精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市富裕县益海学校2025-2026学年九年级上学期1月质量检测数学试题

2025－2026学年九年级上学期1月质量检测数学试题 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是几个学科的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的12个小球，其中5个红色球、4个蓝色球、3个白色球．下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从袋中随机取出1个球，是红色球 B. 从袋中随机取出5个球，全是蓝色球 C. 从袋中随机取出7个球，没有红色球 D. 从袋中随机取出10个球，三种颜色的球都有 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与交于点，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．如图，书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，则该直角三角形内切圆的半径为（ ） A. 1步 B. 2步 C. 3步 D. 2.5步 9. 如图，在中，，，点D在边上，，点E是边上的动点（不与端点A，B重合），点F是边上的动点（不与端点A，C重合），连接，且，若，的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表，下列结论，正确的是（　　） x … 1 2 … y … c 0 m … A. B. C. 关于x的方程的两个根分别为 D. 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 已知a是方程的一个实数根，则的值为________． 12. 一个圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥的侧面展开图的圆心角为_______． 13. 如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为_______． 14. 如图，点B是反比例函数y＝图象上的一点，矩形OABC的周长是20，正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，则k的值为_______ 15. 如图，在中，，动点D从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向点C运动，到达点C停止．过点D作于点H，作点A关于的对称点E，连接．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，设点D的运动的时间为t（秒），当点F到直线的距离为1时，则t的值为________． 16. 在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕点B逆时针旋转后的； （2）求出图（1）中点C旋转到所经过的路径长（结果保留） 19. 如图，，点是线段上的一点，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有__________人，他们成绩的中位数落在__________等级； （2）补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为__________； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校名学生中成绩达到优秀的人数． （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）求反比例函数关系式． 22. 如图，在中，，于点D，经过点A，B，且与相切． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 探究： （1）如图一，若，求证：； （2）如图二，若，，求的长； （3）如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 24. 定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且，则称点A，B是一对“m阶差值点”． （1）在点，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是 ． （2）已知点，点A在函数的图象上，若点A，B是一对“2阶差值点”，求点A的坐标； （3）如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上．点M的纵坐标为t，且． ①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值； ②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． （4）点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级上学期1月质量检测数学试题 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是几个学科的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的12个小球，其中5个红色球、4个蓝色球、3个白色球．下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从袋中随机取出1个球，是红色球 B. 从袋中随机取出5个球，全是蓝色球 C. 从袋中随机取出7个球，没有红色球 D. 从袋中随机取出10个球，三种颜色的球都有 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，必然事件是指一定发生的事件．袋中共有12个球（5红、4蓝、3白），取出10个球后只剩2个球．由于每种颜色球的数量均大于2，因此取出10个球时必然包含所有三种颜色． 【详解】解：A、可能取出蓝球或白球，不是必然事件； B、只有4个蓝球，无法取出5个蓝球，是不可能事件； C、非红球共7个（4蓝+3白），取出7个球可能没有红球，但也可能包含红球，不是必然事件． ∵袋中红球5个、蓝球4个、白球3个，总球数12个， ∴取出10个球后，剩余2个球． ∵红球数量，蓝球数量，白球数量， ∴剩余2个球不可能包含所有红球、所有蓝球或所有白球， 即取出10个球时，不可能缺少任何一种颜色， ∴取出10个球必然三种颜色都有． 故选项D是必然事件． 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求解未知数，解决本题的关键是直接利用根代入方程求解． 根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求出参数值． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 将代入方程得：， 即， ∴， 解得． 故选：A． 4. 如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等解答即可． 【详解】∵所对应的弧为， ∴， 故选：A． 5. 如图，与交于点，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】解：， ，， ， ， 设，则，，， ， ， 与的相似比为， ， 故选C． 6. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式得出的范围，进而判断反比例函数的图象，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：， ∴反比例函数的图象在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数图象的性质，得出是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点的坐标为，即， 故选：B． 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．如图，书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，则该直角三角形内切圆的半径为（ ） A. 1步 B. 2步 C. 3步 D. 2.5步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 如图，，，，为的内切圆，分别与三边切于点，连接，，设半径为，根据切线的性质，，证明矩形是正方形，得到，所以，求出的值，从而得到的半径． 【详解】解：如图，，，， 为的内切圆，分别与三边切于，连接，， 设半径为， 与相切， ， 四边形为矩形，而， 矩形为正方形， ， ，， ，， ，， ， ， 解得， 的半径为2步， 故选： B． 9. 如图，在中，，，点D在边上，，点E是边上的动点（不与端点A，B重合），点F是边上的动点（不与端点A，C重合），连接，且，若，的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、动点的函数图象问题，解题的关键是通过相似三角形得到边的关系，进而得出关于的函数表达式，再根据函数性质判断函数图象． 先求出的长度以及、的长度，通过角度关系证明，得出，根据边的关系求出关于的表达式，进而得出关于的函数表达式，根据函数性质确定函数图象． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 过点作于点， ， ， ， ， ， 又当时，即，， ， 关于的函数的图象是将反比例函数的图象向上平移12个单位长度得到的图象的一部分，只有选项C符合条件． 故选：C. 10. 二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表，下列结论，正确的是（　　） x … 1 2 … y … c 0 m … A. B. C. 关于x的方程的两个根分别为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数图象与y轴正半轴相交， ∴当时，； ∵当时，， ∴二次函数的对称轴为，即， ∴，故选项D正确，符合题意； ∵二次函数图象过点， ∴函数的大致图象为： ∴二次函数图象开口向下， ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵二次函数图象过点，开口向下， ∴当时，， ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为，函数图象过点， ∴二次函数过x轴的另一个交点为， ∴的两个根分别为，故选项C错误，不符合题意； 故选：D． 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 已知a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 根据方程根的定义，将已知条件代入表达式求解． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 12. 一个圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥的侧面展开图的圆心角为_______． 【答案】## 度 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角；根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵一个圆锥母线长，底面圆半径，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查作图﹣基本作图、作线段，证明的周长可得结论． 【详解】解：由题意， ∴的周长， ∵的周长为15， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，点B是反比例函数y＝图象上的一点，矩形OABC的周长是20，正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，则k的值为_______ 【答案】16 【解析】 【分析】设B点坐标为(x，y)，根据题意得到，，再利用完全平方公式可得到xy=16，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可得到答案． 【详解】设B点坐标为(x，y)，则OC=y，BC=x， 根据题意得：，， ∴， ∴，即， ∴，即矩形OABC的面积是16， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴k=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，完全平方公式的运用，反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义及完全平方公式是解题的关键． 15. 如图，在中，，动点D从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向点C运动，到达点C停止．过点D作于点H，作点A关于的对称点E，连接．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，设点D的运动的时间为t（秒），当点F到直线的距离为1时，则t的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先证明，求出，，过点作于点，然后证明，则，，分两种情况：①当点在内部时，如图，过点作于点，交于点，由，求出，再由，解得：；当点在外部时，如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，同上可求即可． 【详解】解：∵动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止，运动的时间为秒，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 过点作于点，如图， ∴， ∵，点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 当点F到直线的距离为1时，分两种情况： ①当点在内部时，如图，过点作于点，交于点， ∵，点到直线的距离为，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在外部时，如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， ∵，点到直线的距离为，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 解得：； 综上所述，当到直线的距离为时，的值为秒或秒． 故答案为：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．根据题意，画出图形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用公式法解方程． （2）把方程转化成然后用因式分解法即可解出． 【小问1详解】 ∴方程有两个相等的实数根， 【小问2详解】 即 或 或 【点睛】本题考查了解一元二次方程一公式法，因式分解法，，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕点B逆时针旋转后的； （2）求出图（1）中点C旋转到所经过的路径长（结果保留） 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）作出点与点绕点逆时针旋转后所得对应点，再顺次连接即可得； （2）根据弧长公式求解可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 所以点旋转到所经过的路径长． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． 19. 如图，，点是线段上的一点，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2）4 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据垂直得到，利用同角的余角相等得到，即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，代入已知线段长度即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 20. 某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有__________人，他们成绩的中位数落在__________等级； （2）补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为__________； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校名学生中成绩达到优秀的人数． （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） （2）解：补图如下；； （3）人 （4） 【解析】 【分析】（1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第个数据的平均数，求解作答即可； （2）直接补图即可；根据扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， ∴B等级人数为 （人），A等级人数为（人）， ∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：、B； 【小问2详解】 图略 ∵， ∴扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：∵， ∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人； 【小问4详解】 解：由题意画树状图如下； 共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， ∵， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的圆心角，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）求反比例函数关系式． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查对用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质进行计算是解此题的关键． （1）将代入求解即可； （2）利用待定系数法将代入求解即可． 【小问1详解】 将代入 得，； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴将代入 得，． ∴． 22. 如图，在中，，于点D，经过点A，B，且与相切． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）2.5 【解析】 【分析】（1）连接，，由切线的性质得到，由等腰三角形的性质推出，，得到，因此，即可证明是的切线； （2）连接交于H，由勾股定理求出，，由角平分线的性质定理的逆定理推出平分，由等腰三角形的性质推出，，由勾股定理求出，由余角的性质推出，判定，推出，求出，即可得到的半径是2.5． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径是2.5． 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出；由，推出． 23. 探究： （1）如图一，若，求证：； （2）如图二，若，，求的长； （3）如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形． （1）证明，即可得出结论； （2）作平分，证明，推出，等积法证明，进行求解即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的值即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作平分，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到距离相等，设点到距离均为， ∴， 又∵（同高三角形的面积比等于底边比）， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 【小问3详解】 在上截取，连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为5． 24. 定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且，则称点A，B是一对“m阶差值点”． （1）在点，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是 ． （2）已知点，点A在函数的图象上，若点A，B是一对“2阶差值点”，求点A的坐标； （3）如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上．点M的纵坐标为t，且． ①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值； ②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． （4）点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①；②存在，1或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据“m阶差值点”的定义，逐一分析判断即可； （2）根据题意，可设，根据“2阶差值点”的定义可得关于x的方程，整理并求解，即可获得答案； （3）①首先确定点M坐标，点C坐标，结合“阶差值点”的定义，即可获得答案； ②根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”，当点C，M是一对“1阶差值点”时，首先确定点M坐标，过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为K，H，证明，结合全等三角形的性质可确定点P坐标，进而确定a的值；同理当点P在点C上方时，求解a 的值，即可获得答案； （4）首先根据题意确定直线的解析式为，结合直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，易知直线经过由组成的正方形区域（含边界），然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：对于点，， ∵， 依据一对“m阶差值点”的定义得：点不是一对“3阶差值点”； 对于点， ∵， 依据一对“m阶差值点”的定义得：点是一对“3阶差值点”； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点A在函数的图象上， ∴设， 已知点A，点是一对“2阶差值点”， 依题意得：， 解得，， 经检验，，是该方程的解， ∴点A的坐标为或； 【小问3详解】 解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 将代入可得， ∴点C的坐标为， ∵点M，C是一对“阶差值点”， 依题意得：， 解得； ②正方形的四个顶点中存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”；理由如下： 根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”， 当点C，M是一对“1阶差值点”时，如图1，过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为K、H， 依题意得：， 解得， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 将点P的坐标代入，得： ， 解得：； 当点P在点C上方时，如图2， 同理可得， 将点点P的坐标代入，得： ， 解得， 综上所述，a的值是1或； 【小问4详解】 解“m的取值范围为或．理由如下： 若点，是一对“m阶差值点”， 依题意得：， 设直线的解析式为，将点A，点B的坐标分别代入，得： ， ，得：， ∴， 又∵直线过点， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点， 即直线经过由，，，组成的正方形区域 （含边界），如图3， 当时， 当时，得：， 此时﹣， 解得， 即m的取值范围为； 当时， 当时，得：， 此时， 解得， 即m的取值范围为， 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了新定义“m阶差值点”、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的应用等知识，综合运用相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $