第五讲： 平行线的判定（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年人教版七年级数学下册

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第五讲：平行线的判定 (知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼) 知识梳理 知识点01：同位角相等，两直线平行 判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行 几何语言：如图③，如果∠1=∠2，那么a∥b. 知识点02：内错角相等，两直线平行 判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线 平行 简单说成：内错角相等，两直线平行 几何语言：如图，如果∠1=∠2，那么a∥b. 知识点03：同旁内角互补，两直线平行 判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 几何语言：如图，如果∠1+∠3=180°，那么a∥b. 知识点04：知识结构 平行线的定义 平行线基本事 如果两条直线都与第三条直线平行， 实I的推论 那么这两条直线也互相平行 平行线的 同位角相等，两直线平行 判定方法 平行线的 判定方法 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 推论 在同一平面内，如采两条直线都垂直 于同一条直线，那么这两条直线平行 典例精讲 考点1：同位角相等，两直线平行 【典型例题】 如图，若∠BAF=∠CFE,则下面结论正确的是() C D A.AE∥BDB.AB‖FC C.AB∥ED D.CF∥DE 【变式训练1】 在学习“用直尺和三角板画平行线”"的时候，课本给出如图的画法.这种画平行线方法的依据是 () B A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.两直线平行，内错角相等 D.两直线平行，同位角相等 考点2：内错角相等，两直线平行 【典型例题】 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》.书中记载了这样 的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”.现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的. 如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是() A.内错角相等，两直线平行 B.同旁内角互补，两直线平行 C.对顶角相等 D.两点确定一条直线 【变式训练1】 如图，∠1=∠2，下列说法正确的是() D 4 3 B A.∠3=∠4B.AD∥BC C.AB∥DC D.BD平分∠ADC 考点3：同旁内角互补，两直线平行 【典型例题】 如图，已知∠3=135°，要使AB∥CD,则需具备的另一个条件是() B D A.∠1=45°B.∠2=135° c.∠1=135° D.∠2=45° 【变式训练1】 如图，已知∠B+∠BEF=180°，则() A.AD∥EFB.EF∥BC C.AB∥CD D.AD∥BC 考点4：平行线的判定的综合应用 【典型例题】 能判定AB∥CD的条件是() A D 3 246 E A.∠D=∠5 B.∠3=∠4 C.∠D+∠BCD=180° D.∠1=∠2 【变式训练1】 如图所示，下列条件中，不能判断直线1∥1，的是() 4 2 A.∠1+∠2=180° B.∠3+∠4=180° C.∠2=∠5 D.∠4+∠5=180° 高频精练 一、单选题 1.利用直尺和三角尺画平行线的道理是() A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角相等，两直线平行 D.平行于同一直线的两条直线互相平行 2.如图，直线a,b被直线c所截，下列条件中不能判定a∥b的是() 20 A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.∠1+∠2=180° D.∠2+∠4=180° 3.下列图形中，由∠1=∠2能判定AB∥CD的是() D -B B. C 2 4.如图所示，以下条件中能判断AB∥EF的是() D 21 B A.∠1=∠B B.∠1=∠E C.∠2=∠B D.∠2=∠E 5.如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是() 3 45 B C E A.∠4=∠3 B.∠1=∠2 C.LB=∠5 D.∠B+∠BCD=180° 6.不能判断ADBC的条件是() B 2 3 4 E D A.∠ADC+∠C=180° B.∠2=∠3 C.∠ADE=∠C D.∠1=∠4 7.如图，下列条件中，能判断直线AD∥BC的是() 3 A.∠1=∠3 B.∠2=∠1 C.∠3=LE D.∠E+∠B=180° 8.如图，下列条件中，不能判定ABCD的是() A B 4 A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠BAD+∠ADC=180 D.∠BAC=∠ACD 二、填空题 9.如图所示，若∠1=∠2，则∥ A B 10.如图，过直线外一点画己知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是 b P 11.如图，∠1=120°，要使AB川CD,则∠2的度数是_ 12.如图，如果∠=∠，那么ED∥BC,根据 ·(只需写出一种情况) D 6 B 13.如图，己知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是 B D 14.如图，点A在DE上，任意添加一个条件，使得DE∥BC，则这个条件可以是 D 15.如图是一款可折叠的晾衣架及其正面示意图，己知∠PDE=115°，若要使GH∥DE,则∠DBH= 16.如图，下列条件：①∠1=∠4；②∠BAD+∠ADC=180°；③∠ABC=∠ADC;④∠3=∠2.其中能判 定AB∥CD的是 (填序号). D 3 图 B 三、解答题 17.如图，己知∠1=∠ABC=∠ADC,∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°.将下列推理过程补充 完整. D C :∠1=∠ABC(已知)， .AD∥ :∠3=∠5（己知） .AB∥ :LABC+LBCD=180°（已知）， ( 18.已知：如图，直线AB,CD被直线GH所截，∠AEG=112°，∠EFD=68°，说明：AB∥CD. A F H B D 解：因为AB与直线GH相交于点E,∠AEG=112°， 所以LAEG= =112°. 因为∠EFD=68°， 所以∠FEB+∠EFD=」 所以二∥」 )(填推理的依据). 19.已知：如图，直线a、b被直线C所截，∠1与∠2互补，求证：a∥b· 2 20.如下图，已知AC平分∠EAG,BD平分∠FBG,∠1=35°，∠2=35°，试说明：AC∥BD, AE∥BF, E F -C D 1 2 G A B 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第五讲：平行线的判定 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：同位角相等，两直线平行 判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 几何语言：如图③，如果∠1=∠2，那么a∥b. 知识点02：内错角相等，两直线平行 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 几何语言：如图，如果∠1=∠2，那么a∥b. 知识点03：同旁内角互补，两直线平行 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 几何语言：如图，如果∠1+∠3=180°，那么a∥b. 知识点04：知识结构 考点1：同位角相等，两直线平行 【典型例题】 如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 【变式训练1】 在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 考点2：内错角相等，两直线平行 【典型例题】 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 【变式训练1】 如图，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行．由可得，而A、B、D无法证明，即可得到答案． 【详解】解：由可得，C选项正确；而A、B、D无法证明， 故选：C． 考点3：同旁内角互补，两直线平行 【典型例题】 如图，已知，要使， 则需具备的另一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法，求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 当时，，，可得 故选：D 【点睛】此题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【变式训练1】 如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 考点4：平行线的判定的综合应用 【典型例题】 能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：A、由可以得到，故本选项不符合题意； B、由可以得到，故本选项符合题意； C、由，可以得到，故本选项不符合题意； D、由，可以得到，故本选项不符合题意， 故选：B． 【变式训练1】 如图所示，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确解答的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 依据平行线的判定定理即可判断． 【详解】解：A、因为，所以，故该选项正确，不合题意； B、因为，所以，所以，故该选项正确； C、该选项不能判断，故该选项错误，符合题意； D、因为，所以，故该选项正确． 故选：C． 一、单选题 1．利用直尺和三角尺画平行线的道理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 【答案】A 【分析】本题考查了利用直尺和三角尺画平行线，熟练掌握利用直尺和三角尺画平行线的方法是解题关键．利用直尺和三角尺画平行线时，通过固定三角尺的角度并沿直尺平移，确保形成的同位角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线时，通过固定三角尺的角度并沿直尺平移，确保形成的同位角相等， 所以利用直尺和三角尺画平行线的道理是同位角相等，两直线平行， 故选：A． 2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，则两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】选项A：同位角相等，两直线平行，符合题意； 选项B：内错角相等，两直线平行，符合题意； 选项C：两个同位角的和为，无法判断两直线的关系，不符合题意 选项D：， ， 同旁内角互补，两直线平行，符合题意； 故选：C． 3．下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 4．如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合同位角相等，两直线平行，即，故，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D 5．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定， 根据“内错角相等两直线平行”判断A，B，再根据“同位角相等两直线平行”判断C，然后根据“同旁内角互补两直线平行”判断D即可. 【详解】解：∵， ∴， 所以A符合题意； ∵， ∴， 所以B不符合题意； ∵， ∴， 所以C不符合题意； ∵， ∴， 所以D不符合题意. 故选：A． 6．不能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定． 利用平行线的判定，对四个选项分别作出分析，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合； ∵， ∴，故B不符合； ∵， ∴，故C不符合； ∵， ∴，不能得出，故D符合， 故选：D． 7．如图，下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以证明两直线平行，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，所以不能判断直线，故该选项是错误的，不符合题意； B、因为，所以不能判断直线，故该选项是错误的，不符合题意； C、因为，即内错角相等，得出，故该选项是正确的，符合题意； D、因为，所以不能判断直线，故该选项是错误的，不符合题意； 故选：C． 8．如图，下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键． 根据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，，内错角相等，可判定，不能判定； B选项，，内错角相等，能判定； C选项，，同旁内角互补，能判定； D选项，，内错角相等，能判定． 故选：A． 二、填空题 9．如图所示，若，则 // ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定，是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行即可判定． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：，． 10．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是理解“推平行线”过程中同位角的关系与两直线平行的联系． 观察图形，明确与为同位角；分析“推平行线”时与的关系（保持相等）；依据同位角相等，两直线平行的判定定理，得出该方法的依据． 【详解】解：“推平行线”法中，通过直尺和三角板的移动，使与保持相等，而与是同位角．根据平行线的判定定理，当同位角相等时，两条直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 11．如图，，要使，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是内错角相等两直线平行，解题关键是熟练掌握内错角相等两直线平行． 根据内错角相等两直线平行即可得解． 【详解】解：要使， 内错角和需相等， ． 故答案为：． 12．如图，如果 ，那么，根据 ．（只需写出一种情况） 【答案】 2（答案不唯一） 1（答案不唯一） 内错角相等，两直线平行（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定方法解答即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：如果，那么，根据内错角相等，两直线平行， 故答案为：2，1，内错角相等，两直线平行．（答案不唯一） 13．如图，已知，则图中互相平行的线段是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 14．如图，点在上，任意添加一个条件，使得，则这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．由平行线的判定方法，利用平行线的判定方法即可得到答案． 【详解】解：∵内错角相等，两直线平行， ∴添加一个条件，使得，则这个条件可以是或； ∵同旁内角互补，两直线平行， ∴添加一个条件，使得，则这个条件可以是或； 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图是一款可折叠的晾衣架及其正面示意图，已知，若要使，则 ． 【答案】115 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．由同位角相等，两直线平行，即可得解． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 16．如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴（内错角相等，两直线平行）；故①符合题意， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）；故②符合题意， ，不能判定，故③不符合题意， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）；不能判定，故④不符合题意， 故答案为：①②． 三、解答题 17．如图，已知．将下列推理过程补充 完整． ∵（已知）， ∴________（________________） ∵（已知） ∴________（________________） ∵（已知）， ∴_________________（________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，作答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） ∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 18．已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：因为与直线相交于点E，， 所以． 因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行． 19．已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答． 根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】证明：，， ， ． 20．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $