6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示（教学课件）数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.借助平面直角坐标系，理解平面向量正交分解的定义，能识别生活中正交分解的实例。 2.掌握平面向量的坐标表示方法，明确向量坐标与基底分解系数的关系。 3.理解平面向量坐标与点坐标的联系，能进行向量坐标与点坐标的相互转化。 4.掌握平面向量加、减运算的坐标表示，能解决简单的向量坐标运算问题。 5.体验向量从几何形态到代数形式的转化过程，感受数形结合的数学思想，提升数学核心素养。 目录 CATALOG 01.平面向量的正交分解及坐标表示 03.题型强化训练 02.平面向量的坐标表示 04.小结及随堂练习 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 01 平面向量的正交分解及坐标表示 导入新知1：校园导航中的向量定位 “同学们，咱们学校的教学楼、图书馆和食堂构成了一个三角形区域。假设你现在在教学楼（记为点O），想去图书馆（点A），再从图书馆去食堂（点B）。如果以教学楼为原点，建立平面直角坐标系，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，1个单位长度代表10米。已知图书馆在教学楼东30米、北20米处，食堂在图书馆东10米、北15米处。” “大家思考两个问题：第一，从教学楼到图书馆的‘位移’，能不能用两个互相垂直的方向（东、北）的位移来描述？第二，如何用简洁的数来表示这两个位移，以及从教学楼直接到食堂的总位移？如果从食堂返回教学楼，位移又该怎么表示？” 导入新知2：购物车推行的力的分解与计算 “周末大家去超市购物时，推购物车是不是很常见？假设超市地面是水平的，你用10N的力推购物车，推力方向与水平地面成30°角。大家有没有想过，这个斜着的推力，其实可以‘拆分’成两个力？一个是水平方向的力，让购物车向前走；一个是竖直方向的力，要么压着地面，要么稍微抬着购物车。’’ “再比如，你朋友在另一边用8N的力沿水平方向拉购物车（与你推力的水平方向相同）。现在请大家思考：第一，为什么能把斜向的推力拆成水平和竖直两个垂直的力？这种拆分有什么好处？第二，如何用具体的数表示这两个垂直的分力，以及购物车受到的水平方向的总作用力？如果朋友反向拉车，总作用力又该怎么算？” 学习新知 如图， 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量， 对于平面内的任一个向量 ，由平面向量基本定理可知，则有且只有一对实数x，y，使得： 我们把有序数对(x，y)叫做向量 的坐标，记作： 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 基底的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 基底的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 基底的概念及辨析 学习新知 学习新知 O 图6.3-7 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平行向量（共线向量）、基底的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用基底表示向量 02 平面向量的坐标表示 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 学习新知 思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便. 学习新知 O x y 图6.3-8 学习新知 O x y 图6.3-9 x y 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用坐标表示平面向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用坐标表示平面向量、向量坐标的线性运算解决几何问题 学习新知 例3： 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量线性运算的坐标表示、相反向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用坐标表示平面向量 03 题型强化训练 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 能力提升 题型一：平面向量的正交分解及坐标表示 能力提升 题型一：平面向量的正交分解及坐标表示 能力提升 题型二：平面向量的坐标表示 能力提升 题型二：平面向量的坐标表示 04 小结及随堂练习 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 课堂总结1 课堂总结1 课堂总结2 课堂总结3 作业 教材第 30 页练习第1题. 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 练习（第30页） 作业 1.教材第 249 页习题 5.7 第 1,2 题. 2. 选做题 教材第 249 页习题 5.7 第 3,4 题. 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 2. 给定平面上的一组向量 、 ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 3. 若已知 、 是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线， 据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 4. 设点O是 两条对角线的交点，下列组合中：① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 ，其中可作为表示平行四边形 所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 5.如图，在平行四边形 中，F为 的中点， ，则 （   ）   A. B． C． D． 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 6. 中，点 在边 上， ，若 ， ，则 （   ） A． B． C． D． 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 7. 已知点 ，则向量 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为点，， 所以， 故选：B 8. 已知向量 分别表示位移“向北偏东 方向 ”“向东偏南 方向 ”，则向量 表示位移（　　） A．向正北方向 B．向正南方向 C．向西北方向 D．向东南方向 【详解】建立平面直角坐标系： 则，得， 则向量表示位移：向正北方向． 故选：A 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由平面向量基本定理得到 ， ，从而求出两向量的坐标. 【详解】根据平面直角坐标系，可知 ， ，∴ ， . 故选：C. 【变式】如图所示, 为单位正交基,则向量 , 的坐标分别是（     ）   A． , B． , C． , D． , 【点评】平面向量的坐标表示注意点 1. 是根据平面向量基本定理得出来的,因此x,y的值是唯一确定的. 2.向量的坐标表示是继向量的几何表示、字母表示后的又一表示方法，向量的坐标表示实际上是向量的代数表示. 3.注意书写格式，在向量的坐标表示中含有等号，即 4.几个特殊向量的坐标： 5.由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等， 9. 已知向量 ， ，则 与 （   ） A．互为相等向量 B．互为相反向量 C．相互垂直 D．均为零向量 【详解】因为， 所以，即互为相反向量． 故选：B． 如果用 ， 分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量， 且 ， ，若 ，则 （   ） A． B．1 C．5 D． 【详解】由，，得， 由，得，因此，所以. 故选：B 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，向量 （     ） A． B． C． D． 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示 【分析】由向量的坐标运算可直接求出结果. 【详解】因为 ，所以 ， 故选：C. 【反思感悟】求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标； (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　　　 【练习2】已知ABCD为平行四边形，其中A(5,－1),B(－1,7),C(1,2),则顶点 D的坐标为（     ）. A．(－7，0) B．(7，6) C．(6，7) D．(7，－6) 【知识点】用坐标表示平面向量 【解析】设出点D坐标，求出 坐标，利用 ，即可求解. 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以 . 设D(x,y)，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)， 即 解得 ，因此D点坐标为(7，－6)．故选:D. 【点睛】本题考查向量的坐标表示、向量相等应用，属于基础题. 【反思感悟】求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标. (2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标, 再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. （一）平面向量坐标的相关概念 1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别 为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量 基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对 (x，y)叫做向量a的坐标． 3．坐标表示：a＝(x，y)． 4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 注意点：(1)点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A(x，y)，a＝(x，y)． (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同． （二）求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度， 其正负需要注意方向． (3)求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点， 其终点的坐标即是该向量的坐标． $