6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示（教学课件）数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示法则，能熟练进行向量数乘的坐标计算，提升数学运算素养。 2.理解并掌握平面向量共线的坐标表示充要条件，能运用该条件判断向量共线、三点共线，培养逻辑推理素养。 3.掌握线段中点坐标公式，能推导定比分点坐标公式，并能运用公式解决相关几何问题，强化数学应用能力。 4.体会向量作为工具解决几何问题的优势，感受“数形结合” “转化与化归”的数学思想，提升数学抽象素养。 目录 CATALOG 01.平面向量数乘运算的坐标表示 03.题型强化训练 02.有向线段的定比分点坐标公式及应用 04.小结及随堂练习 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 01 平面向量数乘运算的坐标表示 导入新知1： 共享单车骑行路线规划 某快递分拣中心采用智能分拣系统，包裹在分拣带上的移动可通过平面直角坐标系描述。已知包裹从分拣起点A到分拣节点B的位移向量为b=(−2,5)（单位：米），从分拣节点B到分拣终点C的位移向量是b的−1.5倍，即−1.5b。 请同学们共同探讨： 1.包裹从节点B到终点C的位移向量−1.5b的坐标是多少？ 2.若另一个包裹从起点A出发，沿与b共线的方向直接运往终点C，其位移向量与b满足什么关系？如何用坐标表示这种关系？ 3.分拣中心想在A、C之间设置一个临时停靠点D，使得AD:DC=2:1，该停靠点D的坐标该如何确定？ 导入新知2：手机充电的“快慢密码” “大家有没有观察过手机充电？假设你的手机剩余10%电量，插上充电器后：前10分钟充到了40%，中间10分钟充到了65%，最后10分钟只充到了80%。同样是10分钟，充电量却越来越少——为什么充电速度会‘变慢’？” “我们可以算出前10分钟的‘平均充电速度’是3%/分钟，中间是2.5%/分钟，但这只是一段时间的平均水平。如果我想知道‘充电到50%那一刻，手机每秒能充多少电’，该怎么计算？而且这条充电曲线，不同位置的‘倾斜程度’不一样，这和充电速度有什么关系？’’ 复习旧知 如图， 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量， 对于平面内的任一个向量 ，由平面向量基本定理可知，则有且只有一对实数x，y，使得： 我们把有序数对(x，y)叫做向量 的坐标，记作： 复习旧知 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 平面向量加、减运算的坐标表示 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标 学习新知 思考： 已知a＝(x1，y1)，你能得出 λa 的坐标吗？ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来的相应坐标 即 学习新知 例6： 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量线性运算的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由坐标判断向量是否共线 学习新知 探究 如何用坐标表示两向量共线的条件？ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b ≠ 0 .我们知道，a，b 共线的充要条件是存在实数 λ，使得 如果用坐标表示，可写为 即 消去，得 这就是说，向量 共线的条件是 特别地，对于 有： 学习新知 例7： 学习新知 学习新知 正确理解向量平行的条件 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由向量共线（平行）求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由向量共线（平行）求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由向量共线（平行）求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由向量共线（平行）求参数 学习新知 例8： 学习新知 学习新知 向量共线的判定方法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由坐标解决三点共线问题、平面向量线性运算的坐标表示 02 有向线段的定比分点坐标公式及应用 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 学习新知 O x y P1 P2 P 例9： 学习新知 中点坐标公式 学习新知 例9： O P y x P1 P2 l (1) O P y x P1 P2 l (2) 学习新知 例9： O P y x P1 P2 l (1) O P y x P1 P2 l (2) 学习新知 例9： O P y x P1 P2 l (1) O P y x P1 P2 l (2) 学习新知 探究 图6.3-18 如图6.3-18，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)， 点P是直线P1P2上的一点. 当P1P= λ PP2时，点P的坐标是什么？ 所以，点P的坐标为 【解析】设P(x，y) 因为 所以 所以 所以 线段的定比分点公式 学习新知 通性通法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由坐标解决三点共线问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由坐标解决三点共线问题 03 题型强化训练 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 能力提升 题型一：平面向量数乘运算的坐标表示 能力提升 题型一：平面向量数乘运算的坐标表示 能力提升 题型二：三点共线问题 能力提升 题型二：三点共线问题 能力提升 题型三：向量平行(共线)的判定 能力提升 题型三：向量平行(共线)的判定 能力提升 题型四：利用向量共线的坐标表示求参数 能力提升 题型四：利用向量共线的坐标表示求参数 04 小结及随堂练习 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课堂总结1 课堂总结2 平面向量数乘运算的坐标表示 若a＝(x1，y1)，则 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来的相应坐标 线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)， 点P是直线P1P2上的一点. 当P1P = λ PP2时，点P的坐标是： 课堂总结3 作业 教材第 33 页练习第 1,2,3,5 题. 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 练习（第33页） 练习（第33页） 练习（第33页） 练习（第33页） 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算直接求解可得结果. 【详解】因为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：B 【变式】已知向量 , .若 ,则向量 ( ) A． B． C． D． 1. 已知向量 ，若 ，则实数 （   ） A． B． C． D．1 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 2.（多选题） 已知向量 和 均不共线，且 ，则向量 可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误. 故选：AC. 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算直接求解可得结果. 【详解】因为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：B 【变式】已知向量 , .若 ,则向量 ( ) A． B． C． D． (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系； (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算； (3)a∥b⇔eq \f(x1,y1)＝eq \f(x2,y2)，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且y1≠0，y2≠0. 即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 3. 已知 ，若 ，则 （   ） A． B． C．1 D．2 【详解】依题意 又，所以， 解得 故选：A 4. 已知向量 ，若 与 同向共线，则x为（    ） A． B． C． D．0 【详解】与同向共线,. 当时，，与同向共线，符合； 当时，，与反向共线，不符合. ． 故选：A． 5. 已知向量 与 ，若 ，则 （　　） A．4 B．-4 C．1 D．-1 【详解】，因为， 则，解得． 故选：D． 6. 已知平面向量 ， ，设甲： ；乙： ，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【详解】若，则，解得或， 因为能推出，但不一定能得， 所以甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件. 故选：A. 【答案】A 【知识点】由坐标解决三点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】转化为向量共线问题求解 【详解】由题知 与 共线， 因为 ， 所以 ，解得 .故选：A 【变式】若三点 共线,则y的值为(    ) A．-3 B．3 C．-9 D．9 7. 已知 ，且 三点共线.则 （    ） A． B．1 C． D．4 【详解】因为三点共线，所以与共线， 则有，解得. 故选：A. 8. 已知向量 ， ， .若 、 、 三点共线，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 1.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．若点P是P1P2的中点时，则P(x，y) 为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))). 2.求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记 忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论． 3.若eq \o(P1P,\s\up17(―→))＝λeq \o(P1P2,\s\up17(―→)) (λ≠0)， ① 0< λ <1时，P在线段P1P2上；② λ＝1时，P与P2重合； ③ λ >1时，点P在线段P1P2延长线上；④ λ <0时，点P在线段P1P2 反向延长线上．　　　　 9.(多选题） 若 ， 且 是线段 的一个三等分点，则点 的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，或， 由于，设，则 则当时，，即； 时，，即； 故选：BC 10. 若 三点共线，则实数 的值为（    ） A． B． C．1 D． 【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故选：A 【练习1】已知D,E分别为 的边AB,AC的中点,若 ， ，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为D，E分别为AB，AC的中点， 所以 ，设 ，又 ， 所以 即 ， 解得 . 故选：A 【反思感悟】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行． (4)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系； (5)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算； (6)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用. 【练习2】已知 是平面内两个不共线的向量, , 若 三点共线，则实数 的值为（    ） A．-4 B．4 C． D．0 【答案】B 【详解】因为 三点共线，所以 ， 共线，又 是平面内两个 不共线向量，所以可设 ，因为 ， ， 所以 ，所以 ，所以 ，故选：B. 【反思感悟】判断向量(或三点)共线的3个步骤 　　 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行 判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间 的搭配． 【练习3】已知 ,若 ,则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】先算出 ，再根据平面向量平行的坐标运算即可求得. 【详解】 ,因为 ,所以 .故选：C. 向量共线的判定方法 　　 利用向量解决三点共线问题的基本思路是将三点共线转化为两向量共 线，即A，B，C三点共线⇔eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(BC,\s\up17(―→))共线．方法有两种：(1)看是否 存在实数λ，使得eq \o(AB,\s\up17(―→))＝λeq \o(BC,\s\up17(―→))；(2)借助坐标，看eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(BC,\s\up17(―→))的坐标是 否对应成比例或交叉相乘差为0.　　 【练习4】已知向量 ，若 反向 共线，则实数 的值为（    ） A．-7 B．3 C．3或-7 D．-3或7 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为 ， 所以 .因为 共线， 所以 ，解得 或 . 又 反向共线，代入验证可知 时为同向，舍去. 而 满足条件，所以 . 故选：A. 【反思感悟】利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a＝λb (b≠0) 列方程组求解． (2)利用向量共线的坐标表示直接求解． 【提醒】当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 1．知识清单： (1)平面向量数乘运算的坐标表示． (2)两个向量共线的坐标表示． (3)有向线段的定比分点坐标公式及应用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错． $