6.3.2-6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示与平面向量的加减坐标表示【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.3.2-6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示与平面向量的加减坐标表示】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 一、6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 1.平面向量的正交分解（核心前提） 知识点：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解；若两个向量、互相垂直，且均为非零向量，则以、为基底的分解，就是正交分解；正交分解是平面向量坐标表示的基础 易错辨析：①混淆“正交分解”与“一般线性分解”，误将任意两个不共线向量的分解当作正交分解（忽略“互相垂直”的核心条件）；②误认为“正交分解的基底必须是单位向量”，实则只要两个向量互相垂直、非零，即可作为正交分解的基底（单位向量是特殊情况）；③正交分解时，误将两个不垂直的向量当作基底，导致分解不符合正交要求；④认为“一个向量只有一种正交分解”，实则基底不同，正交分解的形式不同，但核心是“垂直分解” 重点记忆：①正交分解的核心条件：两个分解向量互相垂直（），且均为非零向量；②正交分解的本质：将任意向量转化为两个垂直方向上的“分量向量”，简化向量运算；③正交分解与平面向量基本定理的关系：正交分解是平面向量基本定理的特殊形式（基底互相垂直）；④常见正交分解场景：平面直角坐标系中，以x轴、y轴正方向向量为基底的分解 常考结论：①任意平面向量都可以进行正交分解（且分解形式不唯一，取决于正交基底的选取）；②若的正交分解为，则与、均垂直（分量向量互相垂直）；③正交分解中，两个分量向量的数量积为0，即 2.正交基底与标准基底（高频基础考点） 知识点：①正交基底：互相垂直的两个非零向量叫做正交基底，记作，满足且、；②标准基底：在平面直角坐标系中，取x轴正方向的单位向量和y轴正方向的单位向量作为基底，叫做标准基底，满足且；标准基底是最常用的正交基底 易错辨析：①误将“正交基底”等同于“标准基底”，忽略标准基底的“单位向量”特征（正交基底无需是单位向量）；②认为“正交基底只能是x轴、y轴方向的向量”，实则任意互相垂直的非零向量，均可作为正交基底；③标准基底中，误将、的模长当作非1的值，或误判两者不垂直；④选取零向量作为正交基底的一个向量（零向量与任意向量垂直，但不能作为基底） 重点记忆：①标准基底的三大特征（缺一不可）：互相垂直、单位向量、方向分别为x轴、y轴正方向；②正交基底的两大特征：互相垂直、非零向量（无模长限制）；③标准基底是特殊的正交基底，正交基底不一定是标准基底；④标准基底的核心作用：简化向量坐标表示，建立向量与实数对的对应关系 常考结论：①若为标准基底，则、、（高频数量积结论）；②任意一组正交基底，均可通过数乘运算转化为标准基底；③平面直角坐标系中，所有向量的坐标表示，均以标准基底为前提 3.平面向量的坐标表示（核心考点，适配坐标运算） 知识点：在平面直角坐标系中，以标准基底为正交基底，对任意平面向量，都有且只有一对实数x、y，使得；我们把实数对叫做向量的坐标，记作；其中，x叫做向量在x轴上的坐标分量，y叫做向量在y轴上的坐标分量 易错辨析：①混淆“向量坐标”与“点的坐标”，误将向量当作点（向量坐标是实数对，点的坐标是位置坐标，二者关联但不同）；②若向量起点不在原点，误将起点坐标当作向量坐标（向量坐标由终点坐标减去起点坐标得到，起点在原点时，向量坐标等于终点坐标）；③书写向量坐标时，误遗漏括号或逗号，如将写成或；④误将坐标分量当作向量，混淆坐标（实数）与向量的属性 重点记忆：①向量坐标的核心定义：（标准基底前提下）；②向量坐标的求法：若向量的起点、终点，则（高频求法）；③特殊向量的坐标：零向量，标准基底、；④向量坐标的书写规范：必须加小括号，坐标分量用逗号分隔，不可遗漏 常考结论：①若，则向量的模长（结合数量积推导，高频考点）；②若向量（O为坐标原点），则点A的坐标就是（向量坐标与点坐标的唯一关联场景）；③若、，且，则且（坐标相等的充要条件） 二、6.3.3平面向量的加减坐标表示 1.平面向量加法的坐标表示（核心运算考点） 知识点：设两个平面向量、，则它们的和向量的坐标等于两个向量对应坐标的和，即；几何意义：两个向量相加，对应坐标相加，本质是正交分解后，两个垂直方向上的分量分别相加 易错辨析：①加法坐标运算时，误将横、纵坐标交叉相加，如将算成；②忽略向量坐标的前提，未先将向量转化为坐标形式，直接进行模长相加；③多个向量相加时，漏加某个坐标分量，如误算为；④误将加法坐标运算与数乘运算混淆，如算成 重点记忆：①加法坐标运算口诀：“横加横，纵加纵”（简单易记，适配快速运算）；②运算核心：对应坐标分别相加，无需考虑向量的方向和模长，直接套用公式；③多个向量加法的坐标运算：可推广为；④运算步骤：先确定每个向量的坐标→对应坐标相加→写出和向量的坐标 常考结论：①若，则（零向量加法性质）；②若、、，则（加法结合律的坐标体现）；③若、，则（三角形法则的坐标体现） 2.平面向量减法的坐标表示（核心运算考点） 知识点：设两个平面向量、，则它们的差向量的坐标等于两个向量对应坐标的差，即；几何意义：两个向量相减，对应坐标相减，本质是，即被减向量坐标减去减向量坐标 易错辨析：①减法坐标运算时，混淆被减向量与减向量的顺序，误将算成；②误将减法坐标运算当作加法运算，直接将对应坐标相加；③求两点对应向量的坐标时，误将起点坐标减去终点坐标，如误算为（正确应为终点减起点）；④零向量减法误算，如算成，实际为 重点记忆：①减法坐标运算口诀：“横减横，纵减纵（被减减减）”（明确顺序，避免出错）；②运算核心：被减向量的横坐标减减向量的横坐标，被减向量的纵坐标减减向量的纵坐标；③向量减法与点坐标的关联：若、，则（高频关联式）；④相反向量的坐标：若，则（减法运算的基础，） 常考结论：①若，则；②若，则且，即；③若、，则（两点间距离公式，高频拓展考点） 3.平面向量加减坐标运算的应用 知识点：加减坐标运算的核心应用集中在3个高频场景，配套解题公式，可直接套用：①求向量坐标：已知两个向量坐标，直接套用加减公式求其和、差向量坐标；②求点的坐标：已知向量坐标和一个点的坐标，利用，求解另一个点的坐标；③判定向量共线（初步）：若与某一坐标轴平行，则对应坐标分量满足特定条件（如与x轴平行，纵坐标为0） 易错辨析：①求点的坐标时，混淆向量与点的对应关系，误将的坐标当作点B的坐标；②判定向量与坐标轴平行时，误将横坐标、纵坐标的条件搞反（与x轴平行→纵坐标为0，与y轴平行→横坐标为0）；③应用运算解决三点共线问题时，未结合向量加减坐标，直接判断点的坐标关系；④化简向量加减表达式时，未先转化为坐标形式，导致运算繁琐或错误 重点记忆：①求点坐标的核心公式：若，，则；若，，则；②向量与坐标轴平行的判定：⇔与x轴平行，⇔与y轴平行；③解题核心思路：“坐标化”，将所有向量转化为坐标形式，再套用加减公式，简化运算；④中点坐标公式（高频应用）：若M为AB中点，、，则，即M点坐标为 常考结论：①若、，则、（和、差向量模长公式）；②若，则（坐标形式可直接验证）；③三点A、B、C共线的坐标判定（初步）：若、，则（后续将详细讲解，此处为初步结论） 三、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.正交分解：混淆与一般线性分解，误将非垂直向量当作正交基底，混淆正交基底与标准基底；2.坐标表示：混淆向量坐标与点的坐标，起点不在原点时向量坐标求错，书写不规范；3.加减运算：加减顺序错误、坐标交叉运算、漏加漏减分量，混淆向量加减与数乘、点坐标运算；4.应用：求点坐标时关联错误，判定向量与坐标轴平行时搞反横纵坐标条件 核心公式汇总：1.正交分解公式：（）；2.向量坐标定义：；3.向量坐标求法：（、）；4.加法坐标运算：；5.减法坐标运算：；6.相反向量坐标：（）；7.中点坐标公式：；8.向量模长公式： 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：用坐标表示平面向量】 （25-26高一上·北京房山·期末）已知点，则向量（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·辽宁大连·期末）已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ．小试牛刀2 （24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ．小试牛刀3 【题型2：平面向量有关概念的坐标表示】 （25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则 .经典例题1例题 （24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （22-23高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标．小试牛刀1 （2023·广西·模拟预测）已知和是两个正交单位向量，，且，则（    ）小试牛刀2 A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4 （22-23高一下·广东·月考）已知，则与同向的单位向量的坐标是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：平面向量线性运算的坐标表示】 （25-26高三上·浙江宁波·期末）已知向量，，，，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·山东济宁·期末）已知向量，，在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）小试牛刀1    A．8 B． C． D． （25-26高三上·甘肃临夏·期末）在扇形中，，P是上一点，且，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·北京·期末）如图，在正方形中，点在上，且，若，则 ； ．小试牛刀3    【题型4：平面向量线性运算坐标表示求参数】 （25-26高三上·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ）经典例题1例题 A． B．2 C． D．3 （25-26高三上·云南昆明·月考）向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　　）经典例题2例题 A．1 B．2 C． D． （24-25高一下·湖北·月考）已知，，，且，，，若，．小试牛刀1 (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． （23-24高一下·江苏无锡·月考）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ．小试牛刀2 （23-24高一下·云南昭通·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ．小试牛刀3 【题型5：向量坐标线性运算在几何图形中的应用】 （2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ）经典例题1例题 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 （24-25高二上·吉林长春·期中）如图，边长为4的等边，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的取值范围是 ．经典例题2例题 （23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ）小试牛刀1 A． B．1 C． D． （23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ）小试牛刀2 A． B． C．2 D． （23-24高一下·重庆·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线.小试牛刀3 (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 【题型6：线段的定比分点】 （24-25高一下·上海·月考）已知点，点，且，则点的坐标为 ．经典例题1例题 （23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标．经典例题2例题 （23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 .小试牛刀1 （23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ）小试牛刀2 A． B． C．或 D．或 （22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．或 【题型7：向量线性坐标运算解决范围最值问题】 （25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 .经典例题1例题 （2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ．经典例题2例题 （23-24高一下·山东青岛·月考）已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 .小试牛刀1 （2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 .小试牛刀2 （23-24高一下·江西·月考）如图，在梯形中， ，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为 ．小试牛刀3    【题型8：用向量坐标求模长】 （25-26高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（   ）经典例题1例题    A． B． C．5 D． （22-23高一下·北京·期中）已知向量，，其中，则的最大值是（    ）经典例题2例题 A．4 B．3 C．2 D．1 （2025高三·广东江苏·专题练习）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ）小试牛刀1 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 （2025·上海崇明·二模）已知，则 ．小试牛刀2 （23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ）小试牛刀3 A．2 B． C．4 D．8 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北襄阳·月考）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·福建厦门·月考）已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东·月考）已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京朝阳·月考）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 二、多选题 8．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 三、填空题 10．（25-26高三上·福建福州·月考）已知向量，，则 ． 11．（23-24高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 12．（22-23高一下·湖南长沙·期末）在中，，，（，），若对任意的实数，恒成立，则边的最小值是 . 13．（22-23高一下·重庆江津·期末）已知向量，并且，则实数的取值范围为 ． 14．（24-25高一下·广西南宁·月考）平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 15．（25-26高二上·江西宜春·月考）已知扇形半径为1，，弧上的动点满足，则的取值范围为 . 四、解答题 16．（23-24高一下·江苏南通·月考）设是平面直角坐标系内的四点，已知点. (1)若，求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)若，求的值. 17．（23-24高一下·广西桂林·月考）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 18．（22-23高一下·重庆綦江·期中）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，．    (1)求点B和点C的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量． 19．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）（1）已知A，B，C是三个不同的点，，，，求证：A，B，C三点共线 （2）化简： （3）已知，，实数x，y满足：，求x，y. 20．（24-25高一下·湖南常德·月考）定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. (1)设函数，求证：； (2)若函数，且，求其“相伴向量”的模的取值范围； (3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.3.2-6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示与平面向量的加减坐标表示】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 一、6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 1.平面向量的正交分解（核心前提） 知识点：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解；若两个向量、互相垂直，且均为非零向量，则以、为基底的分解，就是正交分解；正交分解是平面向量坐标表示的基础 易错辨析：①混淆“正交分解”与“一般线性分解”，误将任意两个不共线向量的分解当作正交分解（忽略“互相垂直”的核心条件）；②误认为“正交分解的基底必须是单位向量”，实则只要两个向量互相垂直、非零，即可作为正交分解的基底（单位向量是特殊情况）；③正交分解时，误将两个不垂直的向量当作基底，导致分解不符合正交要求；④认为“一个向量只有一种正交分解”，实则基底不同，正交分解的形式不同，但核心是“垂直分解” 重点记忆：①正交分解的核心条件：两个分解向量互相垂直（），且均为非零向量；②正交分解的本质：将任意向量转化为两个垂直方向上的“分量向量”，简化向量运算；③正交分解与平面向量基本定理的关系：正交分解是平面向量基本定理的特殊形式（基底互相垂直）；④常见正交分解场景：平面直角坐标系中，以x轴、y轴正方向向量为基底的分解 常考结论：①任意平面向量都可以进行正交分解（且分解形式不唯一，取决于正交基底的选取）；②若的正交分解为，则与、均垂直（分量向量互相垂直）；③正交分解中，两个分量向量的数量积为0，即 2.正交基底与标准基底（高频基础考点） 知识点：①正交基底：互相垂直的两个非零向量叫做正交基底，记作，满足且、；②标准基底：在平面直角坐标系中，取x轴正方向的单位向量和y轴正方向的单位向量作为基底，叫做标准基底，满足且；标准基底是最常用的正交基底 易错辨析：①误将“正交基底”等同于“标准基底”，忽略标准基底的“单位向量”特征（正交基底无需是单位向量）；②认为“正交基底只能是x轴、y轴方向的向量”，实则任意互相垂直的非零向量，均可作为正交基底；③标准基底中，误将、的模长当作非1的值，或误判两者不垂直；④选取零向量作为正交基底的一个向量（零向量与任意向量垂直，但不能作为基底） 重点记忆：①标准基底的三大特征（缺一不可）：互相垂直、单位向量、方向分别为x轴、y轴正方向；②正交基底的两大特征：互相垂直、非零向量（无模长限制）；③标准基底是特殊的正交基底，正交基底不一定是标准基底；④标准基底的核心作用：简化向量坐标表示，建立向量与实数对的对应关系 常考结论：①若为标准基底，则、、（高频数量积结论）；②任意一组正交基底，均可通过数乘运算转化为标准基底；③平面直角坐标系中，所有向量的坐标表示，均以标准基底为前提 3.平面向量的坐标表示（核心考点，适配坐标运算） 知识点：在平面直角坐标系中，以标准基底为正交基底，对任意平面向量，都有且只有一对实数x、y，使得；我们把实数对叫做向量的坐标，记作；其中，x叫做向量在x轴上的坐标分量，y叫做向量在y轴上的坐标分量 易错辨析：①混淆“向量坐标”与“点的坐标”，误将向量当作点（向量坐标是实数对，点的坐标是位置坐标，二者关联但不同）；②若向量起点不在原点，误将起点坐标当作向量坐标（向量坐标由终点坐标减去起点坐标得到，起点在原点时，向量坐标等于终点坐标）；③书写向量坐标时，误遗漏括号或逗号，如将写成或；④误将坐标分量当作向量，混淆坐标（实数）与向量的属性 重点记忆：①向量坐标的核心定义：（标准基底前提下）；②向量坐标的求法：若向量的起点、终点，则（高频求法）；③特殊向量的坐标：零向量，标准基底、；④向量坐标的书写规范：必须加小括号，坐标分量用逗号分隔，不可遗漏 常考结论：①若，则向量的模长（结合数量积推导，高频考点）；②若向量（O为坐标原点），则点A的坐标就是（向量坐标与点坐标的唯一关联场景）；③若、，且，则且（坐标相等的充要条件） 二、6.3.3平面向量的加减坐标表示 1.平面向量加法的坐标表示（核心运算考点） 知识点：设两个平面向量、，则它们的和向量的坐标等于两个向量对应坐标的和，即；几何意义：两个向量相加，对应坐标相加，本质是正交分解后，两个垂直方向上的分量分别相加 易错辨析：①加法坐标运算时，误将横、纵坐标交叉相加，如将算成；②忽略向量坐标的前提，未先将向量转化为坐标形式，直接进行模长相加；③多个向量相加时，漏加某个坐标分量，如误算为；④误将加法坐标运算与数乘运算混淆，如算成 重点记忆：①加法坐标运算口诀：“横加横，纵加纵”（简单易记，适配快速运算）；②运算核心：对应坐标分别相加，无需考虑向量的方向和模长，直接套用公式；③多个向量加法的坐标运算：可推广为；④运算步骤：先确定每个向量的坐标→对应坐标相加→写出和向量的坐标 常考结论：①若，则（零向量加法性质）；②若、、，则（加法结合律的坐标体现）；③若、，则（三角形法则的坐标体现） 2.平面向量减法的坐标表示（核心运算考点） 知识点：设两个平面向量、，则它们的差向量的坐标等于两个向量对应坐标的差，即；几何意义：两个向量相减，对应坐标相减，本质是，即被减向量坐标减去减向量坐标 易错辨析：①减法坐标运算时，混淆被减向量与减向量的顺序，误将算成；②误将减法坐标运算当作加法运算，直接将对应坐标相加；③求两点对应向量的坐标时，误将起点坐标减去终点坐标，如误算为（正确应为终点减起点）；④零向量减法误算，如算成，实际为 重点记忆：①减法坐标运算口诀：“横减横，纵减纵（被减减减）”（明确顺序，避免出错）；②运算核心：被减向量的横坐标减减向量的横坐标，被减向量的纵坐标减减向量的纵坐标；③向量减法与点坐标的关联：若、，则（高频关联式）；④相反向量的坐标：若，则（减法运算的基础，） 常考结论：①若，则；②若，则且，即；③若、，则（两点间距离公式，高频拓展考点） 3.平面向量加减坐标运算的应用 知识点：加减坐标运算的核心应用集中在3个高频场景，配套解题公式，可直接套用：①求向量坐标：已知两个向量坐标，直接套用加减公式求其和、差向量坐标；②求点的坐标：已知向量坐标和一个点的坐标，利用，求解另一个点的坐标；③判定向量共线（初步）：若与某一坐标轴平行，则对应坐标分量满足特定条件（如与x轴平行，纵坐标为0） 易错辨析：①求点的坐标时，混淆向量与点的对应关系，误将的坐标当作点B的坐标；②判定向量与坐标轴平行时，误将横坐标、纵坐标的条件搞反（与x轴平行→纵坐标为0，与y轴平行→横坐标为0）；③应用运算解决三点共线问题时，未结合向量加减坐标，直接判断点的坐标关系；④化简向量加减表达式时，未先转化为坐标形式，导致运算繁琐或错误 重点记忆：①求点坐标的核心公式：若，，则；若，，则；②向量与坐标轴平行的判定：⇔与x轴平行，⇔与y轴平行；③解题核心思路：“坐标化”，将所有向量转化为坐标形式，再套用加减公式，简化运算；④中点坐标公式（高频应用）：若M为AB中点，、，则，即M点坐标为 常考结论：①若、，则、（和、差向量模长公式）；②若，则（坐标形式可直接验证）；③三点A、B、C共线的坐标判定（初步）：若、，则（后续将详细讲解，此处为初步结论） 三、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.正交分解：混淆与一般线性分解，误将非垂直向量当作正交基底，混淆正交基底与标准基底；2.坐标表示：混淆向量坐标与点的坐标，起点不在原点时向量坐标求错，书写不规范；3.加减运算：加减顺序错误、坐标交叉运算、漏加漏减分量，混淆向量加减与数乘、点坐标运算；4.应用：求点坐标时关联错误，判定向量与坐标轴平行时搞反横纵坐标条件 核心公式汇总：1.正交分解公式：（）；2.向量坐标定义：；3.向量坐标求法：（、）；4.加法坐标运算：；5.减法坐标运算：；6.相反向量坐标：（）；7.中点坐标公式：；8.向量模长公式： 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：用坐标表示平面向量】 （25-26高一上·北京房山·期末）已知点，则向量（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为点，， 所以， 故选：B （25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． （24-25高一下·辽宁大连·期末）已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设向量与正半轴夹角为，则，由题可知，利用三角和角公式求值即可. 【详解】设向量与正半轴夹角为，则， 向量绕原点逆时针旋转得到，则， 又， ， 所以. 故选：A. （24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】设点A的坐标为，根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向量相等列出方程，计算即可求出点A的坐标. 【详解】设点A的坐标为，因为点B的坐标为， 所以向量， 向量，所以，解得， 所以点A的坐标为. 故答案为： （24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 【题型2：平面向量有关概念的坐标表示】 （25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则 .经典例题1例题 【答案】 【分析】根据题设有，，再由向量加法及数量积的运算律求向量的模. 【详解】由题设，，则， 所以 . 故答案为： （24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. （22-23高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标．小试牛刀1 【答案】． 【分析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案. 【详解】因为 ， 又，所以． 因此在基下的坐标为． （2023·广西·模拟预测）已知和是两个正交单位向量，，且，则（    ）小试牛刀2 A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4 【答案】B 【分析】根据题意得到，，求得，集合向量模的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为和是正交单位向量，，， 可得，所以，解得或. 故选：B． （22-23高一下·广东·月考）已知，则与同向的单位向量的坐标是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题可得与同向的单位向量是，据此可得答案. 【详解】 由题，则与同向的单位向量是，对应坐标是. 故选：A． 【题型3：平面向量线性运算的坐标表示】 （25-26高三上·浙江宁波·期末）已知向量，，，，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示代入即可. 【详解】因为，，，所以， ，解得，所以. 故选：A （2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A （25-26高三上·山东济宁·期末）已知向量，，在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）小试牛刀1    A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】由图得到坐标，根据向量的加法法则和向量模的计算公式求解. 【详解】如图，建立直角坐标系，则， 所以， 所以， 故选：C.    （25-26高三上·甘肃临夏·期末）在扇形中，，P是上一点，且，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，写出向量的坐标，根据坐标运算可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立坐标系， 设扇形半径为1，，则，且， 于是，， 因为，所以， 由，解得，（舍去）. 故选：C    （25-26高一上·北京·期末）如图，在正方形中，点在上，且，若，则 ； ．小试牛刀3    【答案】 【分析】建立直角坐标系，利用正方形的性质结合已知条件求出相关点坐标，进而得出相关向量坐标，利用构造方程组求解． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示坐标系，    设正方形边长为3，则，， ，， ， ， ，解得． 故答案为：；． 【题型4：平面向量线性运算坐标表示求参数】 （25-26高三上·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ）经典例题1例题 A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. （25-26高三上·云南昆明·月考）向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　　）经典例题2例题 A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，求得向量，根据向量与共线，结合向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 则，可得， 因为向量与共线，可得，解得. 故选：C． （24-25高一下·湖北·月考）已知，，，且，，，若，．小试牛刀1 (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，，． 【分析】（1）计算出，利用线性运算得到； （2）根据向量运算法则得到方程组，求出； （3）计算出，得到，同理得到，得到的坐标. 【详解】（1）由题意得， ，， 所以； （2）因为， 又， 所以， 解得，即； （3）设为坐标原点，∵， ∴，即， 又， ∴，即， ∴． （23-24高一下·江苏无锡·月考）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则， 则， 可得， 则， 可得，解得. 故答案为：. （23-24高一下·云南昭通·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】设，利用向量旋转公式求出向量，再结合平面向量的坐标运算即可求得点坐标. 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 设，则， 所以，解得， 所以点的坐标为, 故答案为： 【题型5：向量坐标线性运算在几何图形中的应用】 （2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ）经典例题1例题 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. （24-25高二上·吉林长春·期中）如图，边长为4的等边，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的取值范围是 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，然后设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角恒等变换与正弦函数的性质求解即可． 【详解】根据题意，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示： 则，半圆弧的方程为：， 设，则，， 由，得 ，解得， 由，设，其中， 可得 ， 由，得， 则， 得， 得的取值范围为：. 故答案为： 【点睛】易错点睛：坐标变换的理解：建立坐标系时，特别是点和点的位置关系，必须理解清楚向量运算的基础，并避免在代入过程中的符号错误. 三角函数的应用：关于三角恒等变换以及三角函数的范围，需要注意区间的限制，确保在求解时不遗漏可能的取值范围. （23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ）小试牛刀1 A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值； 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即, 故选：B. （23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ）小试牛刀2 A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B （23-24高一下·重庆·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线.小试牛刀3 (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先求，再根据向量，列式求解； （2）（ⅰ）根据向量的坐标运算，即可求解；（ⅱ）根据，列式求解. 【详解】（1） 则则； （2）（ⅰ），向量的坐标为； （ⅱ）设的坐标为，∵，，，恰好为构成平行四边形 则，， 解得：，∴的坐标为 【题型6：线段的定比分点】 （24-25高一下·上海·月考）已知点，点，且，则点的坐标为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】设点，根据平面向量的坐标运算及，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】设点，因为点，点，且， 所以，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. （23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标．经典例题2例题 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. （23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】由题意转化为，再根据坐标表示向量，即可求解. 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： （23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ）小试牛刀2 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. （22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 【题型7：向量线性坐标运算解决范围最值问题】 （25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 .经典例题1例题 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    （2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ．经典例题2例题 【答案】2 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. （23-24高一下·山东青岛·月考）已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 .小试牛刀1 【答案】/ 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： （2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解. 【详解】    如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 故答案为：. （23-24高一下·江西·月考）如图，在梯形中， ，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为 ．小试牛刀3    【答案】/ 【分析】建立如图平面直角坐标系，设，利用平面向量线性运算的坐标表示和相等向量建立方程组，解出x、y，进而利用辅助角公式化简可得（其中），结合正弦函数的想即可求解. 【详解】以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示．    所以，设， 则， 所以． 所以．所以． 所以， 其中，所以 ， 此时，所以的最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量线性运算的坐标表示，三角恒等变换的化简和三角函数的性质，解决本题的关键在于合理巧妙建立平面直角坐标系. 【题型8：用向量坐标求模长】 （25-26高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（   ）经典例题1例题    A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立直角坐标系，再计算模长即可． 【详解】如图，以的起点为原点建立直角坐标系，    则，， ， ． 故选：B． （22-23高一下·北京·期中）已知向量，，其中，则的最大值是（    ）经典例题2例题 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先计算向量差的坐标，再通过模长公式得出模长的表达式，利用三角函数辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求出最大值． 【详解】，， ， ，当且仅当时取等号， 的最大值是3． 故选：B． （2025高三·广东江苏·专题练习）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ）小试牛刀1 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A． （2025·上海崇明·二模）已知，则 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： （23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ）小试牛刀3 A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可. 【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为轴， 则，，所以， 则. 故选：. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北襄阳·月考）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合点坐标可得点的坐标. 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 则， 又，所以， 所以点的坐标为. 故选：D. 2．（21-22高一下·福建厦门·月考）已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标表示公式，结合平面向量模的运算公式进行求解即可. 【详解】由 ， 因此与同方向的单位向量为， 故选：A 3．（24-25高一下·广东·月考）已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标表示列方程求点的坐标. 【详解】设点，则向量， 所以，即，对应的点B坐标为． 故选：C 4．（23-24高一下·北京朝阳·月考）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得， 故选：B. 5．（23-24高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法1：设，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得，进而可得结果；法2：建系，设，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可知，进而可得结果. 【详解】法1：因为， 设，则， 因为，，三点共线，则，解得， 即，所以； 法2：坐标法（特殊化平行四边形建系） 不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系， 设，，则， 所以直线，直线， 联立方程，解得， 可得，，， 设， 则，解得， 所以； 法3：如图，延长，，交于点， 因为为中点，所以， 又，则，可得， 可知，所以； 故选：C. 6．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点坐标为，根据得，解方程组即得点的坐标. 【详解】由点在线段上，且知， 设点坐标为，则， 即解得：，即点坐标为， 故选：B. 7．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】以所在直线为轴建立坐标系，根据三角函数定义，写出的坐标，用三角函数表示出参数，进而将问题转化为求三角函数的值域，即可求得结果. 【详解】以所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示直角坐标系： 设，则根据三角函数定义，，且， 同时，由可得： ，也即，， 则，， 则 ，， 则，，故， 也即的最大值为. 故选：A. 二、多选题 8．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由于平行四边形的四个顶点为， 所以可能有以下三种情形： 当时，即，解得，即的坐标为； 当时，即，解得，即的坐标为； 当，即，解得，即的坐标为； 故选：ABC. 9．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 【答案】ACD 【分析】根据，两点的坐标求出向量的坐标，即可判断A，利用，再由的坐标求出的坐标，即可判断B；设，，，根据中点坐标公式列出方程组，求出三点坐标，即可判断C，分别求出，即可求出的面积，即可判断D. 【详解】    因为，，所以，故A正确； 因为分别为，的中点， 所以，故B错误； 设，，， 则有，，， 解得，故C正确； 由C可知， 所以的面积为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 10．（25-26高三上·福建福州·月考）已知向量，，则 ． 【答案】 【分析】先利用向量减法求出，再利用向量模的计算公式求解． 【详解】， ， ． 故答案为：． 11．（23-24高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立坐标系，设，然后利用坐标运算以及辅助角公式变形，通过三角函数的性质求解范围. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 12．（22-23高一下·湖南长沙·期末）在中，，，（，），若对任意的实数，恒成立，则边的最小值是 . 【答案】 【分析】设，得到恒成立，得出，根据题意，结合勾股定理，得到，即可求解. 【详解】设，如图所示， 因为对任意的实数，都有恒成立， 由恒成立，则， 因为，，所以，，所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：.    13．（22-23高一下·重庆江津·期末）已知向量，并且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可得，结合，利用二次函数的性质求解. 【详解】∵向量，并且， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴当时，；当时，， ∴实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·广西南宁·月考）平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得，即， 所以，即， 故答案为：. 15．（25-26高二上·江西宜春·月考）已知扇形半径为1，，弧上的动点满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由题设，构建如下图所示的直角坐标系，且，， 若，则，，，， 由，得， 即， 解得，， ， 因为，所以， 所以，当时，，当时，， 所以的取值范围为， 故答案为： 四、解答题 16．（23-24高一下·江苏南通·月考）设是平面直角坐标系内的四点，已知点. (1)若，求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （2）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （3）由坐标对应相等得到的值. 【详解】（1）设，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； （2）设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； （3）， 所以， 因为，所以，解得， 所以. 17．（23-24高一下·广西桂林·月考）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解； （2）设 ，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解. 【详解】（1）依题意得，， 则，所以， 所以，． （2）由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． 18．（22-23高一下·重庆綦江·期中）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，．    (1)求点B和点C的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据坐标系中角度和线段长度大小，分别作垂线即可求得点B和点C的坐标； （2）利用（1）中结论可得，再利用投影向量定义即可求得结果. 【详解】（1）过作轴，垂足为，作轴，垂足为，过作，垂足为，如下图所示：    根据题意可知，； 所以，; 所以，即的坐标为； ， 所以，的纵坐标为； 所以的坐标为; 即， （2）由（1）知,； 则向量在向量上的投影向量为； 即向量在向量上的投影向量是 19．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）（1）已知A，B，C是三个不同的点，，，，求证：A，B，C三点共线 （2）化简： （3）已知，，实数x，y满足：，求x，y. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）计算得，再结合向量共起点即可证明三点共线； （2）根据平面向量加减法以及数乘运算直接计算即可； （3）直接代入向量坐标即可得到方程组，解出即可. 【详解】（1）因为， ， 所以，又因为有公共起点，因此A，B，C三点共线. （2）； （3），即， 则，解得. 20．（24-25高一下·湖南常德·月考）定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. (1)设函数，求证：； (2)若函数，且，求其“相伴向量”的模的取值范围； (3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用“相伴向量”的定义证明即可； （2）根据“相伴向量”的定义得出向量再应用三角函数值域求解； （3）先写出相伴函数再根据最值得出，再分和结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）因为， 其中“相伴向量”，所以. （2）由题意可得： ， 则函数的“相伴向量”， 所以. （3）因为的相伴函数， 其中 ， 当时，取到最大值，依题有， 则， 因为定点，由可得， 故可设，且因，故， 于是， ， 若，可得； 若，可得， 即； 综上所述：，令， 因在上单调递增，所以； 又 单调递增，所以； 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $