6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第六章“平面向量及其应用”中的6.3.3节“平面向量加、减运算的坐标表示”。内容包括：平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量加、减运算的坐标运算法则（两个向量和、差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和、差）；向量坐标的几何意义（一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标）；利用坐标表示解决平面向量加、减运算问题及相关点的坐标求解（如平行四边形顶点坐标）。 内容解析 本节是平面向量知识体系的核心环节，是在学生掌握平面向量基本定理、向量正交分解及坐标表示基础上的延伸。其核心是实现平面向量运算的“代数化”，将抽象的向量加、减运算转化为具体的坐标数值运算，搭建起“数”与“形”之间的桥梁。 从知识关联看，本节内容是后续平面向量数乘运算、数量积运算坐标表示的基础，同时为解析几何中直线方程、曲线与方程等知识的学习提供了向量工具支撑，是连接代数运算与几何图形的关键纽带。 从学习意义看，通过本节学习，学生能体会向量运算从“几何形式”到“代数形式”的转化过程，掌握用坐标解决向量问题的基本方法，提升数学运算、逻辑推理和数形结合的核心素养，为后续运用向量解决复杂数学问题和实际问题奠定基础。 教学目标 1. 理解平面向量正交分解及坐标表示的本质，能准确写出给定向量的坐标。 1. 掌握平面向量加、减运算的坐标表示法则，能熟练进行两个向量和、差的坐标计算。 1. 理解向量坐标的几何意义，能根据向量坐标求对应点的坐标（如平行四边形顶点坐标），解决简单的几何问题。 1. 经历向量坐标运算的推导与应用过程，体会数形结合思想，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 目标解析 1. 能结合平面直角坐标系，用相互垂直的单位向量、表示任意向量，明确向量坐标与正交分解式的对应关系。 1. 给定两个向量的坐标，能直接运用加、减运算法则求出和向量、差向量的坐标，准确率达到90%以上。 1. 已知有向线段起点和终点坐标，能通过“终点坐标减起点坐标”求出向量坐标；反之，能根据向量坐标及其中一个点的坐标，求出另一个点的坐标，能解决平行四边形等几何图形中的顶点坐标问题。 1. 能清晰描述向量坐标运算的推导过程，在解题中能自觉运用数形结合思想，将几何问题转化为代数运算，再通过代数结果解释几何意义。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立完成向量的正交分解，准确写出向量坐标，能区分向量坐标与点的坐标的联系与区别。 1. 能熟练运用“和差坐标=对应坐标和差”的法则进行向量运算，解决基础运算题无错误。 1. 能运用向量坐标的几何意义，通过列方程（组）求解点的坐标，能独立完成平行四边形顶点坐标的求解，并说明解题依据。 1. 能总结出求向量坐标的三种方法（定义法、平移法、作差法），并能根据题目条件选择合适方法解题。 本节内容的学习基于学生已掌握的平面向量基本定理、向量的几何形式加、减运算（三角形法则、平行四边形法则）以及平面直角坐标系的相关知识。 从认知基础来看，学生已经理解“平面内任意向量可以由两个不共线向量唯一表示”，对正交分解（垂直的基底）有初步认识，具备将向量与坐标系结合的认知前提。但学生此前接触的向量运算多为几何形式，对于“用坐标表示向量并进行运算”的代数化思维尚需培养，容易混淆向量坐标与点的坐标的概念。 从学习难点来看，学生可能在理解“向量坐标的几何意义”和“利用坐标运算求点的坐标”时存在障碍，尤其是在解决平行四边形顶点坐标这类需要分类讨论或运用方程思想的问题时，容易出现思路不清晰、漏解等情况。 本节内容所涉及的主要数学核心素养有：数学抽象（向量坐标的本质）、数学运算（坐标加、减运算）、逻辑推理（运算法则的推导）、直观想象（数形结合）。学生对向量知识的学习有一定兴趣，通过层层递进的问题设计和例题训练，能够逐步掌握本节重点内容。 基于以上分析，确定本节课的： · 教学重点：1. 平面向量加、减运算的坐标表示法则；2. 向量坐标的几何意义及应用。 · 教学难点：1. 向量坐标与点的坐标的区别与联系；2. 利用坐标运算求点的坐标（如平行四边形顶点坐标）。 知识点 　平面向量加、减运算的坐标表示 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) [注意]　(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. (2)①向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关； ②当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 导入新知1：“外卖配送的路线优化” 某外卖平台的骑手接到订单，需要从配送站O（坐标原点）出发，先到商家A取餐，商家A的坐标为(3,4)；再将餐品送到顾客B家中，顾客B的坐标为(7,1)。配送完成后，骑手需要规划返回配送站的最短路线。 请同学们思考以下问题： 1. 用向量分别表示骑手从O到A、从A到B的行驶轨迹，这两个向量的坐标应该如何表示？ 2. 若骑手不经过商家A，直接从O到B，这个直接配送的向量与前两个向量存在什么关系？能否通过A、B的坐标直接算出这个直接配送向量的坐标？ 3. 骑手从B返回O的向量，又该如何通过坐标计算得出？它与直接配送的向量有什么联系？ 设计意图 1. 外卖配送是学生日常生活中高频接触的场景，能快速拉近数学知识与生活的距离，让学生感受到向量坐标运算的实际应用价值，激发学习兴趣。 2. 问题链层层递进，既覆盖了向量坐标的表示，又自然引出向量加法、减法的坐标运算需求，同时暗含向量坐标的几何意义（终点坐标减起点坐标），能统领整节课的核心知识点。 3. 第三个问题引导学生思考相反向量的坐标关系，为后续向量运算的拓展埋下伏笔，有效勾起学生对向量坐标运算规律的探索欲。 导入新知2：“公园寻宝游戏的位置测算” 学校组织公园寻宝活动，藏宝点C的位置需要通过两个线索确定： 线索1：从公园入口P（坐标为(1,2)）出发，先向东北方向走到标记点M，对应的向量坐标为(4,3)； 线索2：从标记点M再向西北方向走到藏宝点C，对应的向量坐标为(-2,5)。 请同学们共同探究： 1. 标记点M的坐标是多少？如何通过已知向量和起点坐标求出终点坐标？ 2. 藏宝点C相对于入口P的向量坐标是什么？能否直接通过和的坐标计算得出？ 3. 若另一位同学从入口P直接走到藏宝点C，他的行走路线对应的坐标变化与的坐标有什么关系？ 设计意图 1. 寻宝游戏是学生感兴趣的活动形式，能激发学生的参与感和探究欲，让学生在趣味情境中主动思考向量坐标的相关问题。 1. 问题设计紧扣本节课核心内容：既涉及向量坐标的几何意义（通过向量坐标求点的坐标），又包含向量加法的坐标运算，同时关联了向量坐标与实际位置变化的对应关系，能全面统领本节课的知识体系。 1. 从“求点的坐标”到“求向量的坐标”，再到“向量坐标与实际路线的联系”，问题逐步深入，引导学生体会“几何问题代数化”的过程，契合本节课“数形结合”的核心思想，为后续知识点的展开做好铺垫。 探究点1：平面向量加、减运算的坐标表示 1.1 复习回顾，温故知新 1.问题1：平面向量的基本定理是什么？ 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.问题2：用坐标表示向量的基本原理是什么？ 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y). 【设计意图】通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 探究点2：向量坐标的几何意义 2.情景引入、探索新知 问题3：如图，取与 轴、 轴同向的两个单位向量作为基底， 分别用 表示OA，OB，并求出它们的坐标. 问题4：向量的坐标呢？ 答案：法一：直接用定义对向量做正交分解 法二：把向量的起点移到原点的位置，终点C的坐标（4，-2）就是向量的坐标 问题5：能不能其他的方法进行求解呢？这就是我们今天要探索的向量坐标的简单运算 思考 已知，，你能得出，的坐标吗? 【答案】 【解析】 ， 即 同理可得 这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）． 【设计意图】通过思考，得到向量加法、减法的坐标表示，提高学生分析问题、推理能力。 例4 已知， ，求，的坐标． 解：，． 探究：如图6.3-11，已知， ，你能得出的坐标吗? 如图，作向量，，则． 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 【变式】设向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量减法的法则 【分析】根据向量减法的定义及坐标运算即可解得. 【详解】. 故选：B. 【感悟提升】求平面向量坐标的三种方法 (1)定义法：将向量用两个相互垂直的单位向量e1，e2表示出来． (2)平移法：将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． (3)作差法：用向量终点的坐标减去始点的坐标． 探究点3：向量坐标运算的应用（求点的坐标） 例5 如图6.3-13，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，求顶点的坐标． 解法1：如图6.3-13，设顶点的坐标为．因为，，又，所以．，解得． 所以顶点的坐标为． 解法．如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知 ． 所以顶点的坐标为． 你能比较一下两种解法在思想上的异同吗？ 【变式】已知平行四边形ABCD的三个顶点，，则第四个顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由坐标解决线段平行和长度问题、用坐标表示平面向量 【分析】设，由平行四边形ABCD可知，再利用坐标相等即可求解. 【详解】设，由平行四边形ABCD可知 又，，，， ，解得，即D点的坐标为 故选：B 【感悟提升】平面向量坐标的线性运算 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行计算． (2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行． 【设计意图】通过对例题进行变式，让学生体会不同题干对问题的影响，提高学生审题能力，此题有多种情况，可以提高学生分类讨论能力的培养，提高学生解决问题的能力。 1.（2025高二上·贵州·学业考试）向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果. 【详解】因为向量，，则. 故选：A. 2.（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 3.（24-25高一下·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 4.（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法的法则、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的减法表示，进而得到，再根据向量加法的坐标运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：C 5.（2025·陕西咸阳·三模）已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 【答案】B 【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由题可求，再求值即可. 【详解】， ，， 所以. 故选：B. 6.（多选题）（25-26高二上·河北廊坊·开学考试）已知向量，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算和向量的模的计算可判断选项． 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 因为，所以，且，故C错误，D正确. 故选：BD 7.（2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 8.（25-26高三上·北京海淀·期中）已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】直接建立平面直角坐标系，再根据向量的坐标运算可得. 【详解】建立平面直角坐标系可得，，， 所以，所以. 故选：A. 9.（25-26高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（   ）    A． B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】利用坐标求向量的模 【分析】根据题意，建立直角坐标系，再计算模长即可． 【详解】如图，以的起点为原点建立直角坐标系，    则，， ， ． 故选：B． 10.（24-25高一下·江苏徐州·月考）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【知识点】向量坐标的线性运算解决几何问题 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 1.（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 2.（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【详解】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A 3.（23-24高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】法1：设，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得，进而可得结果；法2：建系，设，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可知，进而可得结果. 【详解】法1：因为， 设，则， 因为，，三点共线，则，解得， 即，所以； 法2：坐标法（特殊化平行四边形建系） 不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系， 设，，则， 所以直线，直线， 联立方程，解得， 可得，，， 设， 则，解得， 所以； 法3：如图，延长，，交于点， 因为为中点，所以， 又，则，可得， 可知，所以； 故选：C. 4.（多选题）（24-25高一下·四川凉山·期末）已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 【答案】ACD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】根据，两点的坐标求出向量的坐标，即可判断A，利用，再由的坐标求出的坐标，即可判断B；设，，，根据中点坐标公式列出方程组，求出三点坐标，即可判断C，分别求出，即可求出的面积，即可判断D. 【详解】    因为，，所以，故A正确； 因为分别为，的中点， 所以，故B错误； 设，，， 则有，，， 解得，故C正确； 由C可知， 所以的面积为，故D正确. 故选：ACD 1. 平面向量加、减运算的坐标法则： · 若，，则，。 2. 向量坐标的几何意义： · 若，，则；原点出发的向量的坐标等于点A的坐标。 3. 求向量坐标的三种方法： · （1）定义法：将向量用正交单位向量、表示； · （2）平移法：将向量起点移至原点，终点坐标即为向量坐标； · （3）作差法：终点坐标减去起点坐标。 方法归纳 1. 数形结合思想：将向量的几何运算转化为坐标代数运算，再通过代数结果解释几何意义。 1. 方程思想：解决点的坐标问题时，利用向量相等或中点性质列方程（组）求解。 1. 分类讨论思想：解决平行四边形等图形的顶点坐标问题时，需考虑不同的图形构成情况。 常见误区 1. 混淆向量坐标与点的坐标：向量坐标是“终点减起点”的结果，与向量的位置无关；点的坐标是位置的刻画，与坐标系原点相关。 1. 进行向量运算时，错误地将起点坐标与终点坐标直接相加、减，忽略“对应坐标”的要求。 1. 解决平行四边形顶点坐标问题时，遗漏分类讨论，导致漏解。 教材第 30 页练习第 题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第30页） 1．在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求，的坐标： （1），； （2），； （3），； （4），． 1．解析：（1） ，． （2），． （3），． （4），． 2．在下列各小题中，已知，两点的坐标，分别求，的坐标： （1），； （2），； （3），； （4），． 2．解析：（1）， （2）， （3）， (4) ， 3．若点，，，，则与有什么位置关系?证明你的猜想． 3．解析 证明：由点，，，， 得，，所以， 所以． 1. 教学中应注重引导学生经历“几何形式→代数形式”的转化过程，通过动手推导运算法则，加深对知识的理解，避免直接灌输结论。 1. 针对向量坐标与点的坐标的混淆问题，可通过对比辨析、实例讲解等方式，明确二者的联系与区别。 1. 解决平行四边形顶点坐标问题时，可借助坐标系画图分析，帮助学生直观理解不同的图形构成，培养分类讨论意识。 1. 鼓励学生在解题后进行反思总结，提炼解题方法和技巧，提升知识迁移能力。 学科网（北京）股份有限公司 $