6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 （教学课件）数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.理解平面向量正交分解及坐标表示的本质，能准确写出给定向量的坐标。 2.掌握平面向量加、减运算的坐标表示法则，能熟练进行两个向量和、差的坐标计算。 3.理解向量坐标的几何意义，能根据向量坐标求对应点的坐标（如平行四边形顶点坐标），解决简单的几何问题。 4.经历向量坐标运算的推导与应用过程，体会数形结合思想，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 目录 CATALOG 01.平面向量加、减运算的坐标表示 03.题型强化训练 02.平面向量坐标运算的应用 04.小结及随堂练习 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 01 平面向量加、减运算的坐标表示 导入新知1：“外卖配送的路线优化” 某外卖平台的骑手接到订单，需要从配送站O（坐标原点）出发，先到商家A取餐，商家A的坐标为(3,4)；再将餐品送到顾客B家中，顾客B的坐标为(7,1)。配送完成后，骑手需要规划返回配送站的最短路线。 请同学们思考以下问题：1.用向量分别表示骑手从O到A、从A到B的行驶轨迹，这两个向量的坐标应该如何表示？ 2.若骑手不经过商家A，直接从O到B，这个直接配送的向量与前两个向量存在什么关系？能否通过A、B的坐标直接算出这个直接配送向量的坐标？ 3.骑手从B返回O的向量，又该如何通过坐标计算得出？它与直接配送的向量有什么联系？ 导入新知2：“公园寻宝游戏的位置测算” 学校组织公园寻宝活动，藏宝点C的位置需要通过两个线索确定： 线索1：从公园入口P（坐标为(1,2)）出发，先向东北方向走到标记点M，对应的向量PM坐标为(4,3)； 线索2：从标记点M再向西北方向走到藏宝点C，对应的向量MC坐标为(-2,5)。 1.标记点M的坐标是多少？如何通过已知向量和起点坐标求出终点坐标？ 2.藏宝点C相对于入口P的向量PC坐标是什么？能否直接通过PM和MC的坐标计算得出？ 3.若另一位同学从入口P直接走到藏宝点C，他的行走路线对应的坐标变化与PC的坐标有什么关系？ 学习新知 思考： 已知a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 即 同理可得 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量线性运算的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 学习新知 解： 例4： 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量线性运算的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量减法的法则、平面向量线性运算的坐标表示 02 平面向量坐标运算的应用 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 学习新知 探究 如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能得出 的坐标吗？ 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标 减去起点的坐标 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量线性运算的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 学习新知 例5： 解法1： 学习新知 例5： 解法2： 你能比较一下两种解法在思想上的异同吗？ 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用坐标求向量的模 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量坐标的线性运算解决几何问题 03 题型强化训练 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 能力提升 题型一：平面向量加、减运算的坐标表示 能力提升 题型一：平面向量加、减运算的坐标表示 能力提升 题型一：平面向量加、减运算的坐标表示 能力提升 题型二：平面向量坐标运算的应用 能力提升 题型二：平面向量坐标运算的应用 能力提升 题型二：平面向量坐标运算的应用 04 小结及随堂练习 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课堂总结1 课堂总结1 ①定义法：分别向坐标轴引垂线. ②原点法：向量起点放到原点，终点的坐标 ③两点法：终点的坐标-起点坐标 (三)向量的坐标表示方法： (二)向量坐标表示加减运算： 课堂总结1 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (四)平面向量加、减运算的坐标表示 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标 课堂总结2 作业 教材第 30 页练习第 1,2,3 题. 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 练习(第30页) 练习(第30页) 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. 向量 ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为向量，， 则. 故选：A. 2. 已知 ， ，若 ，则 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量减法的法则 【分析】根据向量减法的定义及坐标运算即可解得. 【详解】 . 故选：B. 【变式】设向量 ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【感悟提升】求平面向量坐标的三种方法 (1)定义法：将向量用两个相互垂直的单位向量e1，e2表示出来． (2)平移法：将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． (3)作差法：用向量终点的坐标减去始点的坐标． 3. 若 ， ，则 的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 4. 已知 ， ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 解得. 故选：C 5. 已知向量 满足 ，则 ＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 【详解】， ，， 所以. 故选：B. 6.（多选题） 已知向量 ， ，则（   ）． A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 故A错误，B正确； 因为，所以， 且，故C错误，D正确. 故选：BD 7. 已知向量 ，若 与 共线，则 （    ） A． B．1 C．2 D． 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 【知识点】由坐标解决线段平行和长度问题、用坐标表示平面向量 【分析】设 ，由平行四边形ABCD可知 ，再利用坐标 相等即可求解. 【详解】设 ，由平行四边形ABCD可知 又 , , , , ,解得 ,即D点的坐标为 . 故选:B 【变式】已知平行四边形ABCD的三个顶点 ， ， 则第四个顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】向量坐标运算的方法 (1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据两个向量的和、差运算法则进行计算． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标． (3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．　　 8. 已知向量 ， 在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 （    ）   A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】建立平面直角坐标系可得，，， 所以，所以. 故选：A. 9. 向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则 （   ）   A． B． C．5 D． 【详解】如图，以的起点为原点建立直角坐标系，   则，， ，． 故选：B． 10.在直角 中， 是直角， 的内切圆交 于点 ，点 是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若 ，则 的值可以是（    ）   A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r，则，可得，以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，. 可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点.由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确.故选：B. 【练习1】在平行四边形 中， ， ， ， 则 （    ） A． B． C． D． 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【解析】由向量的坐标运算可直接求得结果. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 ，      故选：A 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题. 【反思感悟】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 【通性通法】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行； (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算； (3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．　　　　 【练习2】(1)如图所示,已知向量 , , , ,求作向量 , .   (2)已知向量 , 的坐标分别是 , ,求 , 的坐标. 【详解】(1)如图所示,图1为 ,图2为 ；    (2) , . 【反思感悟】 1．进行向量坐标运算的常见方法： (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用． (2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解． (3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数． 【反思感悟】 2．利用向量的坐标运算求参数的思路 已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解． (一)平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和(差)的坐标 分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (3)向量坐标的几何意义 如图所示，在平面直角坐标中，若A(x1，y1)，则 eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝(x1，y1)， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝(x2－x1，y2－y1)． 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 【点拨】(1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关,而与向量的具体位置无关； (2)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变． $