二次函数与图形面积问题2026年九年级中考数学复习

二次函数与图形面积问题（难） 1.如图，开口向下的抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点． 求该抛物线所对应的函数解析式； 设四边形的面积为，求的最大值． 2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点． ______，点的坐标为______； 若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，求面积的最大值． 3.如图，抛物线与轴交于，两点． 求该抛物线的解析式； 设中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 在中的抛物线的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若没有，请说明理由． 4.如图，点、在的图象上已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． 求直线的函数表达式； 求的面积； 若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有______个 5.如图，抛物线过点，点与轴交于点在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点． 求抛物线的解析式及点坐标； 当时，是直线上的点且在第一象限内，若是以为底角的等腰三角形，求点的坐标； 如图，连接并延长交轴于点，连接，，设的面积为，的面积为，若，求的值． 6.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点． 求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 点为直线下方抛物线上一点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点． ______，______； 若点在该二次函数的图象上，且，求点的坐标； 若点是该二次函数图象上位于轴上方的一点，且，直接写出点的坐标． 8.二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为 求这个二次函数的表达式，并写出点的坐标； 如图，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； 如图，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为时，求点的坐标． 9.已知抛物线过点和，与轴交于另一点，顶点为． 求抛物线的解析式，并写出点的坐标； 如图，为线段上方的抛物线上一点，，垂足为，轴，垂足为，交于点当时，求的面积； 如图，与的延长线交于点，在轴上方的抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10.已知顶点为的抛物线：与轴交于点． 求抛物线的解析式； 将抛物线的图象绕点旋转得到抛物线，点是抛物线上的一动点，求的面积的最小值； 抛物线关于直线的轴对称图象交直线于，两点，且，求的取值范围． 11.已知抛物线与 轴交于 ， 两点点 在点 的左侧，与 轴交于点 ，且． 求抛物线的解析式； 若 ， 是第一象限的抛物线上不同的两点，且的面积恒小于的面积，求点 的坐标； 若 为抛物线的顶点， 为第二象限的抛物线上的一点，连接 ， ，分别交 轴于 ， ，若，求点 的坐标． 12.已知抛物线的顶点为． 当时，求点的坐标； 经过探究发现，随着的变化，顶点在某直线上运动，直线与轴，轴分别交于，两点，求的面积； 答案和解析 1.【答案】解：，，， 设抛物线表达式为：， 将代入得：， 解得：， 该抛物线的解析式为：； 连接， 设点坐标为，， ，，， 可得：，，， ， 当时，最大，最大值为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 2.【答案】解：；； 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得 直线的解析式为； 点为线段上的一个动点， 设， 轴， ， ， 当时，的面积的最大值为．  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据三角形面积得到二次函数的解析式是解题的关键． 根据待定系数法即可求得的值，根据点的坐标即可求得点的坐标； 根据待定系数法求得直线的解析式，设出、的坐标，然后根据三角形面积公式得到，由二次函数的性质即可求得结论． 【解答】 解：反比例函数的图象经过点， ， 交轴于点，为线段的中点． ； 故答案为：；； 见答案． 3.【答案】解：将，代中得 ， ． 抛物线解析式为：． 存在． 理由如下：由题知、两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时周长最小， ， 的坐标为， 直线解析式为：， 点坐标即为， 解得， ． 存在． 理由如下：设点，作垂直于轴于点， ， 若有最大值，则就最大， ， ， 当时，最大值， 最大， 当时，， 点坐标为  【解析】根据题意可知，将点、代入函数解析式，列得方程组即可求得、的值，求得函数解析式； 根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求； 存在，设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标． 此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用． 4.【答案】解：点、在的图象上，、的横坐标分别为、， ，， 设直线的解析式为， ，解得， 直线为； 在中，令，则， 的坐标为， ， ．   【解析】【分析】 由抛物线的解析式求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； 由直线的解析式求得的坐标，然后根据，利用三角形面积公式即可求得； 过的中点，作的平行线交抛物线两个交点、，作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点、，此时的面积、的面积、的面积和的面积都等于的面积的一半． 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 【解答】 解：过的中点，作的平行线交抛物线两个交点、，此时的面积和的面积等于的面积的一半，作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点、，此时的面积和的面积等于的面积的一半，所以这样的点共有个，故答案为． 5.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为， 当时，，故点； 当时，点，设点的坐标为， 由点、、的坐标得，，，， 当时，，即，解得， 此时，点的坐标为； 当时，，解得舍去负值， 此时，点的坐标为； 故点的坐标为或； ，则设点， 设直线的表达式为， 则， 解得 故直线的表达式为， 当时，，故点，则； ， ， ， ， ，， ， 解得舍去负值， 故．  【解析】本题考查的是二次函数与一次函数的综合运用，涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏． 用待定系数法即可求解； 若是以为底角的等腰三角形，则可以分或两种情况，分别求解即可； 根据，，列方程即可求解． 6.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点， 点，点， 设抛物线解析式为：， ， ， 抛物线解析式为：； 如图，当点在直线上方时，过点作，交抛物线与点， ， 和是等底等高的两个三角形， ， ， 直线的解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， 点或； 当点在直线下方时，在的延长线上截取，过点作，交抛物线于点， ，， ， ，且过点， 直线解析式为， 联立方程组可得， 解得， 点， 综上所述：点坐标为或或； 如图，过点作，交于， 设点，则点， ， 的面积， 当时，的面积有最大值， 点， 如图，过点作，过点作于点，过点作于，延长交直线于， ，， ， ， 当点，点，点三点共线，且垂直于时，有最小值，即最小值为， ， 直线解析式为， 当时，点， ， ， ， ， 的最小值为．  【解析】先求出点，点坐标，利用待定系数法可求解析式； 分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求解析式，的解析式，联立方程组可求解； 过点作，交于，设点，则点，可求的长，由三角形面积公式可求的面积，利用二次函数的性质可求点坐标，过点作，过点作于点，过点作于，延长交直线于，由直角三角形的性质可得，可得，则当点，点，点三点共线，且垂直于时，有最小值，即最小值为，由直角三角形的性质可求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键． 7.【答案】，； 见答案 设， 点在抛物线位于轴上方的部分， 或， 当点在点左侧时，即， 易知，结论不成立； 当点在点右侧时，即， 和都以为底，若要面积相等， 则以为底的三角形的高相等，即， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 则设直线的解析式为，将点代入， 则，解得：， 则直线的解析式为，将代入， 即， 解得：或舍， 当时，， 点的坐标为．  【解析】解：点和点在二次函数图像上， 则，解得：， 故答案为：，； 见答案 设， 点在抛物线位于轴上方的部分， 或， 当点在点左侧时，即， 易知，结论不成立； 当点在点右侧时，即， 和都以为底，若要面积相等， 则以为底的三角形的高相等，即， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 则设直线的解析式为，将点代入， 则，解得：， 则直线的解析式为，将代入， 即， 解得：或舍， 当时，， 点的坐标为． 利用待定系数法求解即可； 先求出的面积，设点，再根据，得到方程求出值，即可求出点的坐标； 分点在点左侧和点在点右侧，结合三角形面积公式，分别求解． 本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，一次函数． 8.【答案】解：将，代入， 得，解得 二次函数的解析式为． ， ． 如图，图，连接，，由点在线段的垂直平分线上，得． 设， ，由勾股定理可得： 解得． 满足条件的点的坐标为或 如图，设交抛物线的对称轴于点， 设，则， 设直线的解析式为，则． 解得， 于是：， 当时，， ，． ． ，解得或， 当时，，当时，． 综合以上可得，满足条件的点的坐标为或．  【解析】【分析】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 由于二次函数的图象与轴交于、两点，把，两点坐标代入，计算出的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出点坐标； 由线段垂直平分线的性质可得出，设，由勾股定理可得解方程可得出答案； 设交抛物线的对称轴于点，设，则，设直线的解析式为，则解得，求出，由面积公式可求出的值．则可得出答案． 9.【答案】把点，代入中，， 解得， ， 当时，， ； 如图，抛物线， 令， ，或， ． 设的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ． ． 设直线的解析式为，设点的坐标为， 将点坐标代入中，得， 联立． ． ． 把代入，得， ． ． ，即． 解得或． 点是上方抛物线上的点， ，舍去． 点，，，，， ； 如图，过点作， 点，， ． 点，点， 联立， ， ． 设，把代入，得， 联立， ， ， ，， ． ． 设点． 过点作轴于点，在轴上作点使得， 且点的坐标为． 若 在和中，，， ∽． ． ． ． 或或舍去． ，，．  【解析】利用待定系数法求出的值即可得到解析式，进而得到顶点坐标； 先求出的解析式，再设直线的解析式为，设点的坐标为，联立方程求出点，的坐标，根据列出关于的方程并求解，然后求得的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； 过点作，先求得直线，的解析式，得到，的坐标，进而得到，设点，过点作轴于点，在轴上作点使得，证明∽，根据相似三角形对应边成比例得到关于的方程，求得后即可得到点的坐标． 本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解． 10.【答案】解：将代入  ， ， 顶点为， ， 解得，   ； 抛物线的图象绕点  旋转， 顶点绕点  旋转后的点为  ，， 抛物线  的解析式为  ， 设直线的解析式为，   ， 解得  ， ， 设  ， 过点与平行的直线解析式为  ， 联立方程组  ， 整理得，  ， 当时，点到的距离最短，此时的面积最小，   ，   ， 的面积最小值为  ； 顶点关于直线的对称点为， 对称后的抛物线解析式为  ， 联立方程组  ， 整理得，  ， 方程有两个不相等的实数根，   ， 解得  ，   ，   ， ，   ， 解得    ．   【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，中心对称的性质，一次函数与二次函数综合问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 将，坐标代入函数解析式计算即可； 根据题意求出旋转后的抛物线解析式，求出直线的解析式，设  ，得出过点与平行的直线解析式为  ，将其与新抛物线联立，计算，推出当时，点到的距离最短，此时的面积最小，求出的面积即可； 根据题意推出，再利用根与系数的关系，标书出，根据的取值范围，即可求出的取值范围． 11.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，， ，， ，， 把代入抛物线，可得， 抛物线的解析式为． 如图中，当的面积最大时，满足条件，连接设． 则 ， ， 当时，的面积最大，此时 如图中，设． ，， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， ， ， ， ，   【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 求出，的坐标，利用待定系数法可得结论． 如图中，当的面积最大时，满足条件，连接设构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 如图中，设求出，的坐标，根据，构建方程求解即可． 12.【答案】解：当  时，    ， 顶点为  坐标为  ；   ， 顶点坐标为 ， 即顶点  满足  ，  ， 顶点所在直线  的解析式为：  ， 令  得  ，令  得  ，   ，  ，   的面积  ．   【解析】本题考查了二次函数的顶点式，一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确表示抛物线的顶点坐标是解题的关键． 将的值代入解析式，再求出顶点坐标即可； 先表示出顶点坐标，得出直线的解析式，进而求出点，的坐标，从而可求出三角形的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 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