积定义的内在联系。 本节内容综合性较强，涉及向量的坐标运算、数量积定义、三角函数等多个知识点，对学生的知识整合能力有一定要求。学生已具备以下基础： 1. 掌握平面向量的坐标表示及加减、数乘的坐标运算。 1. 理解平面向量数量积的定义、几何意义及运算性质（如、）。 1. 具备基本的代数运算能力和几何图形分析能力。 但学生可能存在以下难点： 1. 对“用坐标表示数量积”的推导逻辑理解不透彻，难以将平面向量基本定理与数量积运算结合起来。 1. 容易混淆两向量垂直与平行的坐标条件，在夹角计算中忽略角的取值范围（）。 1. 运用坐标法解决平面几何问题时，难以快速建立合适的坐标系，或无法将几何条件转化为向量坐标关系。 基于以上分析，确定本节课的： 教学重点：1. 平面向量数量积的坐标表示公式；2. 利用坐标求向量的模、夹角及垂直判定；3. 运用坐标法解决平面几何问题。 教学难点：1. 数量积坐标表示公式的推导；2. 平面几何问题向向量坐标运算的转化；3. 夹角计算中角的取值范围辨析。 知识点一　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 两个向量垂直 a，b是非零向量，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 知识点二　三个重要公式 导入新知1：快递配送路线的“最优判断” 双十一期间，快递员小李需要配送三个包裹，三个收货地址在平面直角坐标系中的坐标分别为A(2,3)、B(5,7)、C(8,2)。小李计划从A点出发，先送B点再送C点，他想知道：AB段路线与BC段路线是否垂直？如果垂直，拐角处转弯更顺畅，能节省配送时间；另外，A点到C点的直线距离是多少？若后续需要直接从A到C补货，能提前规划车辆续航。 问题链 1. 要判断AB与BC是否垂直，我们知道向量垂直的核心条件是数量积为0，但如何用A、B、C三点的坐标快速计算向量AB和向量BC的数量积？ 2. 要计算A到C的直线距离，除了用勾股定理计算横向、纵向距离再推导，能否通过向量的坐标直接求出？ 3. 如果能将向量的数量积、模长与坐标关联起来，是不是所有类似的路线规划、距离计算问题都能快速解决？ 设计意图 1. 选取快递配送这一贴近学生生活的场景，让抽象的向量知识与实际应用结合，降低学生对新知的陌生感，体会数学的实用性。 2. 问题链围绕“垂直判断”和“距离计算”展开，精准对应本节课核心知识点（数量积坐标表示、模长与两点间距离公式），能统领整节课的知识脉络。 3. 通过“传统方法繁琐”与“需求简便解法”的隐性对比，激发学生探索向量数量积坐标表示的求知欲，明确本节课的学习目标是掌握“用坐标解决几何问题”的工具。 导入新知2：手机导航的“角度预警” 小明使用手机导航骑行，导航地图中以坐标原点O为当前位置，前方两个关键路口的坐标分别为P(4,3)和Q(-3,4)。导航提示：“前方路口需调整方向，请注意转弯角度”。小明想知道：从当前位置到P点的骑行方向（向量OP），与从当前位置到Q点的骑行方向（向量OQ）之间的夹角是多少？是否为直角转弯？如果夹角过小，需要减速慢行。 问题链 1. 回顾向量数量积的定义，夹角的余弦值等于数量积与模长乘积的比值，但我们不知道OP与OQ的夹角，如何避开“求夹角”的难点，直接用坐标计算数量积？ 2. 若能通过坐标算出数量积和两个向量的模长，是不是就能快速求出夹角？ 3. 生活中还有很多需要判断方向夹角、垂直关系的场景（如无人机飞行、篮球投篮角度计算），能否找到一个通用的“坐标运算公式”解决这类问题？ 设计意图 1. 以手机导航这一学生高频使用的场景为切入点，贴近生活实际，让学生感受到向量知识在现代科技中的应用，提升学习兴趣。 2. 问题聚焦“夹角计算”和“垂直判断”，紧扣本节课的核心知识点（数量积坐标表示、夹角公式、垂直条件），能自然串联起公式推导、应用等环节，统领整节课内容。 3. 通过“已知坐标却难以直接用旧知求解”的矛盾，凸显学习“数量积坐标表示”的必要性，勾起学生的求知欲，引导学生主动探索新知，同时为后续体会“几何问题代数化”的思想埋下伏笔。 探究点1：平面向量数量积的坐标表示 【提出问题】已知向量，，如何用坐标表示？ 【推导引导】 1. 回顾平面向量基本定理：任意向量可表示为，，其中、是x轴、y轴正方向的单位向量。 1. 回顾单位向量的数量积性质：，，（因为与垂直，夹角为，）。 1. 类比向量加减的坐标运算，将展开： 【结论】平面向量数量积的坐标表示公式：，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。 【设计意图】通过“回顾—类比—推导”的流程，让学生参与公式推导过程，理解公式的由来，避免死记硬背，培养逻辑推理能力。 探究点2：向量的模与两点间距离的坐标表示 【提出问题】由数量积的坐标表示，能否推导向量的模的坐标公式？ 【推导引导】 1. 回顾数量积的性质：，即。 1. 设，则。 1. 由此可得：。 1. 延伸：若向量的起点、终点，则，因此两点间距离公式：。 【例题应用】已知，求；已知、，求。 【预设答案】；。 【设计意图】从数量积坐标公式自然推导模长公式，建立知识间的内在联系，同时巩固两点间距离公式，实现知识的正向迁移。 探究点3：两向量夹角与垂直的坐标表示 【提出问题1】如何用坐标表示两向量的夹角？ 【推导引导】 1. 回顾夹角公式：（、为非零向量）。 1. 代入数量积与模的坐标公式，可得：，其中。 【例题应用】设，，求与的夹角（精确到）。 【详解】，，，则，故。 【提出问题2】由夹角公式，如何得到两向量垂直的坐标条件？ 【推导引导】 1. 回顾垂直性质：。 1. 因为、均为非零向量（垂直的前提是两向量非零），所以。 【结论】两非零向量垂直的充要条件：。 【例题应用】判断向量与是否垂直；若向量与垂直，求的值。 【预设答案】，故；由，得。 【易错提醒】 1. 两向量夹角的余弦值大于0时，夹角可能是锐角（）或（两向量同向）；余弦值小于0时，夹角可能是钝角（）或（两向量反向）。 1. 两向量垂直的坐标条件需注意“非零向量”前提，若其中一个向量为零向量，虽满足，但零向量与任意向量共线而非垂直。 【设计意图】通过夹角公式推导垂直条件，形成“定义—公式—性质”的完整知识链，同时通过例题与易错提醒，帮助学生准确掌握概念，规避常见错误。 探究点4：数量积坐标表示的综合应用 【例1】判断的形状，其中、、。 【详解】，，。 计算数量积：；；。 计算模长：，，。 因为，故为等腰三角形。 【例2】用向量方法证明两角差的余弦公式：。 【证明】在平面直角坐标系内作单位圆，以x轴非负半轴为始边作角、，终边与单位圆交点分别为、，则，。 由数量积的定义：。 由数量积的坐标表示：。 故。 【设计意图】通过三角形形状判断、定理证明等综合问题，展示数量积坐标表示的工具性，让学生体会“几何问题代数化”的便捷性，同时巩固公式应用，提升综合解题能力。 巩固练习 1. 已知向量，，求、、及与的夹角（精确到）。 1. 已知向量，，若，求的值；若，求的值（对比垂直与平行的坐标条件）。 1. 在四边形中，，，，，判断四边形的形状，并求其面积。 【预设答案】 1. ，，，，。 1. 垂直时：；平行时：。 1. 四边形为矩形，面积为（提示：先判断对边平行且邻边垂直，再计算邻边模长乘积）。 【设计意图】通过分层练习，巩固基础公式应用，对比垂直与平行的坐标条件，强化易错点，提升综合应用能力。 1.（多选题）（25-26高三上·福建·开学考试）已知向量，则（    ） A． B．的最小值为3 C．与不垂直 D．当时，在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量共线计算可判断A，利用向量的模及基本不等式求解判断B，由数量积判断C，由投影向量的计算判断D. 【详解】若，则，即，此方程无实数解，A错误； ，当且仅当，即时，等号成立，B正确； 因为，所以与不垂直，C正确； 当时，在方向上的投影向量为，D正确. 故选：BCD 2.（多选题）（24-25高一下·吉林长春·期中） 已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【知识点】求投影向量、向量夹角的坐标表示、利用向量垂直求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量垂直的坐标表示，夹角公式可判断AB，由投影向量计算公式可判断D，由共线定理可判断C. 【详解】对于A：， 由，得，解得：，错误； 对于B：，正确； 对于C：由，确定，正确； 对于D：在上的投影向量为，正确. 故选：BCD. 3.（多选题）（25-26高三上·福建厦门·期中）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】通过向量的垂直、平行、模长、投影向量的定义和公式，逐一分析选项得出结果. 【详解】选项A：若，则，解得，A正确. 选项B：若，，则，B正确. 选项C：，若，则， 解得，C错误. 选项D：若，，，， 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 4.（多选题）（25-26高三上·甘肃·月考）已知向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量共线求的值，可判断AB的真假；根据向量垂直求的值，可判断CD的真假. 【详解】若，则，解得，A正确，B错误． 若，则，解得或，C正确，D错误． 故选：AC 5.（多选题）（25-26高二上·福建泉州·月考）已知点，，，若，的夹角为锐角，则的值可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意可求出和，因为，的夹角为锐角，可得，且不能是同向共线，列出不等式求解即可. 【详解】由题意知，，，的夹角为锐角， ，且，解得且， 故的取值范围为.选项C、D符合题意. 故选：CD. 6.（多选题）（24-25高一下·福建莆田·期末）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】BC 【知识点】求投影向量、向量模的坐标表示、数量积的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】对于A，由模的计算公式验算即可；对于B，由数量积的坐标运算验算即可；对于C，由投影向量的定义验算即可；对于D，由向量夹角的余弦公式验算即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，在上的投影向量为， 对于D，由于，所以与的夹角为. 故选：BC. 7.（多选题）（25-26高三上·江西南昌·期中）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与向量的夹角为钝角，则 D．的最小值为4 【答案】AD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】由向量平行、垂直的坐标表示列方程求参数值判断A、B，由向量夹角的坐标求法，结合反向共线的情况判断C，应用向量的坐标运算求模长判断D. 【详解】若，则，可得，A对， 若，则，可得，B错， 由，则， 若，则，可得， 由向量的夹角为钝角，则且，C错， 由，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为4，D对. 故选：AD 8.（多选题）（25-26高三上·山东聊城·期中）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．向量与的夹角为 C．若，则 D． 【答案】BC 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】利用向量共线、夹角、垂直、模长公式的知识依次判断选项即可. 【详解】对于A，因为，则，故A不正确； 对于B，由题可得，， 因为向量夹角范围为，所以向量与的夹角为，故B正确； 对于C，由于，，则，解得，故C正确； 对于D，由于，所以，故D错误； 故选：BC 9.（多选题）（25-26高三上·河北衡水·月考）已知向量，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．，的夹角为 B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为5 【答案】AD 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先利用已知条件求出，利用向量夹角余弦公式得到A正确；利用向量数量积运算公式得到B正确；平方后得到，从而结合二次函数的性质得到C错误；D选项，设向量，得到，根据，求出最值． 【详解】， ，解得， 选项A，设是与的夹角，则，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，， 当时，的最小值为，故C错误； 选项D，设向量，， ， 设是与的夹角，则，即， 当且仅当共线时取等号， ，故的最大值为5，故D正确． 故选：AD． 10.（多选题）（25-26高二上·江西·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【知识点】向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】根据模长的坐标公式可判断A；根据两个向量垂直的坐标公式可判断B，根据向量夹角的坐标公式可判断C；根据投影向量的坐标公式可判断D. 【详解】因为，，所以，A正确； 因为，， 所以，B正确； 设与的夹角为，则，且，因此与的夹角为，C错误； 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 1.（多选题）（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知向量，，，则（   ） A． B．向量、的夹角为 C． D．在上的投影向量是 【答案】BCD 【知识点】求投影向量、向量夹角的坐标表示、利用向量垂直求参数、坐标计算向量的模 【分析】由平面向量垂直的坐标表示可求出的值，可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BC选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为向量，，则， 因为，则，解得，则，A错； 对于B选项，因为， 因为，故，即向量、的夹角为，B对； 对于C选项，，故，C对； 对于D选项，在上的投影向量为，D对. 故选：BCD. 2.（多选题）（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知向量，，则下列选项正确的有（   ） A．若，则 B．若，则，的夹角为60° C．若，则 D．若，共线，则 【答案】AC 【知识点】利用坐标求向量的模、利用向量垂直求参数、向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数 【分析】A选项，根据向量模的公式计算判断；B选项，利用向量夹角的坐标公式计算判断；C选项，根据向量垂直列方程求解即可；D选项，根据向量共线列方程求解即可. 【详解】A选项，当时，，，，故A正确； B选项，当时，，则，故B错误； C选项，因为，所以，解得，故C正确； D选项，因为共线，所以，解得或，故D错误. 故选：AC. 3.（多选题）（25-26高三上·江苏无锡·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．若向量是与同向的单位向量，则 B．已知向量，，则在上的投影向量为 C．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 D．已知，，则“，夹角为锐角”是“”的必要不充分条件 【答案】AB 【知识点】判断命题的必要不充分条件、基底的概念及辨析、向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】根据同向的单位向量计算公式即可判断A；利用投影向量计算公式即可判断B；根据基底向量的判断方法即可判断C；求出向量夹角为锐角的充要条件即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确. 对于B， 在上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为，则共线，则它们不能作为平面内所有向量的一组基底，故C错误； 对于D，若，夹角为锐角，则，且不能同向共线， 则，解得且， 则前者可以推出后者，后者无法推出前者，故“，夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：AB． 4.（多选题）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【知识点】由坐标判断向量是否共线、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 1. 知识清单： · (1) 核心公式： · 数量积坐标表示：； · 向量的模：，两点间距离：； · 夹角公式：（）； · 垂直条件：（、为非零向量）。 · (2) 解题流程：解决平面几何问题时，可遵循“建立坐标系—转化向量坐标—代数运算（数量积、模、夹角）—几何还原（判断形状、长度、角度）”的步骤。 1. 方法归纳：数形结合思想、类比推理思想、转化与化归思想。 1. 常见误区： · (1) 混淆两向量垂直与平行的坐标条件（垂直：；平行：）； · (2) 计算夹角时忽略角的取值范围，误将直接等同于锐角，直接等同于钝角； · (3) 应用垂直条件时，未考虑“非零向量”前提。 教材第 36 页练习第 题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第36页） 1．已知， ，求，，． 1．解析：，，． 2．已知， ，．求， ， ，． 2．解析：， ，．，， ，， ，，，． 3．已知， ，利用计算工具，求与的夹角（精确到）． 3．解析：， ，， ，，． 习题6.3（第36页） 1．如图，在中，，点是的中点．设，，用，表示，． 1．解析：， ． 2．已知作用在坐标原点的三个力分别为，，，求作用在原点的合力的坐标． 2．解析：． 3．在下列各小题中，已知向量的坐标，以及表示的有向线段的起点的坐标，求终点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 3．解析：设向量的终点的坐标为． （1）由，得点的坐标为； （2）由，得点的坐标为； （3）由，得点的坐标为． 4．已知平行四边形的顶点， ， ，求顶点的坐标． 4．解析：由题意知，设，则 ，解得，所以点的坐标为． 5．已知点，，，，，求点，及向量的坐标． 5．解析：设， ，则，， 由，得，所以点的坐标为． 由，得，所以点的坐标为． 所以． 6．已知点， ，，，，求点，，的坐标． 6．解析：由题意得，所以，， ，又（为坐标原点），则， 所以点的坐标为；，所以点的坐标为， ，所以点的坐标为． 7．你认为下列各组点具有什么样的位置关系?证明你的猜想． （1），，； （2），，； （3），，． 7．解析：（1）、、三点共线．证明：因为，，所以，因为直线与直线有公共点，所以、、三点共线． （2）、、三点共线．证明：因为，，所以．因为直线与直线有公共点，所以、、三点共线． （3）、、三点共线．证明：因为，，所以．因为直线与直线有公共点，所以、、三点共线． 8．分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以，，为顶点的三角形的形状，然后给出证明： （1），，； （2），，； （3），，． 8．解析：（1）是直角三角形，为直角， 证明：，，由，得，为直角，为直角三角形． （2）是直角三角形，为直角，证明：，，由， 得，为直角，为直角三角形． （3）是直角三角形，为直角，证明：，，由 ， 得，为直角，为直角三角形． 9．已知， ，且，求的坐标． 9．解析：设，则由题意得，解得 或 ， 于是 或． 10．已知，求与垂直的单位向量的坐标． 10．解析：设与垂直的单位向量为，则， 解得 或， 或． 11．如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点．设，， （1）用，表示，． （2）如果，，有什么位置关系?用向量方法证明你的结论． 11．解析：（1）． ． （2） 证明：． ， 即． 12． 已知点， ， ，．当，，，2时，分别求点的坐标． 12．解析：由题意得，． 当时，，所以点的坐标为； 当时，，所以点的坐标为． 当时，，所以点的坐标为； 当时，，所以点的坐标为． 13．已知，，点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 13．解析：设点的坐标为．由点在线段的延长线上，且，得， 即，所以，解得， 所以点的坐标为． 14．求证：以，，，为顶点的四边形是一个矩形． 14．证明：因为，，，所以，． 所以，，所以以，，，为顶点的四边形是一个矩形． 15．如图，设， 是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． ， （1）计算的大小； （2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理． 15．解析：（1），，， ，． （2）对于任意向量 都存在唯一一对实数，，使 ，所以本题中对向量坐标的规定合理． 16．用向量方法证明：对于任意的，恒有不等式． 16．证明 ：构造向量，， 因为（其中为向量，的夹角），所以， ． 不等式中等号成立的条件是，即． 证法二： ， 所以，当且仅当时等号成立． 板书设计 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 一、复习引人 二、形成概念 1.向量数量积的坐标表示公式: 2.向量模的坐标表示公式: ; 3.(1)两向量夹角的坐标表示公式: (2) 垂直判定: ; (3) 三、应用举例 例 1 例 2 例 3 四、归纳总结 五、课后作业 1. 学生对公式推导的理解是否到位？是否需要补充更多中间步骤？ 1. 学生在综合应用中，是否能快速建立坐标系转化向量坐标？存在的困难是什么？ 1. 垂直与平行的坐标条件是否仍有学生混淆？后续是否需要专项对比练习？ 1. 课堂例题与练习的难度梯度是否合理？是否需要调整题目的数量与难度？ 学科网（北京）股份有限公司 $